从儿童代数思维过程看小学数学教学

林琦李雯

“数与代数”作为数学课程四大基本板块之一，在义务教育阶段占据着过半的教学内容。该领域下的算术和代数有着紧密的联系却又显现出巨大的差异：相比起算术，代数具有抽象概括性以及缺乏可供儿童形象思维的模型等特点。而以上特点也导致学生在进入代数领域学习之后，体现出不同的代数思维水平。

一、儿童代数思维的三种类型

儿童代数思维大致可以划分为三种类型。

1.符号化思维。

符号化思维即把抽象符号当作工具来进行思考的过程，它反映了儿童思维从具体到抽象的过渡，也体现了儿童概括水平的提升。可以说，在符号化的思维指引下，儿童初步具备了符号意识和符号表征能力，更重要的是他们开始利用符号开展思考。

在认数的过程中，儿童的认识最初停留在表面的、具体形象的实物，例如3支铅笔、3块橡皮、3本书等，随后他们能从这些事物中发现并抽取出它们的共同属性，用数字符号“3”来表示。当数字符号也呈现出有规律的变化时，儿童便能进一步用字母符号“n”来概括。该符号化思维过程充分发展了儿童的数学抽象能力，推动其迈出代数学习的第一步。

但是，儿童的符号化思维还存在不稳定的一面。譬如，虽然儿童对数量关系有了一定把握，但有时还需要具体事物的支撑。1条狗有2只耳朵，2条狗有4只耳朵，而当狗的条数变成x的时候，部分儿童却会依然选择用x来表示耳朵的只数，这种符号化结果的偏颇也将对儿童接下去的思维进程产生负面的影响。因此，符号化思维仍然是一种简单的抽象思维，需要在此基础上进一步巩固和发展。

2.关系性思维。

关系性思维是第二类代数思维，指将数学元素之间建立联结，通过其中的关系开展推理性的思考。处于该水平阶段的儿童思维有着两大鲜明的特点：对数学关系的分析推理以及对等号意义的合理解读。

首先，儿童不仅能准确地建立数学元素之间的关系，而且可以在此过程中进行灵活地思维。例如，已知 a＜5，b＞5，学生能通过不等号的传递性构建两个不等式间的关联，思考三个数学元素的大小，得出a＜b，随后将结论推广至类似的数学情境。儿童以上行为意味着他们在符号化思维的基础上取得了巨大进步。其次，等号在数学中具有运算符号和关系符号的双重意义。当等号作为运算符号时起着连接计算过程和最终结果的作用，扮演着输出答案的角色，折射出儿童背后的算术思维；当等号作为关系符号时更强调等式左右双方的等价关系，扮演着恒等变化的中介，代表了儿童的代数思维。故将等号理解为关系符号更有助于学生建立数学元素之间的联系，进行关系性的思考。

总的来说，关系性思维的发展让儿童将关注点扩大到数字、符号等之间的交互作用，它为儿童提供了更多的思考空间与可能，也促进其抽象、推理能力的深化。

3.结构性思维。

如果说关系性思维是借助部分数学元素之间的关系进行思考，那么结构性思维就是将这些零散的关系组合成有机的整体，用整体的眼光开展综合、比较、判断、推理等活动。结构性思维是一种相对成熟的代数思维，在小学代数学习中显著的表现便是将数学表达式作为一个整体对象去认识与运算。这在很大程度上依赖于儿童的结构意识，有学者曾指出代数结构意识具体包括：把代数表达式看作一个整体对象；从表达式中看出已知的代数结构；把一个结构拆分为几个子结构；确定结构之间的关系；针对特殊的结构选择可能和有效的符号进行操作。例如，对于13+8=12+（ ）的问题，处于符号化思维或关系性思维水平的儿童倾向于通过传统的程序计算求出结果，即先算得13+8的结果为21，随后计算21-12得出答案为9。而当儿童拥有结构性思维之后，他们会对表达式结构进行细化，发现左右两边均为两个数学元素相加，且12仅比13小1，依据结构之间的关系，其推断为了保持等式成立，（ ）中的数必须比8大1，从而得到9。从中可以看出，拥有结构性思维儿童的思考效率和思维水平有了明显的提升。

