数形结合在数学解题中的应用

王向阳

一、数形结合思想的含义

数形结合思想就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想.它包含两个方面：（1）“以形助数”，把抽象问题具体化，这主要是指用几何的方法去解决代数或三角问题；（2）“以数解形”，把直观图形数量化，使形更加精确，这主要是指用代数或三角的方法去解决几何问题.

二、运用数形结合思想分析解决问题的三个原则

（1）等价性原则，在数形结合时，代数性质和几何性质的转换必须是等价的，否则解题将会出现漏洞，有时，由于图形的局限性，不能完整地表现数的一般性，这时图形的性质只能是一种直观而浅显的说明.

（2）双向性原则，在数形结合时，既要进行几何直观的分析，又要进行代数抽象的探索，两方面相辅相成，仅对代数问题进行几何分析（或仅对几何问题进行代数分析）在许多时候是很难行得通的.

（3）简单性原则，找到解题思路之后，至于用几何方法还是用代数方法或者兼用两种方法来叙述解题过程，则取决于哪种方法更为简单.

三、在运用数形结合思想分析问题和解决问题时，需做到以下四点

1.要清楚一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征.

2.要恰当设参，合理用参，建立关系，做好转化.

3.要正确确定参数的取值范围，以防重复和遗漏.

4.精心联想“数”与“形”，使一些较难解决的代数问题几何化，几何问题代数化，以便于问题求解.

四、四点注意

在高考试题中，数形结合思想主要用于解填空题，有直观、简单、快捷等特点；而在解答题中，考虑到推理论证的严密性，图形只是輔助手段，最终还是要用“数”写出完整的解答过程.

在运用数形结合思想分析问题和解决问题时，还需做到以下四点：

（1）要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征；

（2）要恰当设参数，合理用参数，建立关系，做好转化；

（3）要正确确定参数的取值范围，以防重复和遗漏；

（4）精心联想“数”与“形”，使一些较难解决的代数问题几何化，几何问题代数化，以便于问题求解.

五、数形结合思想在解题中的应用

数形结合思想方法可以解决很多数学问题，由于很多数学概念都具有明显的几何意义，因此善于利用这些几何意义，往往能达到事半功倍的效果.比如：在解析几何中与斜率、距离、截距、定义等相关的问题，在函数中与零点、单调性、比较数值大小等相关的问题，还可以运用数形结合思想解不等式、解三角函数、集合、线性规划、立体几何等相关的问题.下面通过几个例题来感受数形结合的应用.

1.数形结合思想在三角函数、平面向量等知识中的应用

例1 如图所示，半圆的直径AB=4，O为圆心，C是半圆上不同于A、B的任意一点，若P为半径OC上的动点，则（PA+PB）·PC的最小值是 .

解析：由平行四边形法则得PA+PB=2PO，故（PA+PB）·PC=2PO·PC，

|PC|=2-|PO|，且PO、PC反向，设|PO|=t（0≤t≤2），

则（PA+PB）·PC=2PO·PC=-2t（2-t）

=2（t2-2t）=2[（t-1）2-1].

∵0≤t≤2，∴当t=1时，（PA+PB）·PC取最小值，为-2.

点评：在解决与平面几何有关的数量积问题时，充分利用向量的线性运算，将所求向量用共同的基底表示出来，再利用平面向量的数量积运算法则求解.

2.数形结合解决集合问题

例2 已知函数f（x）=x2-4x+3，集合M={（x，y）|f（x）+f（y）≤0}，集合N={（x，y）|f（x）-f（y）≥0}，则集合M∩N的面积是 .

解析：由已知可得M={（x，y）|f（x）+f（y）≤0}={（x，y）|（x-2）2+（y-2）2≤2}，N={（x，y）|f（x）-f（y）≥0}={（x，y）|（x-y）（x+y-4）≥0}.

则M∩N=（x-2）2+（y-2）2≤2

（x-y）（x+y-4）≥0

作出其交集部分可得如图所示，其面积为圆面积的一半，

即为12π·（2）2=π.

点评：求限制条件（一般用不等式组来表示）所表示平面区域的面积，一般分为如下步骤：①化简不等式②分析不等式表示的平面区域③画出草图分析可行域④结合平面几何知识求出面积.

