巧用化归转化思想速解数学问题

刘怀成

解答数学问题离不开转化与化归，它既是一种数学思想，又是一种数学能力，是高考重点考查的数学思想方法之一.当解题思维受阻时，考虑寻求简单方法或从一种情形转化到另一种情形，也就是转化到另一种情境使问题容易得到解决，这种转化是解决问题的有效策略.转化有等价转化和非等价转化，等价转化前后是充要条件，所以尽可能使转化具有等价性.通过不断地转化，把不熟悉、不规范、复杂的问题转化为熟悉、规范、简单的问题.在不得已的情况下，进行不等价转化，应附加限制条件，以保持等价性，或对所得结论进行必要的验证.

热点考向一 具体与抽象、特殊与一般的转化

例1 若椭圆C的方程为x25+y2m=1，焦点在x轴上，与直线y=kx+1总有公共点，那么m的取值范围为 .

解析：由椭圆C的方程及焦点在x轴上，知0

又直线与椭圆总有公共点，直线恒过点（0，1），

则定点（0，1）必在椭圆内部或边界上.

则025+12m≤1，即m≥1.

故m的取值范围为[1，5）.答案：[1，5）.

点评：特殊与一般转化法是在解决问题过程中，将某些一般问题进行特殊化处理或将某些特殊问题进行一般化处理的方法.

热点考向二 正难则反的转化

例2 已知m∈R，设命题P：|m-5|≤3；命题Q：函数f（x）=3x2+2mx+m+43有两个不同的零点.求使命题“P或Q”为真命题的实数的取值范围.

解：对P：|m-5|≤3，即2≤m≤8，

对Q：由已知得f（x）=3x2+2mx+m+43=0的判别式Δ=4m2-12（m+43）=4m2-12m-16>0，

得m<-1或m>4.

所以，要使“P或Q”为真命题，只需求其反面，P假且Q假，

即m>8或m<2

-1≤m≤4，∴-1≤m<2，

∴实数m的取值范围是（-∞，-1）∪[2，+∞）.

点评：本题主要考查复合命题的真假应用，利用正难则反的原则，将P，Q至少有一个为真命题，转化为求P，Q同时为假命题时满足的条件是解决本题的关键.

热点考向三 命题的等价转化与化归

例3 已知函数f（x）=13ax2-bx-lnx，其中a，b∈R.

（1）当a=3，b=-1时，求函数f（x）的最小值；

（2）当a>0，且a为常数时，若函数h（x）=x[f（x）+lnx]对任意的x1>x2≥4，总有h（x1）-h（x2）x1-x2>-1成立，试用a表示出b的取值范围.

解析：（1）当a=3，b=-1时，f（x）=x2+x-lnx，x∈（0，+∞），

∴f′（x）=2x+1-1x=（2x-1）（x+1）x，

∵x>0，∴012时，f′（x）>0，

即f（x）在（0，12）上单调递减，在（12，+∞）上单调递增，

∴f（x）在x=12处取得最小值，

即[f（x）]min=f（12）=34+ln2.

（2）由题意，对任意的x1>x2≥4，

总有[h（x1）+x1]-[h（x2）+x2]x1-x2>0成立，

令p（x）=h（x）+x=13ax3-bx2+x，x∈[4，+∞），则函数p（x）在x∈[4，+∞）上单调递增，

∴p′（x）=ax2-2bx+1≥0在x∈[4，+∞）上恒成立.

∴2b≤ax2+1x=ax+1x在x∈[4，+∞）上恒成立，

构造函数F（x）=ax+1x（a>0），x（0，+∞），则F′（x）=a-1x2=ax2-1x2，

∴F（x）在（0，aa）上单调递减，在（aa，+∞）上单调递增.

（i）当aa>4，即0

∴[F（x）]min=F（aa）=2a，∴2b≤[F（x）]min，从而b∈（-∞，a].

（ii）当aa≤4，即a≥116时，F（x）在（4，+∞）上单调递增，

2b≤F（4）=4a+14，从而b∈（-∞，2a+18]，

综上，当0

点评：根据问题的特点转化命题，使原问题转化为与之相关，易于解决的新问题，是我们解决数学问题的常用思路.本题将条件不等式转化为函数的单调性问题，运用了分离常数法与构造函数法解决恒成立问题.

热点考向四 函数、方程、不等式之间的转化

例4 定义在R上的函数f（x）满足：f（x）+f′（x）>1，f（0）=4，则不等式exf（x）>ex+3（其中e为自然对数的底数）的解集为 .

解：由题意可知不等式为exf（x）-ex-3>0，

设g（x）=exf（x）-ex-3，∴g′（x）=exf（x）+exf′（x）-ex=ex[f（x）+f′（x）-1]>0，

所以函数g（x）在定义域上单调递增，又因为g（0）=0，所以g（x）>0的解集為{x|x>0}.

点评：把不等式转化成函数问题，利用函数的导数判断函数的单调性，根据函数性质可求出解集.函数、方程与不等式就像“一胞三兄弟”，解决方程、不等式的问题需要函数帮助，解决函数的问题需要方程、不等式的帮助，因此借助于函数、方程、不等式进行转化与化归可以将问题化繁为简.