2－齐次二部距离正则图的特征值的性质

国 慧

（邢台学院数信学院，河北邢台 054001）

上世纪70年代，英国数学家N.L.Biggs给出了距离正则图的概念，接着他与数学家A.E.Brouwer， A.D.Gardiner， E.Bannai， D.H.Smiths及T.Ito等建立起距离正则图的基本理论框架。在对距离正则图的研究中，距离正则图的代数性质尤其是特殊的距离正则图的代数性质是一个重要的内容，国内外的专家学者对此进行了广泛而细致的研究。例如，A.A.Pascasio在[1]中给出关于紧距离正则图的特殊的本原幂等元的余弦序列的不等式关系；M.S.Lang在[1]中给出关于二部距离正则图的本原幂等元的余弦序列的不等式关系，并得出等式成立的等价条件，进而将等式成立与Q-多项式性质相联系。

对距离正则图，特别是特殊的距离正则图的研究是十分必要的，它与其他数学分支有着紧密的联系，如有限群，有限几何，组合设计，码论等。本文主要研究特殊的二部距离正则图，2-齐次二部距离正则图的特征值的性质，为了得出本文的结论，首先引入2-齐次二部距离正则图的概念及几个重要的引理。

1 定义及相关引理

定义：设Γ＝（X，R） 为直径d≥3的距离正则图，价k≥3。称为2-齐次的，当对所有的整数i（1≤i≤d-1）及所有的点 x，y，z，∂（x，y）＝2，∂（x，z）＝1，∂（y，z）=i，数值

γi的大小与x，y，z的选取无关，只依赖于i的选取[1]。

引理1： 设Γ＝（X，R）为直径d≥3的二部距离正则图， 价 k≥3， 特征值 θ0＞θ1＞…＞θd， 若 θ1的重数mult（θ1）＝k，Γ称为2-齐次的[2]。

引理 2： 设Γ＝（X，R）为直径d≥3的二部距离正则图，价k≥3，Γ称为2-齐次的当且仅当的交叉阵列是以下情况之一：（γ2+3γ+1），μ=γ（γ+1），

其中γ为整数且 γ≥2；

（4） ｛k，k-1，k-2，……2，1；1，2，……k-1，k ｝，k≥3[3]。

下面假设Γ＝（X，R） 为直径d≥3的距离正则图，θi（0≤i≤d）为Γ的特征值，Ei为θi对应的本原幂等元。假设存在整数r，s，t（0≤r，s，t≤d，r≠0，s≠t）使得

Er·Es∈Span(Er，Es)

且令 σ0，σ1，…，σd和 ρ0，ρ1，…，ρd分别是 Er和Es的余弦序列。

引理 3： 设Γ＝（X，R）为直径d≥3的距离正则图，记E=Er，则对所有的整数i（0≤i≤d）及所有的点 x，y∈X，∂（x，y=i）， 以下成立：

引理4： 设Γ＝（X，R）为直径d≥3的二部距离正则图，记E=Er，则对所有的整数i（0≤i≤d）及所有的点 x，y∈X，∂（x，y=i），以下成立：

引理 5： 设Γ＝（X，R）为直径d≥3的二部距离正则图，记E=Er，则对所有的整数i（0≤i≤d），以下成立：

由引理2知Γ＝（X，R） 为直径，价k≥3的2-齐次二部距离正则图的交叉阵列只有四种情况，下面只考虑交叉阵列为

｛k，k-1，k-2，…2，1；1，2…，k-1，k ｝，k≥3的情况。

引理 6： 设 Γ＝（X，R） 为直径 d≥3， 价 k≥3的二部距离正则图， θ0＞θ1＞…＞θd为 Γ 的互不相同的特征值，则以下条件等价：

（1）Γ 为 2-齐次的，且 θ1＝k-2；

（2）Γ的交叉数为ci=i，bi=d-i（0≤i≤d）；

（3）Γ 为 2-齐次的，且存在标量 β（θ1）＝2 使得

其中 σ0，σ1，…，σd为 θ1的余弦序列[2]。

引理 7： 设 Γ＝（X，R） 为直径 d≥3， 价 k≥3的二部距离正则图， σ0，σ1， …，σd为Γ的余弦序列，则有

其中σ＝σ1，且对d≥4，以下条件等价：

（1） Γ 关于 σ0，σ1，…，σd为 Q-多项式的；

（2） σi≠1（1≤i≤d），且对 1≤i≤d-1，(6)式等号成立；

（3） σi≠1（1≤i≤d）， 且对 i＝3， (6) 式等号成立[5]。

引理8： 设Γ＝（X，R）为直径d≥3的距离正则图，Ei（0≤i≤d） 为Γ的本原幂等元，Γ关于E0，E1，…，Ed为Q-多项式的，则对所有的整数i（0≤i≤d），

E1·Ei∈Span(Ei-1，Ei，Ei+1)

进而

E1·Ed∈Span(Ed-1，Ed)[4]

