“综合与实践”数学活动的分型教学

《义务教育数学课程标准（2011年版）》强调教师应该根据不同学段学生的年龄特征和认知水平，根据学段目标，合理设计并组织实施“综合与实践”活动。为此，教师在初中阶段活动开展中应当特别关注学情，创造性地开展活动，既充分发挥教师的引领、调控、指导的作用，又充分发挥学生主动参与、积极思考、勇于探究的作用。教学中给予学生足够的思维时间和空间，让学生在活动中积累经验、体验乐趣、获得成功，使每个学生得到长足发展。

随着新课程改革的不断深入，如何提高“综合与实践”活动的质量、增强活动的实效性一直是大家关注的焦点。由于数学“综合与实践”活动与日常数学教学相比，无论是教学目标、教学内容，还是教学方式，都存在着显著差异，这就要求教师要根据实际情况合理选择课型、分类实施，才能使得“综合与实践”活动提质增效。下面是我们课题组在南京市初中数学“综合与实践”活动中经常采用的三种主要教学方式。

一、自学辅导，强调适切性

“自学”是指学生发挥主观能动性，运用已掌握的知识，自己去独立地获取知识；“辅导”是指教师将具有逻辑意义的活动内容同学生已有认识结构联系起来，使其融会贯通，并使学生采取和保持相应的学习心向进行学习。“自学辅导”是将学生自学与教师辅导有机结合的一种教学方式。这种方式的主要特点是把“学”放在教学过程的中心位置，寓“辅”于“学”，教学相长。使学生在获取知识的同时，掌握学习的方法，培养和提高自学能力，其实质就是让学生学会学习。运用自学辅导式教学进行“综合与实践”活动，主要针对学习主动性不够、学习基础和能力欠缺的学生，因而需要特别关注教学的适切性。

运用自学辅导方式进行教学的流程如图1。

图1

案例1：尺规作图

【知识回顾1】

1.五种基本作图分别是哪五种？

2.五种基本尺规作图的方法与步骤是什么？

【知识回顾2】

1.利用基本作图作三角形：（1）已知三边作三角形；（2）已知两边及其夹角作三角形；（3）已知两角及其夹边作三角形；（4）已知底边及底边上的高作等腰三角形；（5）已知一直角边和斜边作直角三角形。

2.与圆有关的尺规作图：（1）过不在同一直线上的三点作圆（即三角形的外接圆）；（2）作三角形的内切圆。

【问题探究】

图2

问题1：如图2，已知P为⊙O上一点，用直尺和圆规作直线l，使l与⊙O相切，切点为P。（保留作图痕迹，不写作法）

思考：（1）本题作图的实质是什么？（2）解决尺规作图题的主要步骤是什么？

问题2：如图3，已知点A、点B和直线l。（1）利用尺规在直线l上作出点P，使得∠APB＝90°；（2） 利用尺规在直线 l上作出点P，使得∠APB＝60°。

变式1：如图4，已知P为⊙O外一点，用直尺和圆规作直线l，使l过点P且与⊙O相切。（保留作图痕迹，不写作法）

图3

图4

变式2：已知P为⊙O外一点，______。

这是一节课题研究课中“学习单”的片段，教师首先让学生在“学习单”上进行两个层次的知识回顾，为活动开展预热，其间教师还对知识回顾2中的部分内容进行了辅导，为学生理清知识，去除“综合与实践”活动中的知识障碍。在学生独立完成问题1中的动手操作活动后，教师组织学生对两个思考进行交流。问题2有一定难度，关键在于“在直线l上作出点P”，要联想到构作圆，这也是本节课的难点，教师在学生充分思考和操作的基础上，帮助学生回顾圆中的直角（直径对的圆周角），反过来提示学生作直角只需要知道圆的直径。变式1实质是活动经验的应用，而变式2具有开放性，留给学生发挥的空间，这也许正是“综合与实践”活动魅力之所在。

这节课的教学起点低、梯度适当、预留空间大，是一节经典的“综合与实践”活动课，具有良好的适切性和实效性。

二、引导发现，体现过程性

引导发现式是一种以启发式教学为指导思想的教学方式。它是以问题解决为中心，以教师的“引导”为手段，以学生的“发现”为目的，充分体现学生在学习过程中的主体地位。在学习活动中，学生在教师的指导与引领下，通过积极主动的思维活动，自主地参与学习过程，通过尝试发现、实践体验、独立探究、合作交流等形式探索知识，发现、探索、掌握方法，总结规律，提高发现问题的能力，培养创新意识和实践能力。运用引导发现式进行“综合与实践”活动，主要针对学习主动性好、独立钻研意识强、学习基础和能力比较好的学生，因而需要特别关注教学的过程性。

运用引导发现方式进行教学的流程如图5。

图5

案例2：数格点，算面积

请计算下列格点多边形的面积（如图6）。

图6

问题：如何提高计算格点多边形面积的效率呢？让我们来寻找一个计算格点多边形面积的公式，以后直接代入公式计算，省略其他环节。

引导1：格点多边形的面积与哪些点有关系？

设格点多边形的面积为S，多边形内部的格点数为N，它的边上的格点数为L，下面我们来研究S、N、L三者之间的数量关系。

引导2：研究一个复杂问题常常运用什么样的方法？

活动1：在网格纸上画出符合条件的格点多边形，并记录下每一种情况中L和S的数值，填写如下表格，通过寻找数字之间的规律，猜想L和S之间的关系。

当N＝1时，

L

你发现了： 。

活动2：组织学生分组完成探究活动：当N分别为2、3时，S与L之间关系。

引导3：猜想S、N、L三者之间的关系。

引导4：你的猜想正确吗？请验证。

活动3：初步验证猜想。

学生以小组为单位，分工协作完成“皮克定理”的初步验证。

这是一节课题研究课，也是一节南京市市级公开课。教学内容选取于课外，由于规律（公式）的探究和发现难度高、挑战性强，为了提质增效，教师在活动的每个环节都做了精心打磨，特别是在何时、何处进行引导以及怎样引导上进行了认真设计。

