函数图象平移求解析式的统一方法：顺减逆加

江苏省苏州市吴江区笠泽实验初级中学 张 良

函数图象的平移有何规律？如何探究这个规律？从初一到高三，从一次函数到基本初等函数再到抽象函数，从中考到高考，很多函数的知识和考试热点都涉及图象平移，但对于学生掌握而言却是很大的难题，关键在于每一个小的知识点都会有一个或多个规律解决，部分老师在教学过程中也是一味强求学生死记硬背，或是妄用“左加右减，上加下减”的口诀解决平移问题，不考虑学生实际解决问题时的困惑，这样达不到教学的目的，也无法让学生熟练掌握，更解决不了实际问题。所以笔者就从现实教学中诸多数学老师的教学规律中总结出一个统一的规律——“顺减逆加”，这个规律能够解决中学阶段所有函数图象平移求解析式的问题。对于这类问题，我们先从解决这类图象平移问题的规律来探讨“顺减逆加”这种方法。

一、使用一般的平移规律时带来的困惑

1.规律一：一次函数的图象平移，其规律可由关系式来判断和求解，图象向右平移时，m增大；向左平移时，m减小。图象向上平移时，b增大，向下平移时，b减小。反之亦然。

困惑一：对于这个规律，必须是的形式，许多老师在讲解这个规律的时候并不注重强调函数形式，这就导致当函数表达式形式发生变化时，问题也随之而至。如：一次函数的图象是直线，求直线向右平移2个单位，再向下平移1个单位后的直线方程是什么？这个时候，学生就无法用上述规律解决。

2.规律二：二次函数的图象平移，其规律可由其顶点式来判断和解决。图象向右平移时，h增大，向左平移时，h减小；图象向上平移时，k增大，向下平移时，k减小，反之亦然，这其实就是我们耳熟能详的口诀“左加右减，上加下减”。

困惑二：解决二次函数平移问题必须利用顶点式，但实际问题中我们发现最常见的是一般式，如每次都将一般式转化成顶点式，是不是很麻烦呢？对于一般式向左平移2个单位，再向上平移1个单位，有没有什么快速求解的方法呢？

3.规律三：三角函数的图象平移，其规律只是将正（余）弦函数平移，即将的图象向左或向右平行移动φ个单位长度，得到其他形式以此类推。

困惑三：在实际教学中，很多老师都是借用二次函数的平移口诀“左加右减，上加下减”，快速讲授这个知识点，但实际问题中，学生遇到的是三角函数对于一些不会触类旁通的学生而言，解决这个问题就很困难了。比如将向右平移个单位求解析式时，若不化简成的形式，又该如何解决？

困惑四：该规律只针对基本初等函数的基本形式，若是遇到几个初等函数的组合形式或是抽象函数的平移问题，就给学生制造了一个难题。例如：将函数向右平移2个单位，再向上平移1个单位的表达式是什么？

二、利用“顺减逆加”法，轻松解决四大困惑

上述这些规律涉及不同的知识点、不同的平移方法，而且每种方法都有自己的局限性，对于学生而言，在每次接触此类新知识的时候，就必须重新学习新的平移方法，但作为教学工作者而言，这些规律解决的是同一类问题，那么有没有统一的规律来解决这类问题呢？通过笔者长期的教学实际，总结出这样的规律来统一解决这类图象平移求表达式的问题，即顺减逆加！

1.顺减逆加法的理解：

顺（逆）是表示沿着（逆着）坐标轴的方向。

加（减）是需要在表示相应平移的坐标轴的字母上做加（减）运算。

例1 将函数向左平移2个单位，再向上平移一个单位后的解析式是什么？运用上述“顺减逆加”的方法这样解：

（这个时候需要在所平移的坐标轴表示的字母x上加2）（这个时候需要在所平移的坐标轴表示的字母y上减1），故平移后的函数解析式是

事实上，“顺减逆加”这一规律来源于坐标系的平移。若原函数的图象上任一点移动到，得到新图象上的对应点坐标则那么故平移后的图象所描述的函数解析式为其中，表示顺着坐标轴移动，表示逆着坐标轴移动，因此，由这个理论支持的规律“顺减逆加”是可以解决所有函数图象的平移问题的。

用此方法解决上述几个困惑如下：

2.困惑一的解决：例2：直线向右平移2个单位，再向下平移1个单位后的直线方程是什么？

3.困惑二的解决：例3：一般式向左平移2个单位，再向上平移1个单位后的解析式是什么？

4.困惑三的解决：例4：

向右平移个单位求解析式时，若不化简成的形式，又该如何解决？

5.困惑四的解决：例5：将函数向右平移2个单位，再向上平移1个单位的表达式是什么？

三、“顺减逆加”法在其他问题中的应用

由此可见，学生在以上四种函数图象平移问题中出现的困惑，均可用“顺减逆加”这一方法解决，该规律不仅优化了“左加右减，上加下减”的规律，也减轻了教师教学和学生学习上的重复性，更是统一了这类问题的解决方法。此规律不仅可用于解决函数图象平移求解析式的难题，也可拓展到圆锥曲线的平移问题中。

例6 将圆向左平移1单位（即逆着x轴平移1个单位，则需在方程中的x上加1），再向上平移2个单位（即顺着y轴平移2个单位，则需在方程中的y上减2），求得平移后圆的方程为整理得：

上例中只是例举了圆的平移问题，对于圆锥曲线的其他图形，如椭圆、双曲线和抛物线均可使用。由此可见，“顺减逆加”法的应用非常广泛！

“道可道，非常道”，很多人把数学看成是公式的堆积，把定理作为该背诵的教条，把讲解说成形式逻辑的推演，把考试弄成死记硬背按标准答案不敢越雷池一步的生搬硬套，殊不知从实际事实中归纳，从归纳中总结，从总结中寻找规律，从规律中总结方法，采取螺旋式上升的学习方法，可以轻松解决日常学习中的困惑。“顺减逆加”就是笔者在实际教学经验中归纳总结出的规律，学生掌握后在实际问题的解决中也得心应手，非常实用。日常的学习需要一点一滴的累积，一丝一毫的提高，由量变升华到质变，这样才能更好地学习数学，更好地掌握学习的技巧。