静电成形薄膜反射面设计

秦东宾, 杜敬利, 谷永振, 姜文明, 张逸群(西安电子科技大学 电子装备结构设计教育部重点实验室， 西安 710071)

随着当代科技的迅速发展和对宇宙探索的不断深入，人们对星载天线系统的需求与日俱增，同时对于天线性能指标要求越来越高。静电成形薄膜反射面天线是一种新型星载可展开天线，其工作原理是在镀有金属层的薄膜反射面和控制电极间施加不同的电压(一般薄膜为等效零势面，电极为高电势)，产生静电力来张拉薄膜，从而使薄膜形成具有一定焦径比的高精度反射面[1-2]，结构示意图如图1所示。相对于传统的可展开天线，其具有口径大、质量轻、形面精度高、收拢体积小、易于折叠和展开、应用频段高等特点[3]，被誉为21世纪最具潜力的空间天线结构之一[4]。

图1 静电成形薄膜反射面组成结构示意图Fig.1 The concept of electrostatic forming membrane reflector

静电成形薄膜反射面天线概念源于1978年麻省理工学院为研制大口径、高精度、轻质量的天线进行的静电成形薄膜反射面技术研究[5]。1979年NASA设计制作了4.88 m口径的5环电极静电成形薄膜反射镜，在一定程度上验证了该技术的优势，但受到当时薄膜制备水平以及电极控制等相关技术的限制，膜面精度较差，未取得满意的结果[6-7]。随着薄膜制备、电极控制等相关技术的快速发展，静电成形薄膜反射面的研究再次取得进展。2004年，美国SRS公司联合Northrup Grumman Corp公司，研制出首个真正意义上的5 m口径静电成形薄膜反射面天线样机[8]。目前国内对静电成形薄膜反射面技术的研究仍处于基础探索阶段，长春光机所和苏州大学对薄膜反射镜的成形机理和形面控制做了大量研究，西安电子科技大学对静电成形薄膜反射面的两场耦合、电极电压优化等理论进行了研究，并制作了0.55 m实物模型。薄膜反射镜与薄膜反射面除了基础结构有区别外，两者反射面曲率也差别较大，后者曲率大得多。也正由于其反射面曲率较大，对薄膜反射面的制作造成了一定的难度。

目前薄膜反射面的制作方式主要有三种：① 利用气压作用使平面薄膜变形为近似抛物面形状；② 利用抛物面状的模具进行铸模加工；③ 由平面膜片拼接成抛物面形。第一种加工工艺最简单，但仅适用于曲率较浅的薄膜反射面，而静电成形薄膜反射面曲率大，且此工艺成形形面不易保证；第二种加工工艺最复杂，一般只有薄膜生产商才有能力加工，费用昂贵，且不适合大口径天线的应用；故目前大多采用第三种加工方法，加工相对简单且能满足精度要求[9]。

本文对静电成形薄膜反射面天线进行了电极布局设计，反射面保型设计、裁剪设计和成形模拟。在此基础上研制了的试验模型，并采用摄影方式进行了反射面形面精度测量，经过多次测量和形面调整，逐步提高了形面精度。

1 反射面设计

1.1 电极布局设计

基础电极分布形式是静电成形薄膜反射面天线的重要部分。薄膜反射面可以在静电力的作用下维持膜面形态的稳定，同时还可利用静电力实现膜面形状调整，改善形面精度。因此有必要对电极进行布局和电压进行优化，这样可减少电压通道数目，减轻天线系统的整体质量。

电极布局优化的实施方法主要是在非线性有限元分析的基础上，通过对电极面上的多个基础电极进行组集优化，每个组集内电极由同一电压通道控制，如图2所示，通过调整通道电压保证反射面的形面精度要求。因此，必须对电极布局形式和电压值同时优化。

图2 基础电极组集Fig.2 Electrode layout and connection to channels

综上所述，可得到如下的电极布局优化模型[10]，见式(1)

findn,{w}={w1,w2,…,wa},{U}={U1,U2,…,Un}

s.t. [KL+KNL]{ΔX}={FE+FT}

min {σ}>0

max {σ}/min {σ}<υ

n∈{1,2,…,nup}

wi∈{1,2,…,n} (i=1,2,…,a)

0

(1)

式中：[KL]和[KNL]分别薄膜结构的线性矩阵和非线性刚度矩阵，FE为静电力，FT为热载荷向量，{σ}为薄膜反射面应力；υ为薄膜反射面最大应力比的上限值；上标up表示设计变量的上限值。

由电极布局优化模型可以看出，此为高度非线性规划问题，传统的梯度算法不能得到一个全局解。遗传算法是一种非梯度优化算法，通常用于求解非线性问题。因此，使用梯度法和遗传算法相结合的优化方法来解决这个问题。

