高中生常用数学思维方法及培养案例研究

沈明强

[摘 要] 学生在高中阶段如果能够养成良好的数学思维习惯，对其一生都会产生极为有意义的影响. 因此，教师在日常教学中应不断钻研科学、合适的教学方法以帮助学生良好思维的形成.

[关键词] 高中数学，思维方法；案例研究

合适的数学教学方法对知识的传授与学生数学思维的培养都具备极大的价值. 虽然大多数学生在高中毕业之后用到高中数学知识的概率很小，但是，学生在高中阶段如果能够养成良好的数学思维习惯，对其一生都会产生极为有意义的影响.

形象思维

根据事物本身所具有的具体形象或者表象展开积极的联想而形成的思维称之为形象思维. 数学知识具备高度的抽象性与逻辑的严谨性虽然是大家所熟知的显著特征，但形象思维在数学学习中的存在并不矛盾. 不过，学生形象思维的培养需要教师在教学活动中对自身教学方法不断进行反思、调整与改进才能顺利达成. 比如，在教学中尽量发挥教具或者学具的作用，使学生在教具、学具的多次使用中得到形象思维的训练与提升；再比如，教师还可以将图形多多运用于抽象问题的教学中，使得学生面对抽象问题时能够建立具体形象的感知.

案例1：三角函数的诱导公式

设计构思：三角函数这一知识点一向都是函数知识的重点内容，其中诱导公式又一直是令学生觉得存在一定难度的知识点，很多学生对“奇变偶不变、符号看象限”的口诀进行了死记硬背，但对公式的由来却知之甚少. 本案例是利用单位圆的对称性对诱导公式的挖掘与推导，相信学生在发现这些诱导公式的同时一定能锻炼到自身的形象思维.

教学程序：

1. 回顾复习

学生在教师的引领下对下列内容进行有意义的回顾：

①联想单位圆定义角的正弦与余弦函数：如图1所示，角α的顶点与直角坐标系原点重合，单位圆和该角终边相交于点P（μ，ν），则sinα=ν，cosα=μ.

②判定角的正弦和余弦函数：

2. 新知探究

教师给出问题，要求学生解决：已知角α终边和单位圆相交于P（μ，ν），如图，请作图并分别找出角-α、α±π、π-α和单位圆的交点坐标.

学生通过作图并联想单位圆的对称性得到以下结果：

①由图3可得，角-α的终边和单位圆交点坐标为P1（μ，-ν）；

②由图4可得，角α+π、角α-π的终边和单位圆的交点坐标分别为P2（-μ，-ν）、P3（-μ，-ν）.

③由①中图形可作角π-α终边和单位圆交点坐标P4（-μ，ν）.

根据以上结果，联想上节角的正弦和余弦函数的定义sinα=ν，cosα=μ，则可以发现：

sin（-α）=-sinα，cos（-α）=cosα；

sin（α±π）=-sinα，cos（α±π）=-cosα；

sin（π-α）=sinα，cos（π-α）=-cosα.

3. 例题解析

例1：求以下各角的三角函数值：

①sin-；②cos；

③cos-.

例2：利用单位圆，求适合以下条件的角的集合：

①cosα=-；②sinα=0.

4. 拓展训练

利用单位圆，求适合以下条件的角的集合：

①cosα≤-；②sinα≤.

上述教学过程从单位圆及其对称性的表象进行推导，最终得出了三角函数诱导公式，学生在知识回顾、新知探究、例题解析以及拓展训练过程中认识到了公式间的内在关联，对此知识点的记忆自然会产生更为深刻的印象.

抽象逻辑思维

抽象逻辑思维在数学学习中一般都会以概念、判断以及推理的形式来进行，数学学习中对概念的理解与应用、对数学公式定理进行证明、对问题最终进行分析与解决等过程都离不开原有知识基础上的推理以及证明等思维的过程. 因此，教师在高中数学的教学活动中一定要在了解学生实际情况的基础上采用最为科学与合理的教学方法进行教学，让学生最大限度地感知数学知识形成与发展的过程，使学生的抽象逻辑思维也在深刻感知与领悟中得到最有价值的锻炼与提升. 接下来以“解三角形”的一个典型例题进行分析与说明.

