用“公式法”解一元二次方程教学案例

广东省佛山市顺德区沙滘初级中学(528315) 黄金雄

活动设计

1、课程标准要求

(1)会用公式法解简单数字系数的一元二次方程.

(2)理解一元二次方程解法的基本思想.

(3)结合实践与探索,经历探究性学习的过程,从根本上改变学习方式,发展思维,提高学生自主学习和合作交流两方面的能力.

2、教学目标

知识与技能:

(1)在教师的指导下,学生能够正确的导出一元二次方程的求根公式,并在探求过程中培养学生的数学建模意识和合情推理能力.

(2)能够根据方程的系数,理解公式中的条件,判断出方程的根的情况,在此过程中,培养学生观察和总结的能力.

(3)通过正确、熟练的使用求根公式解一元二次方程,提高学生的综合运算能力.

过程与方法:

(1)参与对一元二次方程解法的探索与研究,体验数学发现的过程.

(2)对结果比较、验证、归纳,实现学生自主学习的方式,加深学生对知识的理解.

情感态度与价值观:在实践中,通过在探求公式过程中同学间的理解、交流、总结经验和规律,体验数学活动充满着创造和乐趣,进一步发展学生合作交流的意识和能力

3、学生分析

学生通过前几节课的学习,认识了一元二次方程的一般形式:ax2+bx+c=0(a̸0),并且已经能够熟练地将一元二次方程化成它们的一般形式;在上一节课的基础上,大部分学生能够利用配方法解一元二次方程,但仍有一部分认知较慢、运算不扎实的同学不能够熟练使用配方法解一元二次方程.

学生活动经验基础:学生已经具备利用配方法解一元二次方程的经验;学生通过《规律的探求》、《勾股定理的探求》、《一次函数的图像》中一次函数增减性的总结等章节的学习,已经逐渐形成对于一些规律性的问题,用公式加以归纳总结的数学建模意识,并且已经具备本节课所需要的推理技能和逻辑思维能力

4、实施目标的方法

注意及时复习和应用已学过的相关知识,并在实践中加深对知识的理解,培养和提高获取知识的能力.

5、教学资源

多媒体课件.

方案设想

本节课一定要体现新课改精神,一定要体现以学生为主体的理念,一定要体现“自主尝试,先学后教”课堂模式.

首先要明确知识是从哪里来?知识是怎样形成的?

课堂教学环节的设计一定要落到实处,从问题的设计,教师的演示,课堂的预设,学生的操作,学生的语言表达,指导观察,指导比较,小结归纳都要从“实”出发,绝不要“蜻蜓点水”.

其次怎样组织课堂?怎样调动学生的兴趣?

课堂应该是充满生机的地方.课堂教学“沉闷”怎么办?课堂没有生机怎么办?学生发言不积极怎样调动?教师应该善于调控自己的激情,发挥语言激励评价作用,以自己的激情去感染熏陶学生,让学生“动”起来,营造一种活力四射充满生气的课堂.

教学的实质是以教材中提供的素材为载体,通过一系列探究互动过程,达到学生知识的构建、能力的培养、情感的陶冶、意识的创新.为此,就《用公式法解一元二次方程的解法》这一课题,我将就以下几方面作相关的教学解说.

1、要充分认识本节课在整个初中教材中的作用与地位

“一元二次方程的解法”是初中数与式的“方程”中的一个重要内容之一,是在学完一元一次方程、因式分解、数的开方和直接开方法、配方法解一元二次方程和推导求根公式的基础上,掌握用求根公式解一元二次方程,进一步熟练解一元二次方程的方法,会选择合适的方法解一元二次方程.

2、要充分理解本节课的目的与要求

公式法实际上是配方法的一般化和程式化,然后再利用总结出来的公式更加便利地求解一元二次方程.所以首先要夯实上节课的配方法,在此基础上再进行一般规律性的探求——推导求根公式,最后,用公式法解一元二次方程.

其中,引导学生自主的探索,正确地导出一元二次方程的求根公式是本节课的重点、难点之一;正确、熟练地使用一元二次方程的求根公式解方程,提高学生的综合运算能力是本节课的另一个重点和难点.

为此,本节课的教学目的与要求是:

(1)知识教学点

一元二次方程求根公式的推导

利用公式法解一元二次方程

(2)能力训练点

通过配方法解一元二次方程的过程,进一步加强推理技能训练,同时发展学生的逻辑思维能力.

