命题的否定与否命题问题归类解析

蒋满林

(福建省古田县第一中学 352200)

一、不等式型问题的否定

评注在数集中p的解集与￢p的解集具有补集的关系，可用真值表关系检验命题的对错.

二、等式型问题的否命题与否定

例3 原命题：若x2-5x+6=0，则x=2或x=3，请写原命题的否命题与命题的否定.

解析原命题的否命题：若x2-5x+6≠0，则x≠2且x≠3.

原命题的否定：若x2-5x+6=0，则x≠2且x≠3.

例4 请写出下列问题的非p.

(2)已知p:x0=1.

(2)￢p:x0≠1.

三、若p则q型问题的否定与否命题

例5 原命题 “若x2+ax+b≤0有非空解集，则a2-4b≥0”写出它的否命题与命题的否定.

解原命题的否命题: “若x2+ax+b≤0没有非空解集，则a2-4b<0”.

原命题的否定：“若x2+ax+b≤0有非空解集，则a2-4b<0”.

总结：一般地，“若p则q”型命题的否定与否命题有如下关系.

原命题：“若q则q”.

原命题的否命题：“若￢p则￢q”；

原命题的否定：“若p则￢q”.

评注这类问题是中学教学中最常见的一类问题，并且在写命题的否定时，p尽量不涉及全称量词或存在量词，如果有涉及则按第“四”种的方式作答.

四、条件p中含有(或隐藏有)全称量词或存在量词型问题的否定与否命题

例6 命题：若m>0，则方程x2+mx+1=0有实根，写出它的否命题与命题的否定并判断真假.

解否命题：若m≤0，则方程x2+mx+1=0无实根(假)；

命题的否定：存在m>0，使方程x2+mx+1=0无实根(真).

例7 命题：若x>2，则1

解否命题：若x≤2，则x≤1或x≥3(假).

命题的否定：存在x>2，满足1

对于一般命题的否定，一些资料认为“若p则q”的否定是“若p则￢q”(只否定命题的结论)，实际上这有时是不正确的，如果条件p中含有(或隐藏有)全称量词或存在量词(即开语句)，那么否定时应考虑到条件p的范围.

评注一般地，对于含有一个量词的全称命题的否定，有下面的结论：

全称命题P：∀x∈M,p(x)，它的否定￢P：∃x∈M,￢p(x)；

特称命题P：∃x∈M,p(x)，它的否定￢P：∀x∈M，￢p(x).

即有全称命题的否定是特称命题,特称命题的否定是全称命题.

参考文献：

[1]黄树华.命题的“否定”与“否命题”辨析[J].语数外学习(数学教育),2013(01).