在设计变量中，各通道电压值为连续变量，电压通道数目、每个基础电极所对应的电压通道号为离散变量。为方便解决模型，各通道电压值可在约束中分别进行优化。优化模型近似改写为式(2)形式。外部优化只涉及离散变量，可以很容易地用遗传算法处理；内部优化只涉及连续变量，可以使用梯度的方法有效地解决。

findn,{w}={w1,w2,…,wa}

minf=α1n+α2f2

s.t. find {U}={U1,U2,…,Un}

s.t. [KL+KNL]{ΔX}={FE+FT}

min{σ}>0

max{σ}/min{σ}<υ

0

n∈{1,2,…,nup}

wi∈{1,2,…,n}(i=1,2,…,n)

(2)

1.2 保型设计

薄膜反射面在静电力和索拉力的作用下张拉成形，理想形状为某给定抛物面。在给定成形膜面形状、电压和索拉力的情况下，可反求出薄膜反射面对应的无应力放样形状。

优化参数为控制膜面放样形状的形状参数αi(i=1,2,…,k)，对给定的电压和索拉力，使得RMS偏差最小，约束函数为通道电压值{U}小于某一上限值，对应的优化模型可表示为

minδrms

s.t. [KN+KNL]{ΔX}=FE{U,X,α}+FT

0

(3)

这样便可得到薄膜反射面的无应力放样形面。

1.3 裁剪设计

通过保型设计得到膜面的无应力放样形状后便可采用由平面膜片拼接成抛物面形的方法来制作曲面薄膜反射面。先将初始膜面布置裁剪线划分为若干子曲面，再对各子曲面进行展平，可得到平面裁剪片(平面膜片)。且由于此初始膜面为无应力状态，无需进行裁剪过程中的预应力释放。对于轴对称反射面一般将膜面母线作为裁剪线，将整个膜面均匀划分为若干个扇形子曲面，再对任意一个扇形子曲面进行展平分析。

将扇形子曲面离散成三角形单元，由于展开前后曲面三角形单元的边长存在差异，可将展平问题转换为等效力学问题，使得展平前后三角形的边长差异最小[12]，从而实现扇形子曲面的展平。

下面分析三角形单元的应变和各边伸长量的关系，将薄膜的膜面内力等效为单元各边内力。图3为一平面三角形单元，如图所示建立局部坐标系，三角形三条边长为l1,l2,l3，内力为T1,T2,T3，伸长量为δ1,δ2,δ3。

图3 三角形单元Fig.3 The triangular element

(4)

由弹性力学物理方程，应力可表示为{σ}=[D]{ε}=[D][B]{δ}，[D]为弹性矩阵，则三角形单元各边的内力可表示为

(5)

式中：[K]为单元弹性刚度矩阵；V为单元体积。

假定三角形单元个边为一杆单元，则将单元各边的内力简化为整体坐标系下节点力，如下式所示

(6)

式中：pe为三角形单元在整体坐标系下的节点力向量；x1，x2，x3，y1，y2，y3分别表示平面三角形单元的三个节点的平面坐标。

1.4 成形模拟

通过裁剪设计，得到了反射面的无应力状态平面裁剪片，将裁剪片拼接起来，施加静电力和索拉力静态分析后便可得到稳定的空间膜面，此时的膜面为最终成形形态。由于用平面裁剪片代替曲面片有原理误差，则拼接后的形态与原设计形态有差异，应进行探究。

在平面裁剪片拼接还原到设计曲面过程中，以每片裁剪片的平面坐标作为初始状态，通过部分节点支座位移的方法将膜面提升到设计位置，膜面在此过程中保持平衡，最终得到的膜面为成形状态。在此膜片位移过程中，膜单元的刚体位移、转动并不改变膜单元的面内应力，只有单元形状的变化才有改变其应力；同时此过程中膜面由初始状态到成形状态膜面节点的位移较大，而薄膜结构本身是一种只能抗拉、不能抗弯和抗压的柔性结构，在外荷载作用下具有小应变、大变形的特点，具有较强的几何非线性，所以在建立平衡方程时必须考虑非线性变形的影响。

非线性有限元法是薄膜结构找形的一种有效方法，其采用New-Raphson方法进行非线性有限元求解，并同时对部分节点施加强制位移，通过不断迭代膜面发生变形，直到满足设计要求。有限元基本方程如式(7)所示

([KL]i+[KNL]i).{ΔX}i=Fi+Ri

(7)

上述过程中外荷载为零，Ri=0。为保证计算的精度和收敛性，应将整个过程进行分阶段计算，即将裁剪片从初始状态开始分若干次逐步提升到规定的位置。同时为了保证找形过程的收敛性，以膜面中节点的z坐标作为提升变量，通过各节点的x,y坐标的自由移动来保证膜面状态的平衡。