(3)德育渗透点

向学生渗透由特殊到一般的唯物辩证法思想.

3、教学的重点、难点、关键点

(1)教学重点:能够用求根公式熟练地解一元二次方程

(2)教学难点:一元二次方程的求根公式的推导过程,理解公式中的条件b2−4ac≥0,判断出方程的根的情况

(3)教学关键点:

掌握配方法的基本步骤

确定求根公式中a、b、c的值

4、用适当的方法解一元二次方程

要让学生充分认识到学习用公式法解一元二次方程很有必要的,也是不可缺少的一个重要内容.培养学生由特殊到一般的解题思想.所以在讲解过程中,讲清如何运用求根公式解一元二次方程,并比较前面学的的几种方法.在讲解过程中我用启发式教学和借助多媒体教学以丰富课堂教学.

5、要安排好教学过程中的几个重要环节

分成以下几个步骤:

一、提出问题:两个问题首先是对直接开平方法、配方法和求根公式的复习;(多媒体展示)其次通过两种解法对比得出用平方法、配方法解繁杂的一元二次方程,很困难,需要一种更简单的方法来解决问题.

二、分析问题:依照学生的认知规律引导学生从从简单的问题中发现规律,突出本节课的重点.由此引出新课用公式法解一元二次方程.达到本课的第一个教学目的.对于用公式法解一元二次方程以开门见山的方式直接给出.但要注意运用公式法解一元二次方程时,要先判断方程是否有解,其解的情况分三种.

三、解决问题:在熟悉用公式法解一元二次方程后,接着通过例题用不同的方法解一元二次方程,在归纳、比较中对不同难度的一元二次方程寻找最合适的方法来解.在训练内容的选择上考虑到学生接受新旧知识结合的能力:一是以方法为主,采用一题多解,层层递进的方式,二是以基本技能为主,而不追求繁难的一元二次方程的解题特殊技巧.在运用不同的方法解一元二次方程时,要具体问题具体分析选择最佳方法合理解题.在精心设计的练习过程中抓住学生问题的症结,培养学生独立分析、理解能力和思考解决问题的能力,提高解题技巧.

四、总结问题:采用学生小结教师补充的方式来概括本节课的知识.回答学生在学完本课后发现的未能解决的问题及创新性问题,给学生自由思考的空间.

活动过程

第一环节;尝试准备

活动内容

1、用配方法解下列方程:

(1)2x2+3=7x;(2)3x2+2x+1=0.

学生总结用配方法解方程的一般方法:

(1)2x2+3=7x

解将方程化成一般形式:2x2−7x+3=0,两边都除以一次项系数2,得配方,即加上再减去一次项系数一半的平方,得即所以两边开平方取“±”得所以所以方程的根为

(2)3x2+2x+1=0

解两边都除以一次项系数3,得配方,即加上再减去一次项系数一半的平方,得因为所以原方程无解.

完成后小组内进行交流,并进行反馈矫正.

学生:总结用配方法解一元二次方程的步骤

教师板书:(1)移项;(2)化二次项系数为1;

(3)方程两边都加上一次项系数的一半的平方;

(4)原方程变形为(x+m)2=n的形式;

(5)如果右边是非负数,就可以直接开平方求出方程的解,如果右边是负数,则一元二次方程无解.

教师:通过以上两个方程的求解,你能试着猜想一下上述问题的求解的一般规律吗?

设计意图

(1)进一步务实用配方法解方程的一班步骤.在这里相对于书上的解题方法作了小小的改动:没有把常数项移到方程右边,而是在方程的左边直接加上再减去一次项系数一半的平方,这样做的目的是为了与以后二次函数一般式化顶点式保持一致.

(2)选择了一个没有解的方程,让学生切实感受并不是所有的一元二次方程在实数范围内都有解.

活动的实际效果:通过对旧知识的回顾,学生再次经历了配方法解方程的全过程,由于是旧知识,学生容易做出正确答案,并获得成功的喜悦,调动了学生的学习热情,唤醒学生的思维,为后面的探索奠定了良好的基础.

第二环节自主探究学习:公式的推导

活动内容

提出问题解一元二次方程:ax2+bx+c=0(a0)

学生在学案上自主推导、并针对自己推导过程中预见的问题在小组内自由研讨.最后由师生共同归纳、总结,得出求根公式.

