基于滞后效应的轨道不平顺与车体振动间的相关性研究

石玉红，何 平，耿绮灵，高薇薇

(西南交通大学 数学学院， 成都 611756)

轨道不平顺对机车车辆系统是一种外部激扰，是产生机车车辆振动、噪声的主要根源[1]。车辆的异常振动不仅会对列车造成程度不一的摩擦，减少列车的寿命，还会引起列车运行的不平稳，从而影响乘客乘坐的舒适性，同时车体的异常振动也是安全隐患。因此，研究轨道的不平顺与车体振动间的相互关系的密切程度及其变化规律以便及时做出判断，进行必要的统计分析与预测是很有实际意义的。

在此背景下，国内外学者开展了大量的研究工作，主要集中在功率谱密度理论方面，利用谱分析[2-7]讨论轨道的不平顺对车体振动的影响。文献[2]利用谱分析方法研究了轨道不平顺波长与幅值对车-轨系统竖向振动响应的影响；文献[3]基于车辆-轨道耦合动力学理论，研究了轨道不平顺对车辆-轨道横向随机振动的影响；文献[4]基于轨道不平顺演化特征，建立了短程的轨道不平顺幅值预测模型；文献[5]运用周期图法计算京津城际铁路的轨道不平顺谱，并对计算结果进行了详细分析；文献[6]基于转向架的理论和实践结果，分析获得了轨道不平顺对车体的垂直振动的响应；文献[7]通过建立三维列车-轨道耦合动力学模型来分析轨道不平顺短波分量对列车动力响应的影响。以上研究没有定量地刻画出轨道不平顺与车体振动间的内在规律性，更没有对因轨道不平顺性产生的车体垂直振动延迟效应进行相应的分析。尤其是轨道不平顺对车体垂向振动的影响存在滞后性，使得轨道不平顺和车体垂直振动间的拟合效果非常不理想，从而导致不能定量刻画出轨道不平顺对车体垂直振动的影响，干扰研究者对轨道不平顺对车体振动间的影响做出准确的推断和预测。基于此背景，考虑到轨道不平顺与车体振动间的相关性错综复杂(既与运行速度有关，又由于减震系统的作用而有延迟效应)，本文基于减震系统产生的滞后效应，研究轨道不平顺与车体振动间的内在规律，并给出定量刻画。

由于轨道的前后高低不平、轨距的宽窄不一、左右两轨的高度不等、存在三角坑等问题都属于轨道的不平顺，故轨道不平顺指标就涉及左右轨高低、超高、轨距、三角坑等，并且把车速指标也加入到车体振动的激励因素。用车体的水平加速度、垂直加速度分别来度量车体的左右振动、上下振动。

1 轨道不平顺与车体振动间的回归分析

从源数据*数据来源：本文分析所用的数据是由导师负责的项目中，从某单位获取的数据，而该数据是由轨检车在某轨道段(基于保密协议，在此不说明具体轨道段)上行驶一圈，每隔0.25 m采集一次数据所得。中选取轨距、轨向、高低等7个轨道不平顺指标和车体水平加速度、垂直加速度2个车体振动指标并加入车速指标制作矩阵散点图。初步观察变量间关系，并利用SPSS计算其Person相关系数，结果表明：超高和曲率两指标相关系数为0.999，呈显著相关[8]。故考虑到复共线性问题，对解释变量进行筛选，超高和曲率两者舍一指标。本文选取超高指标进行后续分析。符号说明：x1、x2、x3、x4、x5、x6、x7分别表示轨距、超高、左轨向、左高低、三角坑、车速、水平。

1.1 水平加速度的多元回归分析

对车体水平加速度与轨道不平顺指标采用多元线性模型、非线性模型、交互响应模型进行拟合，遵循模型拟合的简单与有效原则，选择多元线性回归模型进行拟合，所采用的模型为

(1)

