论数学文化与数学教育

麦蔚锋

摘 要 数学是人类的一种文化，数学文化的内涵有其特性。从数学文化本质去了解其历史观、哲学观、学科观、美学观和创新观，更能让人们知道数学文化在数学教育中的作用和地位，让数学文化融入到数学教育教学实践中，从而实现数学在学科中的进步。

关键词 文化 数学文化 数学教育

中图分类号：O1-0 文献标识码：A DOI：10.16400/j.cnki.kjdkx.2018.01.028

On Mathematical Culture and Mathematics Education

MAI Weifeng

（Shiqiao Qiaolian Middle School， Guangzhou， Guangdong 511400）

Abstract Mathematics is a kind of human culture； the connotation of mathematical culture has its own characteristics. From the nature of mathematical culture to understand its concept of history， philosophy， discipline， aesthetics and innovation， but also to enable people to know the role of mathematical culture in mathematical education and status， mathematics and culture into the mathematical education and teaching practice， thus achieve the progress of mathematics in the discipline.

Keywords culture； mathematical culture； mathematics education

二十世纪美国数学家M.克莱因（Morris·Kline）认为：“数学是一种精神，一种理性的精神。正是这种精神，激发、促进、鼓舞并驱使人类的思维得以运用到最完善的程度，亦正是这种精神，试图决定性地影响人类的物质、道德和社会生活；试图回答有关人类自身存在提出的问题；努力去理解和控制自然；尽力去探求和确立已经获得知识的最深刻的和最完美的内涵。”德国数学家外尔说过：“数学除了语言与音乐之外，人类心灵自由创造力的主要表达方式之一，……，数学必须保持为知识、技能与文化的主要构成要素，而知识与技能是得传授给下一代的，文化则是需要下一代传承的。”

因此，数学是以一种文化体系的形式屹立于人类文化之中，并影响着人们的生活与生产活动，从而让人们不断认识、追求与传承数学文化。

1 数学文化的涵义

1.1 什么是数学文化

《原始文化》中记载：“文化是知识、信仰、艺术、道德、法律、习俗和任何人作为一名社会成员而获得的包括能力和习惯在内的复杂整体。”学者认为，数学是一种文化，数学对象是人类抽象思维的产物，是人类文化的组成部分。数学不仅是关于数的世界、形的世界或更广阔的科学，数学还是一门充满人文精神的科学。

美国学者R.Wilder认为：“数学是一个由于其内在力量与外在力量共同作用而处于不断发展和变化之中的文化系统。”李兴怀先生认为：“数学文化是社会群体在各种数学活动中所创造的物质财富和精神财富的总和。”[1]此种说法表明，数学文化包括数学知识体系、数学的思想方法等精神内容。

顾沛教授从狭义和广义两方面谈及数学文化，他认为，狭义的数学文化，即数学的思想、观点、方法、语言及其形成和发展过程；广义的数学文化，还包括数学史、数学家、数学美、数学教育、数学发展中的人文成分以及数学与各种文化的关系。

显然，数学文化不是单一的“数学”+“文化”，其内涵呈现开放、多元和动态的数学内部及其与外部的联系。《课程标准》提出：“数学是人类的一种文化，它是现代文明的重要组成部分。”

数学是人类宝贵的文化财富。数学文化究其本质，是指数学作为人类认识世界和改造世界的一种科学语言、思维工具、思想方法、理性精神、活动产品，是数学在人们在实践中所创造的物质财富和精神财富的积淀，是数学与人类的结合。

2 数学文化的学术气息

2.1 数学文化的发展观

整个数学的发展史是和人数物质文明和精神文明的发展史交融在一起的。数学不仅是一种精确的语言和工具、一门博大精深并应用广泛的科学，而且更是一种先进的文化。它在人类文明的进程中一直起着积极的推动作用，是人类文明的一个重要支柱。[2]