解方程两边都作以a,得移项,得配方,得即因为a0,所以 4a2＞0,当b2−4ac≥0时,得所以

一般地,对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a̸0),当b2−4ac≥0时,它的根是

注意:当b2−4ac＜0时,一元二次方程无实数根.

公式法:利用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法.

设计意图学生能否自主推导出来并不重要,重要的是由学生亲身经历公式的推导过程,只有经历了这一过程,他们才能发现问题、汲取教训、总结经验,形成自己的认识.在集体交流的时候,才能有感而发.

活动的实际效果

学生的主要问题通常出现在这样的几个地方:

(1)运算的符号出现错误和通分出现错误

(2)不能主动意识到只有当b2−4ac≥0时,两边才能开平方

(3)两边开平方,忽略取“±”.大部分学生需要在教师的帮助下,才能完善公式的推导.

第三环节:例题学习、做达标练习

例x2−7x=18

解先将方程化成一般形式:x2−7x−18=0.确定a,b,c的值:a=1,B=7,c=−18.判断方程是否有根:b2−4ac=(−7)2−4×1×(−18)=121＞0,所以,即方程的根为

教师:用公式法解一元二次方程的一般步骤是什么?

学生总结:

(1)先将方程化为ax2+bx+c=0(a̸0)的一般形式.

(2)确定a、b、c的值,(注意a、b、c的确定应包括各自的符号)

(3)求解b2−4ac的值,如果b2−4ac≥0

(4)代入公式,即可求出一元二次方程的根.

教师强调:解一元二次方程的五个注意点:

1、注意化方程为一般形式;

2、注意方程有实数根的前提条件是b2−4ac≥0;

3、注意a、b、c的确定应包括各自的符号;

4、注意一元二次方程如果有根,应有两个;

5、求解出的根应注意适当化简

达标练习用公式法解下列方程

(1)2x2−9x+8=0;(2)9x2+6x+1=0;

(3)16x2+8x=3.

设计意图及时对所学的知识进行练习,孝查学生对知识的掌握情况.题目设计由浅至深,符合学生的认识梯度,激发学生的进一步探索欲望.

第四环节:交流体会,归纳总结.

本节课你学到了哪些知识?在本节课中你有什么体会?

设计意图让学生从知识上、方法上,学习情况上进行反思、评价.

第五环节、作业布置

(1)学案作业.目的是通过练习,强化基本技能训练.

(2)自主尝试学习下节课内容,培养学生良好的自学习惯.

教学反思

1、本课从形式和内容上都体现了新课程改革的特征.本节课始终以如何用求根公式解一元二次方程为主线串连起来,知识、技能、过程、方法、情感态度与价值观等三维目标的达成都达到了比较理想的程度.结构上,全课营造的学习氛围比较轻松活泼;内容上,新旧知识的前后联系,多种解法的数学知识综合.课堂上学生学得了新的知识,还体验到了成功的快乐.教学中对随机生成性教学资源的恰当处理是本课的一个亮点,充分让学生动起来.

2、充分利用教材,在练习题与例题的编排上打破常规,让学生先用配方法解两个一元二次方程,通过“自主尝试、先学后教”探导出公式法,再让学生用公式法解这个ax2+bx+c=0(a0)方程,在授课过程中,教师给学生留下了很大的思维空间,通过自己的亲自操作,运用自主尝试探索发现法,让学生积极参与自主探究,合作交流,把主体地位返还给学生.无论是公式的推导,还是公式的应用,都是在教师的引导下,学生自己完成的,教师这样做,重视了知识的形成过程,在应用中又开拓了学生的视野,使学生的发散思维与应用技巧得到了锻炼.

3、《数学课程标准》指出:数学学习活动是一个以学生已有知识和经验为基础的主动建构过程,数学教学应力求从学生熟悉的生活情境与童话世界出发提出有关数学问题,使学生初步感受数学与日常生活的密切联系.基于此认识,本课教学时注重活化教材,注重强化学生自主尝试体验,注重深化应用.让学生在愉悦的氛围中边解决问题边体验学习数学的快乐.

附学案中作业错题点击:

用公式法解一元二次方程2x2−5x+3=0

评析在用公式法解题时,学生常会的错误是在确定系数的时候常会漏了系数的性质符号;在代入中特别是代入负数时漏了括号;除此之外在应用公式时常会将公式中的−b的负号忘记.

评析在用公式法解题时容易忘记有根的前提是b2−4ac≥0.