计算采用的是U.L.格式，在有限元方程迭代过程中参考位形是不断改变的。具体步骤如下：

(1) 将各节点z坐标固定于其设计坐标处；

(2) 计算膜单元刚度矩阵[K]=[KL]+[KNL]，0时刻为裁剪片的平面位形、零初始预应力，以后时间t的迭代步都是取当时的位形；

(4) 位移应力迭加得到结构新的位形{Xt+Δt}={Xt}+{ΔU}，{σt+Δt}={σt}+{Δσ}；

(5) 由新的位形及应力求出等效节点力向量，若等效节点力的值大于控制精度，则返回第2步。迭代直到等效节点力满足精度要求。

假定裁剪片拼接时不存在重叠和空隙则通过上述步骤可获得拼接后的成形膜面，此方法相较与几何近似为折面的方法[13]精度更高，并且不局限于旋转抛物曲面，可适用于任何曲面形式。

2 模型试验

2.1 模型设计

根据前述理论设计了0.55 m口径静电成形薄膜反射面天线结构，反射面焦距比F/D=2，反射面及边缘连接带材料均为聚酰亚胺薄膜，弹性模量为2.17 GPa，泊松比为0.34，厚度为0.025 mm，拉索采用芳纶结构，弹性模量为500 MPa，泊松比为0.34，直径为0.8 mm。

薄膜天线结构由薄膜反射面和电极面构成。薄膜反射面，如图4(a)所示，由12块平面膜片采用对拼形式粘接而成，反射面边界为裙边形式，拉索穿过裙边与天线支撑结构连接保证膜面应力均匀，共有24根拉索，其拉力值可由拉力传感器读出；反射面下方是电极面，如图4(b)所示，电极分为三环式，采用9个通道对13块电极精密调控，反射面与电极面两者间距为5 mm。

(a)薄膜反射面模型(b)基础电极模型

图4 天线试验模型

Fig.4 The antenna experiment model

2.2 精度实验

由于薄膜反射面的柔性很大，只能采用非接触式方法来测量形面精度；由于薄膜的形面精度较高，测量仪器须具有高测量精度。因此采用了Digimetric摄像测量系统，对薄膜反射面进行形面精度测量。测量前需做的准备工作有：设置正确的相机参数；合理布置编码点、标志点以及测量标尺的位置；合理选择拍摄站点，有利于保证系统的测量效率。其中，测量标尺起到比例尺的作用，是以大理石为原材料制作，具有极小的热膨胀系数，环境条件的变化对其长度的影响极小。

测量时，采用手持CCD相机在摄站处以自由拍摄的方式进行拍照，拍照时使用的是Nikon D90型相机，有效像素为1 230万。为保证系统图像处理和解算测量点坐标的精度，拍照时尽可能保证光线明暗适中，拍摄距离大致不变，而拍摄角度尽量多变，且照片清晰度高；再者，需保证前后2次拍照所得照片中的同名编码点不少于5个。拍摄完毕后，将照片导入到测量系统Digimetric软件，以标尺测量所得长度与真实长度的比值为尺寸比例，解算标志点和编码点的三维空间坐标，实现反射面的三维重建，如图5所示。最终，通过Digimetric软件计算出反射面上测量点的三维坐标，进而得到反射面的形面精度。

2.3 试验结果

首先，将索拉力和电极电压调整到对应的标称值，对薄膜反射面进行精度测量，得到的初始形面精度为0.46 mm，精度不高，这是因为在模型加工和反射面拼接和粘贴过程中不可避免存在误差。因此，需要根据实测反射面和理想抛物面的偏差，利用测量点的坐标信息建立实物仿真模型，运用摄动法对电压值和索拉力施加单位调整量并组集得到敏度矩阵求解得到索拉力和电压值的调整量，通过索拉力和电压值的协同调整来改善膜面精度。而薄膜结构为柔性结构，具有高度非线性，必须交替进行测量和调整且重复多次才能使精度逐渐提高。经过多次反射面的调整后,反射面精度达到0.13 mm，如图6所示。

(a)标志点识别(b)标志点选取

图5 标志点处理

Fig.5 The operation of market points

图6 形面精度随调整变化曲线Fig.6 Surface accuracy change by adjustment

3 结 论

本文主要介绍了静电成形薄膜反射面的设计方法，采用电极布局优化模型进行电极布局设计，采用梯度法和遗传算法解决了高度非线性问题；在保型设计中，通过减小RMS偏差使实际形面与理想形面接近；裁剪设计中将展平问题转换为等效力学问题实现扇形子曲面的展平；基于有限元思想将平面裁剪片拼接得到初始膜面状态，施加静电力和索拉力后得到最终成形状态。应用上述理论设计制作了0.55 m口径静电成形薄膜反射面天线模型，采用摄影测量对薄膜反射面进行精度测量，经过多次调整后，形面精度逐渐改善，达到较高的形面精度。

参 考 文 献

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