与HM凸函数有关的若干积分不等式

时统业，李 军，李 鼎



与HM凸函数有关的若干积分不等式

*时统业，李 军，李 鼎

（海军指挥学院信息系，江苏，南京 211800）

利用HM凸函数与凸函数的关系，证明了HM凸函数存在单侧导数，并通过不等式建立了HM凸函数与其单侧导数的联系。基于这些工作用普通数学分析的方法建立了HM凸函数的若干不等式。

HM凸函数；积分不等式；单侧导数

0 前言

近些年来，各种类型凸函数的概念被不断提出，比如几何凸函数[1]、GM-凸函数[2]、HM-凸函数[3]、调和平方-凸函数[4]、对数凸函数[5]、指数凸函数[6]、F-G广义凸函数[7]]等。与各种类型凸函数相关的不等式也被建立起来。本文仿照文献[8-9]的方法建立与HM-凸函数有关的不等式。

1 定义和引理

定义1[10]设()区间上有定义，()在上称为是凸(凹)函数，当且仅当对任意1，2∈，∈(0，1)，有

定义2[3]设Í(0,+∞)，：→(0,+∞)，若对任意1，2∈和任意∈[0,1]，存在∈R，使得

则称()是区间上的HM凸(凹)函数。其中，当>0时，称()是上的HM+-凸(凹)函数；当<0时，称()是上的HM--凸(凹)函数。

当=０时，HM-凸(凹)函数即为HG-凸凹函数。当=-1时，HM-凸(凹)函数即为HH凸(凹)函数。当=1时，HM-凸(凹)函数即为HA-凸(凹)函数。约定本文只讨论≠0的情形。

引理2[11]设()为区间上的凸函数，则()在开区间(，)Ì内处处存在左、右导数（从而处处连续)，且对，∈(，)，<，有

引理3[12]设()为[，]上的凸(凹)函数，则对任意∈[，]，∈(，)，有

引理4 设：[，]Í(0，+∞)→(0，+∞)为HM+-凸(凹)函数，则

i)在(，)内任意点处的单侧导数存在；

ii) 当，∈(，)，<时，有

iii) 对任意∈[，]，∈(，)，有

由此证得式(1)成立。

由此证得式(2)成立。

注1 若：[，]Í(0，+∞)→(0，+∞)为HM-凸(凹)函数，则引理4中的不等号反向。

≤

，

于是

对任意>>0，记

2 主要结果

定理1 设：[，]Í(0，+∞)→(0，+∞)是HM-凸(凹)函数，则

推论1 设：[，]Í(0，+∞)→(0，+∞)为单调增加的HM+-凸函数，则

则有

则有

受文献[6]的启发，由推论1得到推论2。

则有

其中

当是HM-凸函数时，

当是HM-凹函数时，

，

定理3 设：[，]Í(0，+∞)→(0，+∞)是HM-凸(凹)函数，≤1且≠0，(>1)，∈(，)，对任意∈[，]有

则有

i) 在式(3)、(4)中，对在[，]上积分，然后利用Jensen不等式[13]得

故式(10)得证。

ii) 在式(3)中，对在[，]上积分，然后利用Jensen不等式得

类似地，在式(4)中对在[，]上积分，然后利用Jensen不等式得

将式(12)、(13)相加，然后利用Jensen不等式得

故式(11)得证。

推论3 设：[，]Í(0，+∞)→(0，+∞)是HM-凸(凹)函数，≤1且≠0，(>1)，则有

定理4 设：[，]Í(0，+∞)→(0，+∞)是HM-凸(凹)函数，则

证明 仅对是HM-凸函数的情形证明，当是HM-凹函数时同理可证。

由此得到式(14)。

ii)当≤1时，对任意1，2∈和任意∈[0,1]，有

故此时HM凸函数也是HA凸函数，由文献[14]结果知式(15)的右边部分成立。

在式(3)取=，然后对在[，]上积分则得到式(12)的第二个不等式。

故式(15)的左边不等式得证。

[1] 吴善和. 几何凸函数与琴生型不等式[J]. 数学的实践与认识,2004,34(2):155-163.

[2] 宋振云,陈少元. GM-凸函数及其Jensen型不等式[J]. 数学的实践与认识,2014,44(20):280-287.

[3] 宋振云．HM-凸函数及其Jensen型不等式[J]．沈阳师范大学学报:自然科学版,2015,33(1):23-27．

[4] 宋振云. 调和平方s-凸函数及其Jensen型不等式[J]. 数学的实践与认识,2016,46(3):279-284.

[5] 吴善和. 对数凸函数与琴生型不等式[J]. 高等数学研究,2004,7(5):61-64.

[6] 何晓红．指数凸函数的积分不等式及其在Gamma函数中的应用[J]．纯粹数学与应用数学，2014，30(1)：69-76．

[7] 黄金莹,赵宇,方秀男. F-G广义凸函数与F拟凸函数[J]. 重庆师范大学学报:自然科学版,2011,28(4):1-5.

[8] 张小明,褚玉明. 解析不等式新论[M]．哈尔滨:哈尔滨工业大学出版社,2009．

[9] Dragomir S S, Pearce C E M. Selected Topics on Hermite- Hadamard inequalities and applications[D]. Victoria: Victoria University,2000.

[10] 裴礼文．数学分析中的典型问题与方法[M]．2版．北京:高等教育出版社,2006．

[11] 刘三阳,李广民. 数学分析十讲[M].北京:科学出版社，2011．

[12] 时统业,李照顺,夏琦．与MH凸函数有关的积分不等式和单调函数[J].广东第二师范学院学报,2016,36(3): 23-29．

[13] 匡继昌. 常用不等式[M].4版.济南:山东科学技术出版社,2010．

[14] 时统业,王斌. 与HA凸函数有关的若干积分不等式[J].湖南理工学院学报:自然科学版,2015,28(4):1-5,36.

Integral Inequalities Involving HM-Convex Functions

*SHI Tong-ye，LI Jun，LI Ding

(Department of Information, PLA Naval Command College, Nanjing, Jiangsu 211800, China)

By using the relationships between HM-convex functions and convex functions, we prove the existence of unilateral derivatives of HM-convex functions. We also build the relationship between HM-convex function and its unilateral derivatives by inequality. Finally, integral inequalities for HM-convex functions are obtained by using ordinary mathematical analysis．

HM-convex function; integral inequality; unilateral derivative

1674-8085(2018)01-0027-05

O242.1

A

10.3969/j.issn.1674-8085.2018.01.007

2017-03-09；

2017-05-27

*时统业(1963-)，男，河北张家口人，副教授，硕士，主要从事基础数学教学和研究(E-mail:shtycity@sina.com),李 军(1979-)，男，江苏建湖人，工程师，硕士，主要从事计算机仿真研究(E-mail:nanjinglijun@tom.com),李 鼎(1983-)，男，江苏泰州人，讲师，硕士，主要从事通信与信息系统研究(E-mail:shushenld@163.com).