数学发展经历了一个漫长的时期。它影响着每一个时期的思想、观念与精神，数学具有独特的历史使命。

从数学的发展上，经历四个历史时期。第一个时期为数学的起源与早期发展，主要以古埃及的几何学、古巴比伦的代数学、古印度的阿拉伯数字为代表。第二个时期称为初等数学时期，又分三个不同的历史时期：古希腊时期（公元前6～6世纪）数学、中世纪（3～15世纪）东方数学和欧洲文艺复兴时期（公元15～16世纪）。第三个时期称为近代数学时期（公元17～18世纪），即变量数学时期，经历了两大步骤：第一步是解析几何的产生；第二步是微积分的创立。第四个时期称为现代数学时期（公元19世纪20年代以來），数学发展的主要特征是空前的创造精神和高度的严格精神相结合。其中典型的成就包括分析学的严格化、射影几何的复兴及非欧几何的诞生、代数中群论和非交换代数学的产生以及公理化运动化的开端等。[3]

2.2 数学文化的哲学观

古希腊时代，哲学思想一定程度上来自数学，数学与哲学密不可分。数学文化的哲学观，就是把数学看作一门思维学科。

2.2.1 数学与哲学的联系

著名数学家B.Demollins说，“没有数学，我们无法看透哲学的深度；没有哲学，人们也无法看透数学的深度；而若没有两者，人们就什么也看不透。”数学与哲学之间紧密联系，彼此相互促进，共同推动科学的发展。数学与哲学都具有高度的抽象性和严密的逻辑性，数学是研究事物的量及其关系的具体规律，哲学则是研究自然、社会和思维的普遍规律。所以数学与哲学是个性与共性、特殊与普遍的关系。[4]

哲学依赖数学等具体学科为其提共大量丰富的具体知识与具体规律，在此基础上加工改造，才能抽象、概括出整个世界最一般的本质和最普遍规律。数学学科能够解释并验证人们对客观世界的一般认识规律。

然而，哲学必然为数学学科发展提供正确的世界观和方法论上的指导。例如，推导一个圆的面积公示时，将圆分割成n个扇形，拼成类似长方形，当n不断增大时，弧线拼接转化成直线，n→∞时，多个扇形的面积之和转化为矩形的面积，从而推导圆的面积公示为S= r2。由近似值转化为精确值，这个过程蕴藏了矛盾的对立统一和量变质变的规律，其中哲学思想在数学研究中的指导作用是非常重要的。

2.2.2 数学与哲学的区别

一方面，两者的思维方式不同，数学是从量的角度去分析问题，而哲学是从质的角度去分析问题。另一方面，两者的研究问题的着眼点和采用的研究方法不同，数学注重单纯的数量关系，使用分析工具是各种运算法则，包括数学定理、公式等。哲学注重不同质之间的关系，使用的工具是大脑的抽象能力，即分析与综合能力，在数学悖论领域，两者所研究的问题和分析方向大不一样。

康德对于数学与哲学差别的观点：哲学知识是出自概念的理性知识，数学知识则是出自概念的构造的理性知识；哲学知识只在普遍中考察特殊，而数学知识则在个别中考察普遍。

还有一些观点认为，数学与哲学研究对象不同，研究方法也不同。更有人认为：“哲学从一门学科的退出，意味着这门学科的建立；而数学进入一门学科，就意味着这门学科的成熟。”

2.2.3 数学的哲学思维

数学的哲学思维包括抽象思维、直觉思维、形象思维、逻辑思维四方面。

抽象思维是数学文化哲学思维的灵魂。抽象思维的本质是将事件中核心要素加以归纳，从而扩大推广，达到普遍应用。比如数学史上的“将军饮马问题”，故事中的将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发，走到河边饮马后再到B点宿营。请问怎样走才能使总的路程最短？通过抽象，把河边看着一条直线，在线上寻找一点P，使PA+PB最小，转化为最短路径问题。通过对最短路径问题的解决，发现问题的本质是点关于直线对称（对称性）问题，以后遇上类似的问题就可以使用对称性，从而解决问题。

直觉思维是数学文化哲学思维的又一组成部分。直觉思维属于非逻辑，其特点是突然出现和非预期性。数学家庞加莱一直坚持：“逻辑可以告诉我们走这条路，或告之那条路保证不遇到任何障碍，遗憾的是，却不能告诉我们哪一条道路能引导我们到达目的地。数学教导我们瞭望的本领是直觉，直觉实际上是一种机敏的洞察力，是一种无法言传身教的，同时是每个数学家所必不可少的素养。”

形象思维可以激励人们的想象力和创造力，它借助数学想象，包括视觉想象、听觉想象和触觉想象。数学的形象思维是真实存在，它在乎对数学的相关性质、密切联系以及知识融合过程的形象化感觉。