至此，儿童的代数思维已发展至一定的高度，他们的思维水平从局限突破到开放，数学能力也表现的更为全面与突出。

二、促进儿童代数思维发展的教学策略

依据儿童代数思维发展的内在逻辑，教师可在教学中从培养学生符号化思维、关系性思维和结构性思维的角度出发开展小学代数的教学，促进学生数学素养的发展。

1.夯实算术基础，渗透符号意识。

在儿童进入代数领域学习之前，扎实的算术基础必不可少，但教师需要避免其算术思维过于僵化和刻板。因此，在算术学习过程中，应当强调结果的准确性、过程的多样性、运算律广泛的应用性等。例如，在教学24+30+6=（ ）的过程中，可以肯定学生按顺序计算的方法，但更应提倡将式子转化为24+6+30的做法。这样做的意义不仅在于简便计算过程，更有利于为加法交换律在代数运算中的推广做铺垫。

除此之外，可在算术教学中逐步渗透符号意识，使学生适应代数学习的形式化。“用字母表示数”是小学生开始代数学习的第一课。教师大可不必直奔主题，而是在此之前丰富儿童对数字表征的形式，利用“（ ）、□、●”甚至图像等多元的表征方式都有利于符号思想的积极内化。不仅如此，教师更要促进儿童使用这些符号去思考、去表达、去交流，增强实际运用能力。

2.关注数量关系，加强等号理解。

教师需要意识到数学中存在着极其丰富的联系，它们都是发展儿童关系性思维的素材。在儿童从符号化思维迈向关系性思维的同时，首先要加强数量关系方面的训练。这就要求儿童正确阐释数量关系、恰当表征，在数学元素变化的过程中理解数量关系的本质。例如，如果儿童能依照青蛙只数和眼睛个数的关系，准确地用2n表示n只青蛙眼睛的个数，那么教师可以进一步把关系双方转变为青蛙只数和腿的条数，甚至眼睛个数和腿的条数，充分发挥数量关系对儿童思维的锻炼作用。

其次，等号背后也蕴含着大量的联系，但它却常常是教学中被忽视的重点。在北师大版教材中明确设有“等量关系”一课帮助学生深入理解等号意义之外，少有其他教科书能关注到这一点。对此，教师应当自主挖掘儿童代数思维发展的特点，加强守恒、传递等思想的教学。

天平中的恒等变换

天平模型能很好地起到具体化等号功能的作用。比如通过上图的动态操作过程，学生可以获知想要使天平保持平衡（等号成立），需要同时增加或减少相同的量，这其中便包含了恒等变换的思想。教学实践中，利用形如“2+5○3+4”的算式同样能让学生在判断相等的基础上，进一步思考等号左右两边的关系而非关注计算结果。

3.融入代数思想，注重数字等式。

小学数学教学现状表明当下儿童的代数思维普遍停留在符号化思维与关系性思维，如何进一步发展学生的结构性思维成为了关注的焦点。

根据课程标准的要求，现行小学数学教材主要采取了分散渗透与集中安排相结合的方式编排代数课程内容，大体上可分为早期蕴蓄、逐步过渡、初步学习三个阶段进行。这就要求我们尽早在算术学习的过程中融入代数思想的教学。例如，编排“3△+5△=32，△=？；2○=3☆，6☆=□，○与□有什么关系？”等题目，不仅能通过图像符号渗透未知数的概念，而且有助于培养学生观察与总结等式结构的能力。

最后，需要充分利用数字等式促进学生形成结构意识。在对类似于“35+13=（ ）+18”问题的解答过程中，教师不应当仅以结果准确性来评判学习成效，相反需要更多地关注学生思维过程。注意选择多种与代数思维相关的活动，分析和讨论学生作业的程序，比较学生间代数思维的相同点和不同点，在此基础上进行引导与强化。