案例2：在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，A=，bsin+C-csin+B=a.

（1）求證：B-C=；

（2）如果a=，试求△ABC的面积.

分析：拿到题目首先应该做的便是仔细审题，观察题中所给的已知条件，再看一下题中是否已经呈现一些直接的结论，因为本题题意属于三角形的知识范畴，所以有：

A+B+C=π，

==（正弦定理），

a2=b2+c2-2bccosA（余弦定理）.

通过对问题的仔细观察，我们可以发现，因为问题（1）中只含有角，因此，解题时可以考虑边化角；因为只有B，C两个角，所以考虑A和（B+C）互补；如果要证明B-C=，可以先证明sin（B-C）=1或者cos（B-C）=0，然后令B-C=得到间接证明.

因此，我们可以尝试对条件进行一定的变形：bsin+C-csin+B=a？圯sinBsin+C-sinCsin+B=sinA=sin=？圯sinBcosC+·sinC-sinCcosB+sinB=？圯sinBcosC+sinBsinC-sinCcosB-sinCsinB=1？圯sinBcosC-sinCcosB=sin（B-C）=1.

由此，第（1）问中问题得证.

第（2）问中要求△ABC的面积，可由A=，B-C=求得：B=，C=，然后根据三角形面积公式S△=bcsinA，可知求出b，c或者bc即可. 根据A=，a=，B=，C=，B-C=以及正弦定理可得：==？圯b=2sin=2cos，c=2sin？圯S△=·2cos·2sin=sin=.

学生在教师的点拨与指导下明白了此类题目的解题必须根据已知条件和结论找出其中的关系，并将所学知识进行关联才能顺利解决，学生的逻辑思维在抽丝剥茧般的解题中也得到了很好的训练.

直觉思维

听起来尤其给人感觉虚无缥缈的直觉思维实实在在地存在于数学思维之中，现今的数学教学对其也是越来越重视. 直觉思维在数学学习中一般表现为学习者对数学对象、结构以及其中所蕴含的规律性关系能够进行敏锐的想象与迅速的判断. 这些想象和判断并不是与生俱来的，很多时候都需要教师有意识的栽培与训练才能具备.

案例3：已知四面体O-ABC中，三个平面OAB，OAC，OBC分别两两垂直于点O，如果，这三个平面的面积分别记作S1，S2，S3，那么，平面ABC的面积S为多少？

首先，教师应该引导学生进行勾股定理内容的回顾与复习：在Rt△OAB中，∠O是直角，∠O，∠A，∠B所对的边分别是c，a，b，则有c2=a2+b2.

然后，教师再提出问题引导学生进行仔细对比与思考：题中条件和勾股定理中的条件是否存在一定的相似呢？相似在哪里？会不会因为有这些相似也会有相似的结论呢？请尝试给出猜想.

最后，结合勾股定理的类比以及师生之间的共同讨论与分析，猜想如下：

S2=S+S+S，

通过严密的证明可以知道这个猜想的结论是否正确.

证明：设△ABC各边为a，b，c，与顶点O相邻的各边为p，q，r，在△ABC中作CD⊥AB，垂足为D，连接OD，且令CD=h，OD=t. 由于平面OAB，OAC，OBC两两垂直于O，所以S1=rq，S2=pq，S3=rp. 因为CD⊥AB，CO⊥平面AOB，所以AB⊥OD，S=hc，所以S1=tc，h2=t2+p2，所以4S2=h2c2=（t2+p2）c2=4S+p2c2=4S+p2（q2+r2）=4S+4S+4S，即S2=S+S+S.

学生的直觉思维可以通过以上问题解答中所运用的观察以及猜想进行训练，另外，为了加强这方面的训练，教师还可以给学生进一步进行变式与拓展，借此促进学生思维向外有效发散.