逻辑思维作为数学文化的底蕴，是数学哲学的核心部分，能将知识紧密融合在一起，贯穿着数学学科各个分支。数学真理往往通过逻辑思维得到验证，演绎与归纳方法是首选。此时，逻辑思维实现使数学文化系统化、科学化。通过逻辑推理，可以将分散的数学知识点串起来，构建出一个直观、形象、抽象的结构系统。罗素对数学逻辑思维有形象的描述：“以人的成长来启发，即逻辑是数学的青年时代，数学是逻辑的壮年时代，两者没有明确分界。”

2.3 数学文化的学科观

M.克莱因曾说过：“数学是一种方法，更是一门艺术或一种语言。同时，数学又是一门有着丰富内容的知识体系，其内容对哲学家、逻辑学家、自然科学家、社会科学家和艺术家十分有用，同时影响着政治家和神学家的学说。”爱因斯坦对数学如此的评价：“在现代经验科学中，数学已崭露头角，能否接受数学方法已越来越成为该学科成功与否的主要判别标准，我们深信不已。”

很多的事实表明，数学来源于现实世界，在现实世界涌现出在人与自然之间的诸多问题，是数学科学的基础。人们借助经验的发展，经过对比、类比、延伸、归纳等方法，结合对现实世界的观察与探索，从而抽象出概念、定义、公理或定理。2000多年来，数学的定义、公设、定理不断应用到人们生活实践中，常见的数学分支有算术和数论、几何学、拓扑学、群论、概率、统计学、集合论、组合论、逻辑、微积分学等。

数学概念的抽象、归纳，应用到现实生活中，形成了数学模型。数学模型是对现实世界的对象物化后的东西，是数学思想活动的体现，更是一种灵魂。

2.4 数学文化的美学观

我们研究数学文化，不能离开数学文化美学观的范畴。对数学的审美追求已成为数学得以发展的重要源动力。维纳称：“数学实质上是艺术的一种。”庞加莱也说过：“感觉到数学的美，感觉到几何的优雅，数学的美是一种难以用精妙的语句描述，但却又是数学家能清楚地感受到的。”

数学美的表现形式是多样的，从内容看，有概念之美、公式之美、体系之美等；从方法及思维看，有简约之美、类比之美、抽象之美、无限之美；从美好角度看，有對称之美、和谐之美、奇异之美等。[5]

数学美有其独特性，如在命题模型、公式符号、抽象概念、系统结构、思维方式、推理论证等方面，表现出简异、和谐与优美，它是数学创造的自由形式，它揭示了规律性，是一种科学的真实美。

数学语言的简洁是一种美。数学语言抽象而精确、简练而多样、科学而通用。数学语言大体分为数学文字语言、数学符号语言和数学图表语言。三种语言各有优势，文字语言通俗、易懂；符号语言十分简洁，描述起来给人以结构感；图表语言更直观、形象。

数学符号表达的内容极其广泛而丰富，正是数学美的一个方面。数学的符号美被人们认同的原因有：数学符号的方便性、简结性、代表性。几何形体中那些优美的图案（直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线等）更是令人赏心悦目。

在“对称”中往往体现出数学的“美”来。几何中具有对称性的图形很多，都给我们一种舒适优美的感觉。从古希腊时代起，对称性就被认为是数学美的一个基本内容。几何中的对称性如轴对称、中心对称、镜像对称等图形很多，都给我们一种舒适优美的感觉，在园林建筑等方面体现得无微不至。如筝形、杨辉三角都组成美丽的平面对称图形。

和谐美，又称统一美。和谐性是数学结构美的重要标志，表现为各种数学形式在不同层次上的高度统一和协调，反映了客观世界的和谐与统一。希尔伯特的观点：“和谐统一，是这门学科固有的特点，因为这是一切自然科学知识的基础，不容置疑。”犹如黄金分割理论，其应用于正五角星每条边的分割、维纳斯像雕塑设计、主持人站在舞台黄金分割位置等，无不体现数学的和谐美。数学推理的严谨性和无矛盾性也是和谐美的一种体现，其犹如艺术作品中合理的布局、流畅的线条和层次分明的色阶。和谐性则是严谨性的必要条件，其和谐性表现特别突出。