表1表明：模型拟合效果即调整后的R2为0.940，拟合效果好。故选择多元线性回归模型来描述车体水平加速度和轨道不平顺之间的统计规律是有统计意义的。

表1 模型(1)方差分析结果

得到水平加速度与轨道不平顺指标所建立的多元回归方程：

y=-0.031 14+0.000 40x1+0.000 41x2-

0.001 83x3+0.000 18x4-0.000 15x5+

0.000 27x6-0.000 58x7

(2)

式(2)表明：轨道不平顺解释变量中左轨向和水平对车体水平加速度的影响比较显著，做出的贡献也大，且轨向和水平越大，车体的水平加速度反而越小，即车体左右振动越小；而轨距和超高对水平加速度的影响也较大，并且轨距和超高越大，车体的水平加速度也越大，即车体左右振动越厉害。由此定量刻画了水平加速度与轨道不平顺的内在规律。

1.2 垂直加速度的多元回归分析

类似地，对车体垂直加速度和轨道不平顺指标建立多种回归模型，遵循简单与有效原则，相比选择多元线性回归模型更合理，采用的模型为

(3)

表2表明：该模型拟合优度为0.175，拟合效果并不理想，故不能用该模型刻画车体垂直加速度与轨道不平顺指标之间的关系。究其原因，推断是因为列车多重减震系统延迟了车体垂直方向的响应，致使车体垂直加速度滞后。以下进一步地分析滞后的车体垂直加速度与轨道不平顺解释变量间的内在规律。

表2 模型(3)方差分析结果

2 基于滞后效应的多元回归分析

2.1 定滞后量回归模型

本文分析所用的数据是轨检车在轨道上行驶1圈，每隔0.25 m采集1次数据所得到的，即在距离轴上每条数据间隔为0.25 m，并称2条相邻数据的间隔为1步，在此，把车体垂直加速度滞后的步数称为滞后量。首先考虑垂直加速度的滞后量恒定不变的情形，建立定滞后量的车体垂直加速度和轨道不平顺指标的回归模型:

k=1,2,…,9 000

(4)

式中:k为数据的序号;h为车体垂直加速度的滞后量；xi(k)(i=1,2,…,7)为第k组数据的第i个自变量。

利用Matlab软件编程，以模型拟合优度最大为目标，求出车体垂直加速度的最优滞后步数,即模型需要的滞后量。结合实际中多重减震系统的延迟时间，给定程序中滞后量的上限值为500，相当于在列车车速为120 km/h的情况下，减震系统使车体垂直方向的振动延迟了3.75 s，远超过了实际的延迟时间，故保证了最优滞后量落在给定的范围内。拟合优度随滞后量的变化如图1所示。

图1 拟合优度变化趋势

分析结果表明：在垂直加速度的滞后量为0(即垂直加速度不滞后)时，模型的拟合优度最高，为0.204 3(注意：为了保证滞后的垂直加速度的数据可用，该回归分析实际所用数据为9 000个)，分析结果并不与实际相符。综合分析列车运行各方面因素，猜想车体垂直加速度的滞后量可能与车速有关，即每处的垂直加速度的滞后量可能会受该处的车速所影响，滞后量可能随着速度的改变而变化，故建立变滞后量回归模型对车体垂直方向的响应与激励进行拟合。

2.2 变滞后量回归模型

2.2.1 变滞后量回归模型

为了分析车速对滞后量的影响，把车速的单位换算成步/s(即0.25 m/s)。为了减少机理误差，对数据做8步移动平均处理进行“响应变量滤波”，消除机理误差。经过多项式模型、对数模型、指数模型等多种模型对比，对车速与滞后量建立线性回归模型：

h=a+bx6

(5)

式中：h为车体垂直加速度的滞后量；x6为对应时刻的车速。故变滞后量回归模型方程为

k=1,2,…,9 000

(6)

变滞后量回归模型为

k=1,2,…,9 000

(7)