以上是关于二部距离正则图的代数性质的相关引理，在深入研究前人已得到的结论的基础上，结合2-齐次二部距离正则图的的概念，经过严密的推导，得出以下三个重要结论，并给出了相应的证明。

2 主要结论及证明

结论 1： 设 Γ＝（X，R） 为直径 d≥3， 价 k≥3的2-齐次二部距离正则图，

θ0＞θ1＞…＞θd为 Γ 的互不相同的特征值， 且θ1＝k-2， 其中 σ0，σ1，…，σd为关于 θ1的余弦序列，则有

证明： 因为 θ1＝k-2， 由 θ1＝kσ1知

并且由引理 6（1）、（3）知 β（θ1）＝2，并且（5）式成立，则可得

即得（7） 式。

结论 2： 设 Γ＝（X，R） 为直径 d≥4， 价 k≥3的 2-齐次二部距离正则图， θ0＞θ1＞…＞θd为 Γ 的互不相同的特征值，且θ1＝k-2，E1为θ1对应的本原幂等元，则存在Γ的互不相同的本原幂等元F，H使得

E1·F∈Span(F，H)

并且令θf，θk分别为F，H的特征值，则

θf(θf-θh)=2k

证明： 假设 σ0，σ1， …，σd为 θ1＝k-2 的余弦序列，则故

(σ-σ4)(σ-σ2)=(σ2-σ3)(1-σ3)

即 （6） 式在 i＝3 时成立， 且 σi≠1（1≤i≤d）， 由引理 7（1）、 （3） 知Γ关于 E1为 Q-多项式的。由引理8可知存在的互不相同的本原幂等元F，H使得

E1·F∈Span(F，H)

令 ρ0，ρ1， …，ρd为 θf的余弦序列， 则由引理 5可知

（8） 式中令 i＝1 得

因为Γ为二部距离正则图，ai＝0，故有ciσi-1+aiσi+biσi+1＝θσi， i＝1 时可得

由 （10） 和可得

由（9） 和（11） 式可得

θf(θf-θh) ＝2k

结论 3： 设 Γ＝（X，R） 为直径 d≥3， 价 k≥3的 2-齐次二部距离正则图，θ0＞θ1＞…＞θd为 Γ 的互不相同的特征值，且θ1＝k-2，令E，F，H为Γ的互不相同的非平凡的本原幂等元使得E1·F∈Span(F，H)， 令 θe， θf，θk分别为关于 E， F， H 的特征值，则

（1） 若 θf＝θ1， 则有 θe＝k-4， θk＝k-6；

（2） 若 θf＝θd-1， 则有 θe＝k-4， θk＝- （k-6）。

证明： 假设 σ0，σ1，…，σd， ρ0，ρ1，…，ρd分别是θe，θf的余弦序列，则由引理5知

（1） 若 θf＝θ1＝k-2， 则

（12） 式中令i-1可得

（13） 式和（14） 式联立可得

（12） 式中令 i＝2 可得（θkρ2-θeρ3）（1-σ2）。因为 E为非平凡的本元幂等元，所以σ2≠1，则

（13） 式和（16） 式联立可得

（15） 式和（17） 式联立可得。

（2） 若 θf=θd-1，则 θd-1=-（k-2），且

（14） 式和（18） 式联立可得

（16） 式和（18） 式联立可得

（19） 式和 （20） 式联立可得 θe=k-4， θh=-（k-6）。

结合二部距离正则图的相关定理及2-齐次二部距离正则图的特性，得出了以上关于2-齐次二部距离正则图的特征值的三个重要结论：即2-齐次二部距离正则图的特征值θ1=k-2（k为价） 的余弦序列的等式关系，并利用此结论得出与特征值θ1=k-2相关的两个特征值θf与θh的等式关系，同时得出当θf=θ1或θd-1时，与θf相关的两个特征值 θe与 θh的值。

对特殊的二部距离正则图的代数性质的研究可以更好地帮助我们理解其几何特征，而几何特征又可以帮助我们得到更多有价值的代数性质。同样的研究方法也可以运用到其他特殊的距离正则图的研究中，进而促进二部距离正则图理论的发展。

[1]M. S. Lang. Pseudo primitive idempotent and almost 2-hom ogeneous bipartite distance-regular graphs[J].European J.C ombine，2008，（29）：35-44.

[2]B.Curtin. 2-Homogeneous bipartite distance-regular graphs[J].Distance Math，1998 （187）：39-70.

[3]K. Nomura. Spin model on bipartite distance-regular graph[J]. J. Combine. Theory Ser. B，1994,64（2）：300-313.

[4]M.Tomiyama.Note on the primitive idempotent of dis tance

regular graphs[J]. Distance Math，2001，（240）：281-294.

[5]M. S. Lang. A new inequality for bipartite distance-regular graphs[J]. J. Combine. Theory Ser. B，2004 （90）：55-91.

[6]P.W.Terwilliger. Balanced set and Q-polynomial association schemes[J]. Graphs Combin,1998 （4）：87-94.

[7]A.A.Pascasio. A inequality on the cosines of a tight distanceregular graph[J]. Linear Algebra and its Application,2001（325）：147-159.