解析几何定点定值问题“攻坚战”

田利剑

解析几何中的定点与定值问题，一直是高考命题的热点，也是难点.如何突破这个难点？一直是困扰考生们的一个难题.我们一起来攻克这个“堡垒”！

一、定点问题

1.处理定点问题的思路：

（1）确定题目中的核心变量（此处设为k）；

（2）利用条件找到k与过定点的曲线F（x，y）=0的联系，得到有关k与x，y的等式；

（3）所谓定点，是指存在一个特殊的点（x0，y0），使得无论k的值如何变化，等式恒成立.此时要将关于k与x，y的等式进行变形，直至易于找到x0，y0.常见的变形方向如下：

①若等式的形式为整式，则考虑将含k的项归在一组，变形为“k·g（x，y）”的形式，从而x0，y0只需要先满足g（x，y）=0即可；

②若等式为含k的分式，x0，y0的取值一方面可以考虑使其分子为0，从而分式与分母的取值无关；或者考虑让分子分母消去k的式子变成常数（这两方面本质上可以通过分离常数进行相互转化，但通常选择容易观察到的形式）.

2.一些技巧与注意事项：

（1）面对复杂问题时，可从特殊情况入手，以确定可能的定点（或定直线）.然后再验证该点（或该直线）对一般情况是否符合.属于“先猜再证”.

（2）有些题目所求与定值无关，但是在条件中会隐藏定点，且该定点通常是解题的关键条件.所以当遇到含参数的方程时，要清楚该方程为一类曲线（或直线），从而观察这一类曲线是否过定点.尤其在含参数的直线方程中，要能够找到定点，抓住关键条件.例如：直线l：y=kx+k-1，就应该能够意识到y=k（x+1）-1，进而直线过定点（-1，-1）.

例1 椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的离心率为12，其左焦点到点P（2，1）的距离为10.

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）若直线l：y=kx+m与椭圆C相交于A，B两点（A，B不是左右顶点），且以AB为直径的圆过椭圆C的右頂点.求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标.

解析：（1）e=ca=12a∶b∶c=2∶3∶1，设左焦点F1（-c，0），

∴|PF1|=（-c-2）2+（0-1）2=10，解得c=1.∴a=2，b=3.∴椭圆方程为x24+y23=1.

（2）由（1）可知椭圆右顶点D（2，0）.

设A（x1，y1），B（x2，y2），∵以AB为直径的圆过D（2，0），

∴DA⊥DB即DA⊥DB，∴DA·DB=0，

∵DA=（x1-2，y1），DB=（x2-2，y2），

∴DA·DB=（x1-2）（x2-2）+y1y2

=x1x2-2（x1+x2）+4+y1y2=0 ①

联立直线与椭圆方程：y=kx+m

3x2+4y2=12

（3+4k2）x2+8mkx+4（m2-3）=0，

∴x1+x2=-8mk4k2+3，x1x2=4（m2-3）4k2+3，

∴y1y2=（kx1+m）（kx2+m）

=k2x1x2+mk（x1+x2）+m2

=4k2（m2-3）4k2+3-8mk·mk4k2+3+m2

=3m2-12k24k2+3，

代入到①，DA·DB=4（m2-3）4k2+3+2·8mk4k2+3+4+3m2-12k24k2+3=0，

∴4m2-12+16mk+16k2+12+3m2-12k24k2+3=0，

∴7m2+16mk+4k2=0（7m+2k）（m+2k）=0，∴m=-27k或m=-2k，

当m=-27k时，l：y=kx-27k=k（x-27），

∴l恒过（27，0），

当m=-2k时，l：y=kx-2k=k（x-2），∴l恒过（2，0），但（2，0）为椭圆右顶点，不符题意，故舍去.∴l恒过（27，0）.

评注：本例通过求出含参直线方程来确定直线经过的定点.

例2 如图，在平面直角坐标系xOy中，离心率为22的椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左顶点为A，过原点O的直线（与坐标轴不重合）与椭圆C交于P，Q两点，直线PA，QA分别与y轴交于M，N两点，当直线PQ的斜率为22时，|PQ|=23.

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）试问以MN为直径的圆是否过定点（与PQ的斜率无关）？请证明你的结论.

解析：（1）由kPQ=22可得：PQ：y=22x.

∴P（x0，22x0），

由对称性可知：|OP|=12|PQ|=3.

∴x20+（22x0）2=3x0=2，

∴P（2，1），由e=ca=22可得a∶b∶c=2∶1∶1，

∴椭圆方程为x22b2+y2b2=1代入P（2，1），可得：b2=2，a2=4，

所以椭圆C：x24+y22=1.

（2）设P（x0，y0）由对称性可知Q（-x0，-y0），由（1）可知A（-2，0），

设AP：y=k（x+2），联立直线与椭圆方程：

y=k（x+2）

x2+2y2=4x2+2k2（x+2）2=4，整理可得：

（2k2+1）x2+8k2x+8k2-4=0，

∴xAx0=8k2-42k2+1解得：x0=2-4k22k2+1，代入y=k（x+2）可得：

y0=k（2-4k22k2+1+2）=4k2k2+1，∴P（2-4k22k2+1，4k2k2+1）从而Q（-2-4k22k2+1，-4k2k2+1），

∴kAQ=0-（-4k2k2+1）-2-（-2-4k22k2+1）=4k2k2+1-8k22k2+1=-12k，

∴AQ：y=-12k（x+2），因为M，N是直线PA，QA与y轴的交点，

∴M（0，2k），N（0，-1k），∴以MN为直径的圆的圆心为（0，2k2-12k），半径r=|2k2+12k|，

∴圆方程为：x2+（y-2k2-12k）2=（2k2+12k）2，整理可得：

x2+y2-2k2-1ky+（2k2-12k）2=（2k2+12k）2x2+y2-2k2-1ky=2，

所以令y=0，解得x=±2.