式中：[a+bx6(k)]为离a+bx6(k)最近的整数；k为里程点即数据序号。

2.2.2 变滞后量回归方程的算法

利用Matlab软件进行编程，具体算法步骤如下：

步骤1 给定滞后量与车速模型方程的系数即a、b的初值a′、b′。

步骤3 回归拟合滞后的垂直加速度y′和轨道不平顺指标xi(i=1,2,…,6)。

步骤4 求解回归模型，得到当拟合优度最大时滞后量与车速模型方程的系数，即a、b的值。

对于滞后量与车速模型方程的1次项系数和常系数(即a、b的初值)，经过大量尝试，给定a、b初值分别为0.2、7，最后得到的变滞后回归模型的拟合效果有了较大提升，其模型拟合优度为0.296，同时得到a、b的值分别为-0.082 9、8.654 8。由此可得到垂直加速度的滞后量与车速的模型方程：

h=8.654 8-0.082 9x6

(8)

分析该模型方程可以得到：在轨检车测量数据的这条轨道上，垂直加速度的滞后量随着车速的增大而减小。

利用Matlab软件，得到变滞后的车体垂直加速度的回归模型的检验结果,如表3所示。

表3 检验结果

从表3中可以看出:其复相关系数R2即拟合优度为0.296，虽与不滞后的模型拟合效果相比已有较大提高，但仍不尽如人意。这是由于滞后量与车速模型方程的系数(即a、b的初值的设定)对模型效果影响较大，这也是本研究需要有所提高的部分。

2.3 垂直加速度滞后值与其估计值的趋势分析

绘制滞后的垂直加速度与其拟合值之间的拟合对比线图，直观分析滞后的垂直加速度响应与激励拟合的效果，结果如图2所示。图2中：外围蓝色为滞后的垂直加速度的线图；中间绿色为其模型估计值的线图；纵坐标表示垂直加速度值，为方便数据分析，其是初始值的1 000倍。从图2中可以看出：滞后的垂直加速度与其模型估计值变化趋势大致相同。

图2 对比线图

为了更为细致地观察分析滞后的垂直加速度与其估计值的变化趋势，从9 000个拟合数据中随机抽取1%比例的数据，得到近90个数据，制作滞后的垂直加速度与其估计值的对比线图。如图3所示，其中纵坐标表示垂直加速度值，为方便数据分析，其是初始值的1 000倍。

从图3中可以看出：滞后的垂直加速度与其模型估计值的变化趋势大致上是相同的，并且对于个体数据来说，两者的极大值和极小值基本同步，表明用关于速度的函数拟合的滞后量附加于垂直加速度和轨道不平顺模型中是合理可取的。

图3 1%对比线图

3 结束语

在多元统计学方法的基础上，考虑因列车多重减震系统而导致轨道不平顺对车体垂直振动激励的延迟效应，造成车体垂直加速度在距离轴上滞后的问题，基于滞后效应，分析轨道不平顺对车体垂直振动的影响。

建立了模型效果高达0.940的多元线性回归模型，较好地定量刻画了车体水平加速度和轨道不平顺指标之间的内在规律，并给出了模型拟合方程。根据方程可以评估轨道不平顺各指标对车体水平方向的振动的影响力度。

车体垂直加速度和轨道不平顺指标间的常规回归模型效果不理想，把定滞后量加入模型中也不能使模型效果得到改善。结合车速对车体振动延迟效应的影响，建立与车速相关的变滞后回归模型。

与常规回归模型相比，变滞后量回归模型的模型拟合效果有了较大提高，但仍不尽如人意，这与算法中设定车速和滞后量的关系模型方程系数的初值有较大关系。

绘制了变滞后的垂直加速度与其拟合值之间的对比线图。结果表明：滞后的垂直加速度与其估计值的变化趋势基本一致，区域内两者的极大值和极小值基本同步。说明变滞后回归模型的拟合有一定的实际意义与参考价值。

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