首先学生运用常规方法计算一个格点多边形的面积，体会到计算效率比较低，这就引发学生思考：既然格点多边形有其特殊之处，是否有效率高的面积计算方法呢？这要求学生探寻格点多边形的面积与哪些量有关系、有什么关系以及怎样探寻这种关系，这是本节课的核心和难点。当学生陷入困境时，引导1从探究内容的角度，明确探究的方向；引导2从探究方法的角度，指明探究的途径。随后学生通过活动1中画图、计算、归纳，发现了：当N=1时学生有了活动1的经验再进行活动2的探究在知识和方法上没有障碍，得到了与活动1类似的规律。引导3是为了从特殊规律中归纳一般规律而设计的，让学生不仅体会特殊与一般的关系，而且体会发现的过程和乐趣。公式（S＝，即“皮克定理”）是在特殊结论的基础上猜想出来的，学生对其正确性深信不疑，而教师非常清楚这是不完善的，引导4要求对公式进行验证，目的是培养学生数学学习的严密性。

这节课的教学不仅充分展示了“综合与实践”活动的过程性，而且让学生在活动中学会了数学研究的方法与多种数学思想，积累了活动经验，提高了学习能力，体验到成功的喜悦。

三、参与设计，彰显创造性

“参与”是指在整个活动过程中全体师生共同合作或协作，即活动过程和结果的发现，学生要全程参与其中。“设计”是指把活动设想通过合理的规划、周密的安排，通过某种形式表达出来的过程，包括问题的设置、活动方案的设计等等。“参与设计”要求建立民主、和谐、热烈的教学氛围，让不同层次的学生都拥有参加机会的一种有效的学习方式。这种方式以学生为中心，充分利用灵活多样、直观形象的教学手段，鼓励学习者积极参与教学过程，成为其中的积极主体，加强师生之间的信息交流和反馈，使学生能深刻地领会和掌握所学的知识，并能将知识运用到实践中去，从而提高学生发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的能力。运用参与设计进行“综合与实践”活动，主要针对学习主动且参与意识好、合作交流气氛浓、知识基础扎实、有一定创新精神的学生。

运用参与设计方式进行教学的一种流程如图7。

图7

案例3：A4纸相邻两边的关系

问题：A4纸很特别，对折后的矩形与原矩形相似，那么A4纸的相邻两边之间有什么关系呢？请同学们探究它们之间的关系，并设计出探究它们之间关系的相应方案。

这是一节数学活动课，学生的知识背景是刚学完图形的相似，活动内容来源于生活实际，教师设想让学生运用所学数学知识解决实际生活中的问题。

教师给出活动内容后，学生首先分组研讨解决问题的活动方案，先后设计出四种方案，分别是：度量计算、剪纸比拼、折纸叠合、推理论证。其后各小组根据自己的方案分工协作，验证方案的可行性，教师在整个活动过程中，仅仅是参与者和活动节奏的调控者。下面是四个小组汇报的活动成果。

方案1：度量计算。量得A4纸的长边为297mm，短边为210mm，计算了长边与短边的比值约为1.414，发现A4纸的长边约是短边的倍。

方案2：剪纸比拼。（如图8）

图8

也发现A4纸的长边约是短边的倍。

方案3：折纸叠合。（如图9）

图9

同样发现A4纸的长边约是短边的倍。

方案4：推理论证。（如图10）

图10

从以上汇报来看，学生不仅能在教师的指导下开展“综合与实践”活动，而且能自主设计较完善的活动方案并将自己的方案付诸实施，且取得了令人满意的效果。学生在整个活动中充分展示了聪明才智、创新意识和实践能力，他们思维活跃而缜密、思路开阔且丰富，活动设计不仅有动手操作而且要动脑思考，完全符合“综合与实践”活动是“通过问题引领、学生全程参与、实践过程相对完整的学习活动”的理念。从本节课的教学来看，教师对学情把握准确，活动内容安排合理，活动方式恰当，活动成效显著，激发了学生的创造潜能。

运用参与设计方式进行教学的另一种流程是在上面一种流程的后面加上“交流感悟”的环节，限于篇幅，这里就不举例说明了。

总之，要在“综合与实践”活动中提质增效，教师必须结合目标要求、教情学情，梳理课型、分类实施。教师在活动实施过程中要放手让学生参与、引导学生进入角色、有效地组织学生进行合作交流；教师既要关注活动结果，更要关注活动过程；教师要充分利用“综合与实践”让学生积累活动经验、提高活动兴趣、改进学习方式、学会与人合作、培养创新精神、提升综合素养，从而实现提质增效的总目标。

［1］教育部.义务教育数学课程标准（2011年版）［S］.北京：北京师范大学出版社，2012.

［2］朱建明.数学探究活动设计中的常见问题及有效改进［J］.教学与管理，2010（13）.

［3］何炳均.源于课本的“微型课题学习”探究实践［J］.教学月刊:中学版，2014（05）.

［4］何炳均.精于设计乐于探究——例说微型课题学习探究与思考［J］.中国数学教育，2015（04）.