评注：本题通过求出含参数的圆方程来确定动圆经过的定点.

二、定值问题

所谓定值问题，是指虽然圆锥曲线中的某些要素（通常可通过变量进行体现）有所变化，但在变化过程中，某个量的值保持不变即为定值.

1.常见定值问题的处理方法：

（1）确定一个（或两个）变量为核心变量，其余量均利用条件用核心变量进行表示；

（2）将所求表达式用核心变量进行表示（有的甚至就是核心变量），然后进行化简，看能否得到一个常数.

2.定值问题的处理技巧：

（1）对于较为复杂的问题，可先采用特殊位置（例如斜率不存在的直线等）求出定值，进而给后面一般情况的处理提供一个方向；

（2）在运算过程中，尽量减少所求表达式中变量的个数，以便于向定值靠拢；

（3）巧妙利用变量间的关系，例如点的坐标符合曲线方程等，尽量做到整体代入，简化运算.

例3 已知椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0）经过点P（62，12），e=22，动点M（2，t）（t>0）.

（1）求椭圆标准方程；

（2）设F为椭圆的右焦点，过F作OM的垂线与以OM为直径的圆交于点N，求证：ON的长为定值，并求出这个定值.

解析：（1）由e=22可得：a∶b∶c=2∶1∶1，

∴椭圆方程可转化为：x22b2+y2b2=1，将P（62，12）代入椭圆方程可得：

12b2（62）2+1b2（12）2=1，解得：b2=1.∴椭圆方程为x22+y2=1.

（2）由（1）可得：F（1，0），OM：y=t2x.

思路一：通过圆的性质可得ON⊥MN，而NF⊥OM（设垂足为K），由双垂直可想到射影定理，从而|ON|2=|OK|·|OM|，即可判定|ON|为定值，

∴FN：y=-2t（x-1），设OM与FN相交于K，

则由y=t2x

y=-2t（x-1）解得：K（4t2+4，2tt2+4），

∴|OK|=（4t2+4）2+（2tt2+4）2=4t2+4，

|OM|=4+t2，

∵OM为圆的直径，∴ON⊥MN，∵NK⊥OM，

由射影定理可得：|ON|2=|OK|·|OM|=2，

∴|ON|=2.

思路二：本题也可从坐标入手，设N（x0，y0），则只需证明|ON|2=x20+y20为定值即可，通过条件寻找x0，y0关系，一方面：FN⊥OMFN·OM=0，可得2x0+ty0=2；另一方面由N点在圆上，可求出圆的方程（x-1）2+（y-t2）2=t24+1，从而（x0-1）2+（y0-t2）2=t24+1，展开后即可得到x20+y20为定值.

解析：设N（x0，y0），则FN=（x0-1，y0），OM=（2，t），

∴FN·OM=2（x0-1）+y0t=0，∴2x0+y0t=2，

OM的中點坐标为（1，t2），|OM|=t2+4，

∴r=t2+42，

∴以OM为直径的圆方程为：

（x-1）2+（y-t2）2=t24+1，

代入N（x0，y0），可得：

（x0-1）2+（y0-t2）2=t24+1，

∴x20+y20-2x0+1-ty0+t24=t24+1x20+y20=2x0+ty0=2，

∴x20+y20=2即|ON|2=2，∴|ON|=2.

评注：本例思路一，利用几何性质求定值；思路二则通过整体代换求出定值.

例4 已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的离心率为23，半焦距为c（c>0），且a-c=1，经过椭圆的左焦点F，斜率为k1（k1≠0）的直线与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点.

（1）求椭圆C的方程；

（2）设R（1，0），延长AR，BR分别与椭圆交于C，D两点，直线CD的斜率为k2，求证：k1k2为定值.

解析：（1）e=ca=23，设c=2k，a=3k.由a-c=1可得：3k-2k=1k=1，

∴a=3，c=2，∴b2=a2-c2=5，

∴C：x29+y25=1.

（2）由（1）可得F（-2，0），设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），

可得：AR：y=y1x1-1（x-1）x=x1-1y1y+1，

∴联立方程x=x1-1y1y+1

x29+y25=15-x1y21y2+x1-1y1y-4=0，

∴y1y3=-4y215-x1=4y21x1-5，∴y3=4y1x1-5，

∴x3=x1-1y1y3+1=5x1-9x1-5，

∴C（5x1-9x1-5，4y1x1-5），

同理，直线BR与椭圆交点D的坐标为

D（5x2-9x2-5，4y2x2-5），

∴k2=y3-y4x3-x4=4y1x1-5-4y2x2-55x1-9x1-5-5x2-9x2-5

=4y1（x2-5）-4y2（x1-5）（5x1-9）（x2-5）-（5x2-9）（x1-5）

=4y1（x2-5）-4y2（x1-5）16（x2-x1）

=y1x2-y2x1+5（y2-y1）4（x2-x1），

设AB：y=k1（x+2），∴y1=k1（x1+2）

y2=k1（x2+2），代入可得：

k2=k1（x1+2）x2-k1（x2+2）x1+5（y2-y1）4（x2-x1）

=2k1（x2-x1）+5（y2-y1）4（x2-x1）

=12k1+54·y2-y1x2-x1=12k1+54k1=74k1，

∴k2k1=74.

评注：本题要求证的是两个参数（k1，k2），故只需寻求它们之间的关系，即导出一个关于k1，k2关系式，便可求出定值.