让旧题“飞”

浙江省温州市龙湾区育英学校 卢芬芳

一、话题由来

在很多次的复习课堂观摩活动中我发现，一些来自教材的、学生已经做过的旧题，经过打造，竟然也可以媲美初次接触的新题，上出不一般的味道。由此看来，在数学核心素养的视角下，在复习课中，我们对这些“旧题”还可以选择性地再“飞”一会，或连、或变、或添、或追，实现“二次应用”。

二、应用策略

1．连术：借题生线

不少教师认为，复习课很难上。单说选题吧，习题千千万，未选头已昏。但是，若我们多翻阅几遍教材，精心揣摩各个例习题之间的内在联系，或许就能在这些旧题中连出“一线天”。

案例1：浙教版（下同）九年级下册《解直角三角形复习课》基本流程如下：

步骤1：出示Rt△ABD，其中点D是直角顶点，梳理锐角三角函数。

步骤2：在BD的延长线上取点C使∠ACD=60°，形如21页例5。

步骤3：向左折叠△ADC，形如23页作业题3。

步骤4：作∠ACD的角平分线，交AD于点Q，形如23页作业题4。

步骤5：作∠ABC的角平分线，交AE于点E，形如23页作业题5。

我一直认为，复习课要体现核心素养的理念，构建数学知识的一条逻辑主线是必不可少的。本案例中，设计的主线是直角三角形边角之间的内在逻辑联系。由此，教师精心筛选了教材中学生已经做过的例习题，把常见的几种类型收纳于典型问题之中，通过图形的不断微调连成一条主线，倒也其乐融融！

2．变术：借题换景

荷兰数学家弗赖登塔尔指出：“数学源于现实并用于现实，要从学生的生活环境中创造出数学”。二次应用教材例习题有时也需要教师从现实生活中寻找旧题的情境原型，实现借题换景。

案例2：七年级上册《一元一次方程的应用复习》。

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显然，本案例有意降低门槛，借题换景，将它们置于我们重新设置的“衣食住行皆学问、生活处处有方程”的主题之下，让学生在亲切的生活情景中切入、展开、提升。一堂课就是一次对教材现有例习题二次应用的回望，感受知识根于基础、高于基础的刻骨；一堂课又是一次用平常心对待应用题的体验，感受知识归于生活、用于生活的铭心。

3．添术：多题归源

案例3：九年级上册《垂径定理及其逆定理复习课》。

书本65页作业题1： ⊙O中弦AB的长为8，弦AB的弦心距为3，求⊙O的半径——用好一个由弦心距、弦的一半、半径所组成的直角三角形OCB。

问题1：如把此题的条件改为“⊙O中弦AB的长为8，小弓形的高为2”，如何求⊙O的半径？（作业本3.2（2）第6题改编）——引进方程思想。

问题2：若改为两条平行弦呢？（九上第65页作业题6）

问题3：若弦AB和CD不平行时（如垂直或相交）呢？（如作业本3.2（2）第7题）

“多题归源”策略的第一步就是“源问题”的定位，但是，由于教师与学生在知识占有量上的差异，教师眼中的“源”未必就是学生心中所认同的“根”。故而，在上述案例中，教学的首要任务是通过问题1和问题2，让“源问题”显山露水，之后通过问题3，让学生体会到“源问题”就是解决同类问题的有效利器，从而感受题量之“多”与“少”的辩证关系，固本拓新。

4．追术：借题生法

“世界上最重要的知识就是关于方法的知识”。我们说教材例习题一般都具有典型性、示范性和迁移性，是因为它们或是渗透了某些数学方法，或体现了某些数学思想。

案例6：《等腰三角形的性质复习课》。

本课先是直接出示了八年级上册课本27页练习2。

环节一：引题回忆——当时你是怎么做的？

环节二：一题多解——还有不同的方法吗？（由此出示了面积法）

环节三：一题多变——①还能得出其他结论吗？②条件和结论能够交换吗？③条件必要吗？若弱化（或去掉）某个条件，结论是否仍成立？④若加强（或增加）某个条件（如将“等腰三角形”改为“等边三角形”）呢？

本案例先以一个教材上学生做过的似乎也没留下多少深刻印象的旧题为抓手，通过一题多解、一题多变，一个问题的解决随即孕育了另一个新问题的产生，这是一个“从薄到厚”的学习过程。其次，从课堂的收发处理来看，无论是一题多解暴露学生的思维过程，抑或是昭示课堂高潮的“一题多变”，都体现了数学思考的固有规律和变化之神奇！最后，从目标设计的起点来看，教师的课堂教学目标是引导学生“学会解题”，这是多么了不起！

总之，教师如果能在课前充分吃透教材现有的例习题，或变、或连、或添、或追，那么，在复习课中，就尽量让旧题“飞”吧，既增强了学生学习历程的愉悦感，又剑指核心素养，何乐而不为呢？

[1]严育洪．新课程评价操作与案例[M]．北京：首都大学出版社．

[2]李运明．借题发挥,数学课堂更精彩[J]．师道教研．

[3]杨英杰．谈谈初中数学教材习题的挖掘与利用[J]．中学数学教学．