导函数不等式解集求解方法

钟宇宁

摘 要 近年高考命题趋势表明，导数已经成为新教材高考命题的热点。导数作为一种重要的解题工具在考察高中数学的函数的单调性及其延伸问题有其独特的作用，而函数的单调性是研究函数的性质如极值、最值（值域）、零点等问题的先决条件，故判断导函数的符号是导数工具作用能否发挥的关键一步。文章结合实际教学经验例谈导函数不等式的求解方法。

关键词 导数 函数单调性 函数最值 函数零点

中图分类号：G633.6 文献标识码：A DOI：10.16400/j.cnki.kjdks.2018.01.013

Guidance Function Inequality Solution Set Method

ZHONG Yuning

（Shuizhai High School， Meizhou， Guangdong 514400）

Abstract In recent years， college entrance examination proposition trend shows that the derivative has become a hot textbook proposition. Derivatives as an important problem-solving tool have unique functions in examining the monotonicity and extension of high school mathematics functions. The monotonicity of the function is to study the properties of the function such as extreme value， maximum value （range）， zero point and other issues preconditions， so to determine the function of the derivative of the derivative function of the key tool can play a key step. The article combined with the actual teaching experience to talk about the inequality of the derivative function.

Keywords derivative； monotonic function； value of the function； function zero

函数单调性是考察函数图像与性质的核心，特别是函数性质中的最值、零点、极值等与函数的单调性密不可分。函数单调性是解决函数问题的突破口，对函数单调性的讨论与应用一直都是中学数学的重难点，同时也是高考重点考察的题型之一。导数是研究函数单调性的强大工具，而函数单调性的确定关键在于导函数的函数值符号的判断，故函数的导函数符号的判断是确定函数单调性的关键。本文就一些具体的例子介绍用导数研究函数单调性中符号判断进行方法研究。

1 直接法

导数符号的判断首先是导函数解析式在定义域内的函数值符号的判断过程。要想判断一个函数值的符号，若导函数能表达成“因式相乘”形式，则导函数值符号的判断即为各个因式符号的考察，再利用导函数值符号与函数单调性对应关系来判断函数单调区间。

已知函数且在处的切线斜率为，求的值，并讨论在[- ， ]上的单调性。

分析：通过条件可解得的解析式，而的单调性必须由判断。

解：由条件知，

又

而时，；

时，；

时，；

时，

在上为增函数；在上为函数。

评注：判断函数值的符号先看“解析式”，若导函数可以化为因式相乘形式并且在定义域内各个因式的零点容易求解，则可以利用直接法将导函数的符号化归为各个因式的符号。特别地，各个因式的符号要充分利用函数的定义域、参数范围、基本函数的性质、不等式的性质等直接判断各自的符号。

2 参数讨论法

含参数的函数问题是近年来高考的热点和难点，此类考题常常以导函数含参的形式出现。总的说来，“含参的导函数”分类讨论可以包含以下情况：①导函数方程的根的情况进行讨论；②导函数方程的根存在参数时对根的大小进行讨论；③导函数方程的根与区间的位置情况进行讨论。

设函数，其中，对任意的使得恒成立，求的取值范围。

分析：恒成立只要即可，而要找在在上的最小，在上单调性必不可少。

解：由

又，令，则与符号相同

当时即即时，恒成立，故恒成立，即在上单调增函数，成立，

当时即即时，即

即

上单调减函数，在上单调增函数

又时，，不成立。

综上所述，的取值范围为[2，+]。

评注：对导函数表达式各因式符号进行判断哪些是恒正、恒负，哪些是符号不确定。含参的导函数符号讨论常化归到含参的因式符号的讨论，可将该含参的因式看作新函数按参数讨论的常规问题一一讨论。

3 导函数的单调性及零点判断

对函数求导后导函数难以化为因式相乘形式但导函数在定义域内可利用多个基本初等函数的单调性进行判断為单一（增+增=增；减+减=减）且导函数的零点能求解，可利用导函数的零点即为函数符号的分界线来明确导函数值在定义域内的符号范围。

设函数，若存在使得成立，则的取值范围是（ ）

A. （4，+∞） B.（2，+∞） C.（-∞，-2） D.（-∞，4）

分析：由函数可得，若对一次函数再次求导则其二次导函数仍然为超越，故对的符号判断转向对其单调性及零点的考察上。

解：由函数

可得

又且

而与在上都为增函数，

故上都为增函数，

在上为减函数，在上为增函数

即

，即得

评注：导函数为超越函数的符号判断，可先预判导函数是否单调函数、导函数是否有零点，若导函数为单调函数且有零点，则零点即为导函数值符号的分界点。

4 二次求导法

函数求导后导函数为超越函数，若导函数的零点难于判断且不能判断为单一单调函数时，可对一次导函数进行二次求导来考察一次导函数的零点、单调性等进而得到导函数值符号的分界点。

设函数，求的单调性。

分析：利用发现解导数不能直接判断单一但，故可以考虑进行二次求导。

解：由得

令，则

恒成立

在上为单调函数，又

时， 即 时，即

即在上为函数，在上为增函数

评注：二次求导作用：①对超越函数进行求导可化为非超越函数；②二次求导后考察二次导函数的符号可利用前面方法判断出一次导函数的单调性、极值、最值。总之，二次求导目的为一次导函数的零点存在情况即寻找一次导函数值符号的分界。

设函数满足，则当时， （ ）

A.有极大值，无极小值 B.有极小值，无极大值

C.既有极大又有极小 D.既无极大也无极小

分析：此问题中的函数的解析式并不明确，故的单调性可考察的表达式。

由，故的符号主要由的符号决定。

而的性质再用导数来探究。

解：由可得，

令，

又

由，即，即0<。

在（0，2）上单调递减，在（2+∞） 上单调递增，

≥0在上恒成立，即上恒成立

即在上是单调递增函数

在上无极值。

评注：二次求导可以只针对一次导函数中的部分，但必须是决定一次导函数符号的关键部分。

5 图像法

导函数为超越函数且对其进行二次求导后仍为超越函数，可考虑将导函数符号判断转化为图像法进行求解，即将不等式可化归为，将超越函数不等式化归为两个基本函数图像之间的位置关系，即在上方的图像对应的的集合。

已知为常数，函数有两个值点，则（ ）

A. B.

C. D.

分析：由比较函数值的大小即考察函数的单调性而由得， ，即与的图像中在的图像上方部分； ，即与的图像中在的图像下方部分。

解：由得

又由函数有两个极值点

即即有两个不同交点

，即与的图像中在的图像上方部分

即在的图像下方部分，如图1 （下转第39页）（上接第30页）

可知，即即，即或，又与相切时，设切点（）

且在上增函数

评注：超越不等式化归为基本函数之间图像位置关系常要利用图像平移、翻折等画图方法。

从以上判断导函数符号的方法可以思索，判断导函数值的符号，首先考察导函数的表达式，因式相乘或分式的导函数符号是近年高考的热点，故在导函数表达式化简中尽量化為因式相乘或分式形式。导函数为超越函数是近年来对导数考察的常见题型，从以上例子可以看出超越函数的符号判断方法也较为灵活。