奇异美也是数学美的一个基本内容。数学中，我们经历了出人意料的反例、巧夺天宫妙的解题方法以及不可思议的结论，令人眼前一亮，惊讶不已，这是数学的奇异之美。我们解某一数学问题，如果从某一角度用某种方法难以奏效时，不妨换个角度去思考，换个方法去处理便可能“迎刃而解”，達到事半功倍的效果。又如数学思维的奇异性。数学思维具有高度的简洁性和概括性，从而保证了数学思维的奇异性和统一性，高度的简洁性反作用于现实世界，蕴藏着思维的奇异性。克莱因指出：“数学思维的符号化，具有高度的简洁性，数学语言是通过精心地设计的，其具有简洁性、严密性、抽象性、概括性，如此简洁性有助于思维的效率。”数学思维由于其高度的简洁性和概括性保证了数学思维的统一性和奇异性。

2.5 数学文化的创新观

数学是一门具有创造性的科学，创新是数学文化发展的强大动力，只有不断创新，数学发展才持久不息。

数学具有典型的学科独立性，不受其他学科的制约。数学的创新具有两大特性：一是原创性。人们在生产实践中直接发明或发现的数学文化原理和内容，具有原创性。我们认识到数学的原创性，比如点、线、面、体的定义及其特性，数学中的公理、定义等都具有原创性。数学方法是一个知识工具，是其他知识工具的源泉，对新兴学科起到支撑作用。

与原创性创新相比，继承性创新同样具有不可忽视的作用和影响力。从早期欧氏几何原本理论体系，到希尔伯特的《几何基础》，通过继承、修正，创立了新的几何学。如我国数学家华罗庚教授对优选法的推广就是一个例证。因此，一门学科要完善、发展，继承性创新工作尤为重要。

3 数学文化在数学教育中的作用与地位

人类文化不断向前发展，人们在文化需求日益突显，数学文化在数学教育中的作用明显，地位越来越高，这是事物发展的必然趋势！我们简要探讨其作用与地位：

3.1 对提高学生的数学能力有利

我们知道，数学能力是多方面的。数学文化对培养学生的数学能力主要表现在：（1）培养学生对数学美的识别能力。（2）培养学生对逻辑思维的推理能力。（3）培养学生对知识奥秘的探究能力。（4）培养学生对数学思想方法的运用能力。（5）培养学生解决现实问题的应用能力。

3.2 对培养学生的学科兴趣有利

在常规学习中，人们认为数学学习是枯燥、乏味，参与数学课堂时总显得消极，表现得无兴趣。其实，人们对数学学科可能认识不深，或是课堂授课时没有传授数学学科的特性所致。在数学课堂上，教师应让学生了解数学家的生平故事，感受数学概念的来源以及公式的发现，对数学定理开展探究与推理，将数学与实际生活、生产活动联系在一起，从而引起学生的积极反映，激发学生的好奇心。数学文化的传承，可以拓展学生的学科视野，培养学生的逻辑思维能力，使数学课不再枯燥，让数学成为生动、有趣的学科。

3.3 对提升学生的数学素养有利

在授课中，帮助学生培养数学思想方法，构建数学知识系统。数学文化涵盖了丰富的数学思想方法，有利于学生通过学习数学文化，锻炼学生的思维能力。在中学课程中，从算术到代数，从常量到变量，从确定性到随机性，从平面几何到立体几何，教学内容发生了质的变化。

从数学发展史上看，其蕴含的数学思想有方程思想、函数思想、整体思想、分类思想、化归思想等等，以及从一般到特殊、从特殊到一般、归纳与演绎。

王梓坤院士谈到数学教师职责时认为：“培养学生对数学的兴趣是数学教师职责所在，学习兴趣给了他们长久钻研数学的动力。一位优秀的数学教师，让学生能永志不忘，究其原因是他点燃了学生心灵中热爱数学的熊熊烈焰。”[6]

4 在数学教育实践中渗透数学文化

目前，数学教育只停留在学科内容传授层面，只有深入学科的文化层面，才能真正提高学生的数学素养，提升数学素质，促进数学和谐发展。数学教育不仅要传递学科知识，同时也是不断提高学生的数学素质、文化素质、科学素质和思想素质。因此，重视数学的文化价值，有利于开展数学文化的传承与深化。

随着社会科技与人类文化不断发展，适应时代的要求，有必要建立与时俱进的数学文化课程体系。在课程体系中应解决数学“三性“的关系：科学性、文化性、教育性三者关系，他们互相联系与作用，从而实现科学、文化、教育三位一体的课程目标。

