函数视角下的面积问题求解策略

汤 双

二次函数图像中的三角形面积问题，是近几年各地数学中考试卷中很常见的题型，并且大部分题目是作为压轴题出现的.

一、将不规则图形转化为规则图形求面积

例1如图1，在平面直角坐标系中放置一直角三角板，其顶点为A（0，1）、B（2，0）、O（0，0），将此三角板绕原点O逆时针旋转90°，得到三角形A′B′O.

（1）一抛物线经过点A′、B′、B，求该抛物线的解析式.

（2）设点P是第一象限内抛物线上的一个动点，是否存在点P，使四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积的4倍？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

（3）在（2）的条件下，试指出四边形PB′A′B是哪种形状的四边形？并写出它的两条性质.

图1

【思路点拨】

1.四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积的4倍，可以转化为四边形PB′OB的面积是△A′B′O面积的3倍.

2.连接PO，四边形PB′OB可以分割为两个三角形.

3.过点P向x轴作垂线，四边形PB′OB也可以分割为一个直角梯形和一个直角三角形.

【解答过程】

（1）△AOB绕着原点O逆时针旋转90°，点A′、B′的坐标分别为（-1，0）、（0，2）.

因为抛物线与x轴交于A′（-1，0）、B（2，0），设解析式为y=a（x+1）（x-2），代入B′（0，2），得a=-1.

所以该抛物线的解析式为y=-（x+1）（x-2）=-x2+x+2.

（2）S△A′B′O=1.

如果S四边形PB′A′B=4S△A′B′O=4，那么S四边形PB′OB=3S△A′B′O=3.

如图2，作PD⊥OB，垂足为D.

图2

设点P的坐标为（x，-x2+x+2）.

所以S四边形PB′OB=S梯形PB′OD+S△PDB=-x2+2x+2.

解方程-x2+2x+2=3，得x1=x2=1.

所以点P的坐标为（1，2）.

【面积另解】第（2）题求四边形PB′OB的面积，也可以如图3那样分割图形，这样运算过程更简单.

图3

所以S四边形PB′OB=S△PB′O+S△PBO=-x2+2x+2.

甚至我们可以更大胆地根据抛物线的对称性直接得到点P：

作△A′OB′关于抛物线的对称轴对称的△BDE，那么点E的坐标为（1，2）.

而矩形EB′OD与△A′OB′、△BDE是等底等高的，所以四边形EB′A′B的面积是△A′B′O面积的4倍.因此点E就是要探求的点P.

图4

【技巧点拨】如果所求的四边形是一个不规则的图形，其基本图形如下：

图5

面积计算方法是：

SABCO=S△BCD+SABDO或S△ABO+S△BCO.

而一边在坐标轴上的三角形面积的求解公式为

图6

图7

二、运用“ S=水平线×铅垂高”求面积

例2如图8，已知抛物线（b、c是常数，且c＜0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴的负半轴交于点C，点A的坐标为（-1，0）.

图8

（1）b=______，点B的横坐标为______（上述结果均用含c的代数式表示）.

（2）连接BC，过点A作直线AE∥BC，与抛物线交于点E.点D是x轴上一点，坐标为（2，0），当C、D、E三点在同一直线上时，求抛物线的解析式.

（3）在（2）的条件下，点P是x轴下方的抛物线上的一动点，连接PB、PC.设△PBC的面积为S.

①求S的取值范围；

②若△PBC的面积S为正整数，则这样的△PBC共有________个.

【思路点拨】

1.用c表示b以后，把抛物线的一般式改写为两点式，会发现OB=2OC.

2.如图9，当C、D、E三点共线时，△EHA∽△COB，△EHD∽△COD.

3.求△PBC面积的取值范围，要分两种情况计算，P在BC上方或下方.

4.求得了S的取值范围，然后罗列P从A经过C运动到B的过程中面积的正整数值，再数一数个数.注意排除点A、C、B三个时刻的值.

【解答过程】

（1），点B的横坐标为-2c.

（2）由

过点E作EH⊥x轴于H.

图9

由于OB=2OC，当AE∥BC时，AH=2EH.

所以x+1=（x+1）（x+2c），因此x=1-2c，所以E（1-2c，1-c）.

当C、D、E三点在同一直线上时，所以

整理，得2c2+3c-2=0.解得c=-2或（与c＜0矛盾，舍去）.

所以抛物线的解析式为

（3）①当P在BC下方时，过点P作x轴的垂线交BC于F.

直线BC的解析式为

设那么

所以

因此当P在BC下方时，△PBC的最大值为4.

当P在BC上方时，因为S△ABC=5，所以S△PBC＜5.

综上所述，0＜S＜5.

图10

②若△PBC的面积S为正整数，则这样的△PBC共有11个.

【技巧点拨】当要求的三角形的三边都与坐标轴不平行时（如图11），我们有两种解决问题的思路：

图11

思路一：运用公式水平线×铅垂高求面积

思路二：构造辅助线使S△ABO=SABDE-S△AOE-

S△BOD.