3.数形结合解决函数图象交点（函数的零点、方程的根）的个数问题

例3 定义在R上的奇函数f（x），当x≥0时，f（x）=log12（x+1），x∈[0，1），

1-|x-3|，x∈[1，+∞），则关于x的函数F（x）=f（x）-a（0

解答：∵当x≥0时，

f（x）=log12（x+1），x∈[0，1），

1-|x-3|，x∈[1，+∞），

即x∈[0，1）时，f（x）=log12（x+1），

x∈[1，3]时，f（x）=x-2∈[-1，1]；

x∈（3，+∞）时，f（x）=4-x∈（-∞，1）；

画出x≥0时f（x）的图象，

再利用奇函数的对称性，画出x<0时f（x）的图象，如图所示；

则直线y=a，与y=f（x）的图象有5个交点，则方程f（x）-a=0共有五个实根，

最左边两根之和为-6，最右边两根之和为6，

∵x∈（-1，0）时，-x∈（0，1），

∴f（-x）=log12（-x+1），

又f（-x）=-f（x），

∴f（x）=-log12（-x+1）=log12（1-x）-1=log2（1-x），

∴中间的一个根满足log2（1-x）=a，即1-x=2a，

解得x=1-2a，

∴所有根的和为1-2a.

点评：将函数F（x）=f（x）-a（0

4.利用数形结合解决函数极值点问题

例4 已知函数f（x）=x（lnx-ax）有两个极值点，则实数a的取值范围是 .

解析：函数f（x）=x（lnx-ax），

则f′（x）=lnx-ax+x（1x-a）=lnx-2ax+1，

令f′（x）=lnx-2ax+1=0得lnx=2ax-1，

函数f（x）=x（lnx-ax）有两个极值点，等价于f′（x）=lnx-2ax+1有两个零点，

等价于函数y=lnx与y=2ax-1的图象有两个交点，

在同一个坐标系中作出它们的图象（如图）

过点（0，-1）作y=lnx的切线，设切点为（x0，y0），则切线的斜率k=1x0，切线方程为y=1x0x-1.切点在切线上，则y0=x0x0-1=0，又切点在曲线y=lnx上，则lnx0=0x0=1，即切點为（1，0）.切线方程为y=x-1.再由直线y=2ax-1与曲线y=lnx有两个交点，知直线y=2ax-1位于两直线y=0和y=x-1之间，如图所示，其斜率2a满足：0<2a<1，解得实数a的取值范围是（0，12）.

点评：本题利用数形结合思想解决函数的零点问题，利用导数研究函数的单独性和极值问题.先求导函数，函数f（x）=x（lnx-ax）有两个极值点，等价于f′（x）=lnx-2ax+1有两个零点，等价于函数y=lnx与y=2ax-1的图象有两个交点，在同一个坐标系中作出它们的图象，再解出切线方程，由图可求得实数a的取值范围.

5.数形结合解决具有明显几何意义的式子

例5 已知函数f（x）=ax2+bx-1（a，b∈R且a>0）有两个零点，其中一个零点在区间（1，2）内，则ba+1的取值范围为 .

分析：先根据图象确定a，b满足的条件，然后利用ba+1的几何意义——两点（a，b），（-1，0）连线斜率求范围.

解析：因为a>0，所以二次函数f（x）的图象开口向上.

又f（0）=-1，所以要使函数f（x）的一个零点在区间（1，2）内，则有a>0

f（1）<0

f（2）>0即a>0

a+b-1<0

4a+2b-1>0，

如图所示的阴影部分是上述不等式组所确定的平面区域，式子ba+1表示平面区域内的点P（a，b）与点Q（-1，0）连线的斜率.

而直线QA的斜率k=1-00-（-1）=1，直线4a+2b-1=0的斜率为-2，显然不等式组所表示的平面区域不包括边界，所以P，Q连线的斜率的取值范围为（-2，1）.

点评：如果等式、代数式的结构蕴含着明显的几何特征，就要考虑用数形结合的思想方法来解题，即所谓的几何法求解，比较常见的对应有：（1）b-na-m（a，b）、（m，n）连线的斜率；（2）（a-m）2+（b-n）2（a，b）、（m，n）之间的距离；（3）a2+b2=c2a、b、c为直角三角形的三边；（4）f（a-x）=f（b+x）f（x）图象的对称轴为x=a+b2.只要具有一定的观察能力，再掌握常见的数与形的对应类型，就一定能得心应手地运用数形结合的思想方法.