另外，教育者应需要更新理念，形成正确的教学教育观；不断充实教学内容，丰富数学文化的内涵；倡导师生互动，开展研究型教学活动；改革评价方式，促进数学文化的渗透。[7]

4.1 借助数学史实，渗透数学文化的人文价值

数学不仅是知识，也是一种文化，同时体现一种哲学。数学史实是一种文化沉淀，它记载了数千年的数学精神与数学力量。通过史学教学，让学生重新体现数学知识的起源、产生、演变与发展过程，发展学生对数学体系的整体认识，从而激发学生的学习兴趣。而且，让学生领会数学发展的历史及其伟大成就，深刻体现数学文化的价值源泉。

4.2 启迪数学思想方法，渗透数学文化的理念价值

数学思想方法作为数学文化的核心组成部分，每一个数学知识的产生、推理、应用都讲究思想方法，数学思想方法贯穿整个数学领域。课堂教学中，结合教学内容深入洞悉知识的联系，对方程函数思想、等价转化、数形结合思想、分类讨论思想等多明析，让学生领会数学的思想方法，更利于学生掌握数学知识，建立知识结构体系，培养学生系统地分析问题，抽象而有逻辑地构建思维能力，升华至一种文化理念。

4.3 演绎知识的生成过程，渗透数学文化的科学价值

我們知道，掌握数学中的概念、定理发明或发现的精髓，是学习数学的重要手段。因此，课堂教学既要让学生获得知识、技能、价值观，又能通过获得知识的过程来生成与发展学生的能力。数学思想、精神、理念都依附在知识生成过程中，课堂教学可以通过创设知识的产生、发展的过程，使学生在追寻数学发展的历史足迹的过程中，感受到数学知识形成的过程，体会到数学知识的发展趋势，即让学生触摸到数学知识的来龙去脉。通过知识的演绎，让学生亲身体会到数学本身的需求和社会发展的需要，这是逐步形成正确的数学观的关健所在。[8]

4.4 将数学回归生活，渗透数学文化的应用价值

从古希腊时代起，数学融入生活，很多的数学知识来源于生活，应用于生活。数学的教育教学要接近现实生活与社会生活，让学生认识到生活中处处有数学。如课程教学中的数据计算、概率统计、实际问题、生活测量、运筹规划等数学内容与生活相融，无不体现生活即数学的理念。数学课堂要体现“生活化”，势必引出教师行为方式的变化与转变，作为教师要善于处理教材，特别要加强联系实的内容，从生活中收集相关的数学知识，把身边的数学素材引进课堂，为教学内容注入新的元素，更好地为课堂教学服务。教师在授课的形式上应多样化，鼓励学生引入生活题材，提出与实际问题相关的知识内容，更好地为培养学生将实际问题转化为数学问题的能力。通过建模方法，提升学生运用数学知识解决实际问题的能力，并以此增强学生对数学学习的兴趣与动力，这是我们所期盼的。

总而言之，数学文化是构成人类文化宝库的重要知识源泉，是现代文明的基石。数学文化的思想体系、精神引领以及内容与方法都是人类发展中永恒的主题。从实践中证明，数学教育不单纯是学科教育，更应是数学文化的教育。数学文化价值渗透到教育教学实践中，以课程的形式体现在课堂教学，教学内容得以丰富，学生通过文化层面进一步理解数学，热爱数学。数学文化融入数学教育，这是时代发展的必然趋势。

参考文献

[1] 李兴怀.试论数学文化与中学数学教育[J].宝鸡文理学院学报（自然科学版），1997（6）.

[2] 张士军.漫步数学之美.高等教育出版社，2016.10.

[3] 胡伟文，徐忠晶.数学文化欣赏.科学出版社，2016.11.

[4] 曹媛，侯顺利，王强，翟维红，梁忠先.数学文化.南开大学出版社，2016.10.

[5] 吴振奎.数学中的美.哈尔滨工业大学出版社，2011.

[6] 王梓坤.让你开窍的数学[M].河南科学技术出版社.武汉理工大学出版社，1997.

[7] 薛琼，肖小峰.数学文化导论.2016.7.

[8] 百度文库.浅谈数学课堂教学中的数学文化的渗透.2014.12.