基于Tate平坦分解的Tate同调性质

张文汇，张子瀚

(西北师范大学 数学与统计学院,甘肃 兰州 730070)

0 引言

2007年，Iacob[1]利用完全投射分解引入模范畴中的Tate同调理论，研究了张量积函子的三类导出函子间的关系．2014年，Christensen等[2]在模的复形范畴中引入Tate同调理论，提供了一种计算Tate同调群的新方法．2013年，Liang[3]通过Tate平坦分解在模范畴中引入Tate同调函子．受以上文献启发，文中继续讨论与Tate同调相关的性质．

1 预备知识

定义1[3]称复形

T： …→T1→T0→T0→T1→…

是平坦模的全零调复形，如果

( i )T是正合复形；

( ii )对任意整数i，Ti，Ti都是平坦模；

(iii)对任意内射右R-模I，I⊗RT是正合复形．

称一个模G是Gorensten平坦模，如果存在平坦模的全零调复形T，使得G≅Im(T0→T0)．

引理1[4]设n是非负整数，R是n-FC环，则对任意左(右)R-模M，以下结论等价：

(1)fdM<∞；

(2)fdM≤n；

(3)FP-idM<∞；

(4)FP-idM≤n．

2 基于Tate平坦分解的Tate同调性质

定义3[3]设N是一个R-模，T是N的一个Tate平坦分解，对任意右R-模M及任意整数i，定义Tate同调

⊗RT).

文中在n-FC环上，利用Tate同调函子给出FP-内射维数有限模的一个等价刻画．

引理2[3]设N是一个R-模，且存在Tate平坦分解，则存在正合序列

0→N′→F0→N→0,

其中F0是平坦模，使得对任意右R-模M及任意整数i，有

引理3[3]设R是左GF-闭环，N是一个存在Tate平坦分解的模，M是一个右R-模，并且TM是M的一个Tate平坦分解，则对任意整数i，有

⊗RN).

引理4[3]设R是左GF-闭环，N是一个R-模，d是一个非负整数，则GfdN≤d当且仅当存在N的Tate平坦分解T，使得当i≥d时，T与N的一个平坦分解相容．

命题1设R是n-FC环，M是右R-模，则以下结论等价：

(1)fdM<∞；

(2)fdM≤n；

(3)FP-idM<∞；

(4)FP-idM≤n；

证明由引理1可知，只需证明(1)和(5)等价即可．

(1)⟹(5)．由于在n-FC环上，任意模都具有有限的Gorenstein平坦维数，由引理4知任意模都存在Tate平坦分解，从而利用文献[3]的引理3.18可知(5)成立．

(5)⟹(1)．设GfdM=d<∞，我们对d进行数学归纳．只需证明对任意整数i>d，有

当d=0时，M是Gorensten平坦模，故存在平坦模的全零调复形

TM： …→T1→T0→T0→T1→…,

使得M≅Im(T0→T0)．取M的平坦分解

FM： …→F1→F0→M→0,

其中Fi=Ti(i≥0)，则有如下行正合交换图

这说明TM是模M的一个Tate平坦分解，且对任意整数j>0，有

因此M是平坦模．

现设d≥1，且对Gorensten平坦维数小于等于d-1的模结论成立．

故fdM<∞． 】

引理5[5]设R是右凝聚环，则对任意R-模M，以下结论等价：

(1)M是Gorensten平坦模；

(2)HomZ(M,Q/Z)是Gorensten内射右R-模；

命题2设R是右凝聚环，N是存在Tate平坦分解的模，并且假设N的Tate平坦分解T与N的平坦分解F相容，则存在N的Tate平坦分解T′，使有复形的态射图T′→F→N．

证明因为N的Tate平坦分解T与N的平坦分解F相容，所以存在整数m，使得当i≥m时，模同态αi:Ti→Fi是同构．故只需要证明：当i

由分解引理及五引理知存在同构f:Ker(Tm-1→Tm-2)→Ker(Fm-1→Fm-2)．因为Kerdm-1=Ker(Tm-1→Tm-2)是Gorensten平坦模，由引理5知Kerdm-1存在余真的右平坦分解，设为

记

则T′是平坦模的正合序列．

注意到，在图

另一方面，对任意内射右R-模I，复形I⊗RT′正合，故T′是模N的一个Tate平坦分解．所以存在复形的态射图T′→F→N． 】

定理1设R是n-FC环，N是一个R-模，M是一个右R-模，则对任意i∈Z，有

证明结合引理4及命题2知存在复形的态射图T→F→N，其中T是N的一个Tate平坦分解，F是N的一个平坦分解，则N+→F+→T+是模N+的一个完全内射分解．故

:

[1] IACOB A．Absolute，Gorenstein，and Tate torsion modules[J].CommAlgebra，2007，35(5)：1589．

[2] CHRISTENSEN L W，JORGENSEN D A．Tate(co)homology via pinched complexes[J].TransAmerMathSoc，2014，366(2)：667．

[3] LIANG L．Tate homology of modules of finite Gorenstein flat dimension[J].AlgebraRepresentTheory，2013，16(6)：1541．

[4] DING N Q， CHEN J L． The flat dimensions of injective modules[J].ManuscriptaMath，1993，78(1)：165．

[5] HOLM H．Gorenstein homological dimensions[J].JPureAppAlgebra，2004，189(1/3)：167．

[6] ASADOLLAHI J，SALARIAN S．Cohomology theories based on Gorenstein injective modules[J].TransAmerMathSoc，2006，358(5)：2183．