6.数形结合解决解析几何问题

例6 过点（0，3）作直线l，如果它与双曲线x24-y23=1有且只有一个公共点，则直线l的条数是 .

解：如图：过A点可以做双曲线的两条切线，以及两条与渐近线平行的直线.

所以，有4条直线与双曲线有且只有一个公共点.答案：4条.

点评：利用数形结合思想讨论直线与双曲线的公共点的个数.用代数方法判断直线与双曲线的位置关系，将直线方程与双曲线方程联立，利用方程组、判别式等求解.当直线位置比较特殊时，如过原点、过定点等，结合图形，讨论直线与双曲线的公共点的个数.

7.数形结合在数列中的应用

例7 某厂2017年生产利润逐月增加，且每月增加的利润相同，但由于厂方正在改造建设，元月份投入资金建设恰好与元月的利润相等，随着投入资金的逐月增加，且每月增加投入的百分率相同，到12月投入建设资金又恰好与12月的生产利润相同，问全年总利润M与全年总投入N的大小关系是 .

解析：每月的利润组成一个等差数列{an}，且公差d>0，每月的投资额组成一个等比数列{bn}，且公比q>1.a1=b1，且a12=b12，比较S12与T12的大小.

若直接求和，很难比较出其大小，但注意到等差数列的通项公式an=a1+（n-1）d是关于n的一次函数，其图象是一条直线上的一些点列.等比数列的通项公式bn=b1·qn-1是关于n的指数函数，其图象是指数函数上的一些点列.在同一坐标系中画出图象如图所示，直观地可以看出ai≥bi，则S12>T12，即M>N.

点评：仔细阅读题目，明确题目表述的含义：每月的利润组成一个等差数列，每月的投资额组成一个等比数列.比较全年总利润M与全年总投入N的大小关系即比较S12与T12的大小.难于直接比较，利用数形结合思想易解.

8.数形结合解不等式问题

例8 设有函数f（x）=a+-x2-4x和g（x）=43x+1，已知x∈[-4，0]时恒有f（x）≤g（x），求实数a的取值范围.

解：f（x）≤g（x），即a+-x2-4x≤43x+1，

变形得-x2-4x≤43x+1-a，

令y=-x2-4x， ①

y=43x+1-a. ②

①变形得（x+2）2+y2=4（y≥0），

即表示以（-2，0）为圆心，2为半径的圆的上半圆；②表示斜率为43，纵截距为1-a的平行直线系.

设与圆相切的直线为AT，AT的直线方程为：

y=43x+b（b>0），

则圆心（-2，0）到AT的距离为d=|-8+3b|5，由|-8+3b|5=2得，b=6或-23（舍去）.

∴当1-a≥6即a≤-5时，f（x）≤g（x）.

点评：解决含参数的不等式和不等式恒成立问题，可以将题目中的某些条件用图象表现出来，利用图象间的关系以形助数，求方程的解集或其中参数的范围.

9.数形结合解几何概型问题

例9 在区间[0，1]上随机取两个数x，y，记p1为事件“x+y≥12”的概率，p2为事件“|x-y|≤12”的概率，p3为事件“xy≤12”的概率，则（ ）

A.p1

C.p3

答案：B

解析：因为x，y∈[0，1]，对事件“x+y≥12”，如图（1）阴影部分S1，

对事件“|x-y|≤12”，如图（2）阴影部分S2，

对为事件“xy≤12”，如图（3）阴影部分S3，

由图知，阴影部分的面积从小到大依次是S2

根据几何概型公式可得p2

点评：首先认真阅读题目，把其中的有用信息向我们熟悉的知识方面转化，实现知识的迁移，然后再利用概率的知识去解决.数形结合为几何概型问题的解决提供了简捷直观的解法.用图解题的关键：用图形准确表示出试验的全部结果所构成的区域，由题意将已知条件转化为事件A满足的不等式，在图形中画出事件A发生的区域，利用公式Ρ（Α）=

构成事件Α的区域长度（面积或体积）试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）可求.

10.数形结合思想在求几何量中最值问题中的应用

例10 在平面直角坐标系xOy中，过定点C（0，p）作直线与抛物线x2=2py（p>0）相交于A，B两点.

