将军饮马问题与中考题

文 /刘永中

传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦．一天，一位罗马将军专程去拜访海伦，向他请教一个百思不得其解的问题：将军每天骑马从城堡A出发，到城堡B，途中马要到小溪边饮水一次.问怎样走路程最短？

这就是广为流传的将军饮马问题.海伦略作思考,利用作对称点的方法解决了这个问题.

我们把将军饮马问题抽象成一个几何模型：条件：如图1，A，B是直线同旁的两个定点．

问题：在直线l上确定一点P，使PA+PB的值最小．

方法：作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B，交l于点P，则PA+PB=A′B，PA+PB的最小值为A′B（证明略）．

若能熟练利用将军饮马模型，则能轻松解决一些路程最短问题.

图1

一、四边形中的最短距离

例 1 如图2，菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值是______.

解：如图2，连接DE交AC于P，连接BD，BP，

由菱形的对角线互相垂直平分，可得B，D关于AC对称，

则PD=PB，

∴PE+PB=PE+PD=DE，

即DE就是PE+PB的最小值.

∵∠BAD=60°，AD=AB，∴△ABD是等边三角形，

∵AE=BE，∴DE⊥AB.

在Rt△ADE中

故PE+PB的最小值为

图2

二、一次函数中的最短距离

例3矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图3所示，点B的坐标为（3，4），D是OA的中点，点E在AB上，当△CDE的周长最小时，点E的坐标为（ ）

解：如图3，作点D关于直线AB的对称点H，连接CH，交AB于E，此时△CDE的周长最小.

又∵C（0，4），∴直线

∴当x=3时，∴点E的坐标

选B．

图3

三、二次函数中的最短距离

例4如图4，已知抛物线y=-x2+mx+3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点B的坐标为（3，0）.

（1）求m的值及抛物线的顶点坐标；

（2）点P是抛物线的对称轴上的一个动点，当PA+PC最小时，求点P的坐标.

解：（1）将B（3，0）代入y=-x2+mx+3得m=2，

y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，所以顶点坐标为（1，4）.

（2）如图4，点A的对称点是点B，连接CB，交对称轴l于点P，连接AP，此时PA+PC最小.

∵y=-（x-1）2+4，∴对称轴为x=1，C点坐标为（0，3）.

设直线BC为y=kx+b（k≠0），把（3,0），（0，3）代入得

∴y=-x+3,

当x=1时，y=-1+3=2.

当PA+PC的值最小时，点P的坐标为（1，2）.

图4