（1）若点N是点C关于坐标原点O的对称点，求△ANB面积的最小值；

（2）是否存在垂直于y轴的直线l，使得l被以AC为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在，求出l的方程；若不存在，请说明理由.

分析：（1）在直线AB变动的过程中，△ABN中存在一条长度不变的线段CN（长为2p），将△ABN面积分割为△ANC与△BNC的面积和，∴S△ABN=S△ANC+S△BNC=p|x1-x2|.（2）求弦长时，构造直角三角形，求解.

解析：（1）如图所示，依题意，

点N的坐标为（0，-p），可设A（x1，y1），B（x2，y2）.

直线AB的方程为y=kx+p，与x2=2py联立，

消去y得x2-2pkx-2p2=0.

由根与系数的关系得x1+x2=2pk，x1x2=-2p2.

于是S△ABN=S△BCN+S△ACN=12×2p|x1-x2|

=p|x1-x2|=p（x1+x2）2-4x1x2

=p4p2k2+8p2=2p2k2+2.

∴当k=0时，（S△ABN）min=22p2.

（2）如图所示，假设满足条件的直线l存在，其方程为y=a.

设AC的中点为O′，l与以AC为直径的圆相交于点P、Q，PQ的中点为H.

则O′H⊥PQ，O′点的坐标为（x12，y1+p2）.

∵|O′P|=12|AC|

=12x21+（y1-p）2

=12y21+p2，

|O′H|=|a-y1+p2|=12|2a-y1-p|，

∴|PH|2=|O′P|2-|O′H|2=14（y21+p2）-14（2a-y1-p）2=（a-p2）y1+a（p-a），

∴|PQ|2=（2|PH|）2=4[（a-p2）y1+a（p-a）].

令a-p2=0，得a=p2，此時|PQ|=p为定值，

故满足条件的直线l存在，其方程为y=p2，即抛物线的通径所在的直线.

点评：本题是一个考查直线与圆锥曲线位置关系的开放性问题，数形结合思想中一个非常重要的方面是以数解形，通过方程等代数的方法来研究几何问题，也就是解析法，解析法与几何法结合来解题，会有更大的功效.此类题目的求解要结合该类图形的几何性质，将条件信息和结论信息结合在一起，观察图形特征，转化为代数语言，即方程（组）或不等式（组），从而将问题解决.

11.数形结合思想在立体几何中的应用

例11 在空间中，过点A作平面π的垂线，垂足为B，记B=fπ（A）.设α，β是两个不同的平面，对空间任意一点P，Q1=fβ[fα（P）]，Q2=fα[fβ（P）]，恒有PQ1=PQ2，则（ ）

A.平面α与平面β垂直

B.平面α与平面β所成的（锐）二面角为45°

C.平面α与平面β平行

D.平面α与平面β所成的（锐）二面角为60°

解析：结合四个选项，采用依托立体模型（三棱锥、四棱锥、长方体、正方体及它们的残缺）找几何体的特征及几何量之间的位置关系.画出四个棱长为1的正方体，记平面A1B1C1D1为β，不妨设P∈α，如图1，取平面ADD1A1为α，恒有PQ1=PQ2；图2，取平面AB1C1D为α，P=A∈α，PQ1=1，PQ2=22，不满足PQ1=PQ2；图3，取平面ABCD为α，PQ1=1，P与Q2重合，PQ2=0，不满足PQ1=PQ2；图4，取平面EFA1D1为α，PQ1=1，PQ2=233，不满足PQ1=PQ2，易得选项A.

点评：本题根据所给出的新定义，采用依托立体模型（三棱锥、四棱锥、长方体、正方体及它们的残缺）找几何体的特征及几何量之间的位置关系判定两平面α，β所成角的大小，考查线面垂直的性质、二面角的平面角和面面垂直的定义等知识.

上述几个例题从不同侧面说明：在用代数与解析法解某些题遇到困难时，借助于几何图形来解，往往收到事半功倍的效果.但要注意利用数形结合思想解决问题时，要注意数与形的完整结合，由数想形时，一定要准确、全面，特别是图形一定要准确.数形结合常用的辅助工具有：数轴（直角坐标系）、两点间距离公式、向量的模、函数的图象、曲线的方程、直线的斜率、截距、二元一次不等式表示平面区域等.