数学方法在遗传规律解题中的应用

吕聪康 朱 峰

（湖北省武汉钢铁集团公司第三子弟中学 湖北武汉 430080）

1 分解法

分解是数学中应用较为普遍的方法。 位于非同源染色体上的非等位基因的分离或组合是互不干扰的。因此，解决较为复杂的关于自由组合定律的习题时，可借鉴分解法。

1.1 概率的分解 将题干中所给的概率拆分成2 个或多个概率，再运用分离定律单独分析，快速解决此类问题。

例1，在香豌豆中，当C、R 2 个显性基因都存在时，花才呈红色。 一株红花香豌豆与基因型为ccRr 的植株杂交，子代中有3/8 开红花。则该红花香豌豆的基因型为________。

解析：子代中红花占3/8，3/8 可分解成1/2×3/4，由于另一亲本基因型为ccRr，依据1/2×3/4 中的1/2 可知亲本为Cc×cc，依据1/2×3/4 中的3/4 可知亲本为Rr×Rr，综合考虑，亲本红花香豌豆的基因型是CcRr。

答案：CcRr。

1.2 比例的分解 根据子代表型比例拆分为分离定律的分离比，确定每一对相对性状的亲本基因型，再组合，快速解决此类问题。 例如：

①9∶3∶3∶1→（3∶1）×（3∶1）→AaBb×AaBb；

②1 ∶1 ∶1 ∶1 →（1 ∶1）×（1 ∶1）→AaBb×aabb 或Aabb×aaBb；

③3 ∶3 ∶1 ∶1 →（3 ∶1）×（1 ∶1）或（1 ∶1）×（3 ∶1）→AaBb×Aabb 或AaBb×aaBb；

④3∶1→（3∶1）×1 或1×（3∶1）→AaBB×AaBB 等或AABb×AABb 等。

例2，一种哺乳动物的直毛（B）对卷毛（b）为显性，黑色（C）对白色（c）为显性（这2 对基因分别位于不同对的同源染色体上）。 基因型为BbCc的个体与“个体X”交配，子代表型有直毛黑色、卷毛黑色、直毛白色和卷毛白色，并且它们的比例为3∶3∶1∶1，“个体X”的基因型为（ ）。

A.BbCc B.Bbcc C.bbCc D.bbcc

解析：将题干已知的子代的表型及比例分解为（1 直∶1 卷）×（3 黑∶1 白）。 由直毛∶卷毛＝1∶1，推出亲代基因型为Bb×bb；由黑色∶白色＝3∶1，推出亲代基因型为Cc×Cc； 由已知亲本的基因型为BbCc 可知“个体X”的基因型是bbCc。

答案：C。

2 合并同类项法

若后代组合方式有16 种，不管以怎样的比例呈现，都符合基因的自由组合定律，并且亲本都是双杂合子自交。 先写出正常的分离比9∶3∶3∶1，对照题中所给信息进行归类如下：若分离比为9∶7，则为9∶（3＋3＋1），即7 是后3 种合并的结果；若分离比为9∶6∶1，则为9∶（3＋3）∶1；若分离比为15∶1，则为（9＋3＋3）∶1。合并同类项法在巧推自由组合定律特殊比例时是一种好方法。

例3，在西葫芦的皮色遗传中，已知黄皮基因（Y）对绿皮基因（y）为显性，但在另一白色显性基因（W）存在时，基因Y 和y 都不能表达。 现有基因型为WwYy 的个体自交，其后代表型种类及比例是（ ）。

A.2 种，13∶3 B.3 种，12∶3∶1

C.3 种，10∶3∶3 D.4 种，9∶3∶3∶1

解析： 基因型为WwYy 的个体自交，子代有9W_Y_、3W_yy、3wwY_、1wwyy，再根据黄皮基因(Y)对绿皮基因(y)为显性，但在另一白色显性基因（W）存在时，基因Y 和y 都不能表达，合并白色的同类项9W_Y_ 和3W_yy 为12，故子代表型种类为3 种，其比例为白色∶黄色∶绿色=12∶3∶1。

答案：B。

3 通项公式法

先根据题设条件和遗传学原理进行简单的推导，从中归纳出通项公式，然后依据通项公式解决问题。

3.1 杂合子(Aa)连续自交公式 杂合子Aa 连续自交，第n 代的比例情况如表1。

表1

3.2 含n 对等位基因（独立遗传并且完全显性）的个体自交或测交公式 含n 对等位基因（独立遗传且完全显性）的亲本自交或测交，各种情况的通项公式如表2。

表2

例4，（2011年新课标卷）某植物红花和白花这对相对性状同时受多对等位基因控制（例如A、a；B、b；C、c……）, 当个体的基因型中每对等位基因都至少含有一个显性基因时（即A_B_C_……）才开红花，否则开白花。 现有甲、乙、丙、丁4 个纯合白花品系，相互之间进行杂交，杂交组合、后代表型及其比例如下图：

根据杂交结果回答问题：

1）这种植物花色的遗传符合哪些遗传定律？

2）本实验中，植物的花色受几对等位基因的

控制，为什么？

解析： 从乙×丙和甲×丁2 个杂交组合可以看出，全显个体即红花个体所占比例为81/（81+175）=81/256=（3/4）4，故该植物的花色受4 对等位基因的控制。

答案：1）基因的自由组合定律和基因的分离定律（或基因的自由组合定律）。2）4 对。①本实验中乙×丙和甲×丁2 个杂交组合中，F2代中红色个体占全部个体的比例为81/（81+175）=81/256=（3/4）4，依据n 对等位基因自由组合且完全显性时，F2代中显性个体的比例是（3/4）n，可判断这2 对杂交组合涉及4 对等位基因； ②综合杂交组合的实验结果，可进一步判断乙×丙和甲×丁2 个杂交组合中的4 对等位基因相同。

4 组合公式法

若一对同源染色体的某一基因座位上有n 个基因组成复等位基因，则纯合子的种类有Cn1＝n种，杂合子的种类有Cn2＝n（n-1）/2 种，基因型的种类共有Cn1+Cn2＝n（n+1）/2 种。

5 二项式定理法

一般地，对于任意正整数n，都有（a ＋b）n＝C0nanb0＋C1nan－1b＋…＋Crnan－rbr＋…＋Cnna0bn，此公式称为二项式定理。

例5，（2014年海南卷） 基因型为AaBbDdEe－GgHhKk的个体自交，假定这7 对等位基因自由组合，则下列有关其子代的叙述，正确的是（ ）。

A.1 对等位基因杂合、6 对等位基因纯合的个体出现的概率为5/64

B.3 对等位基因杂合、4 对等位基因纯合的个体出现的概率为35/128

C.5 对等位基因杂合、2 对等位基因纯合的个体出现的概率为67/256

D.7 对等位基因纯合的个体出现的概率与7对等位基因杂合的个体出现的概率不同

解析：根据二项式定理，1 对等位基因杂合、6对等位基因纯合的个体出现的概率为C17（1/2）1（1/2）6＝7/128，A 错误。 5 对等位基因杂合、2 对等位基 因 纯 合 的 个 体 出现的概率 为C27（1/2）2（1/2）5＝21/128，C 错误。 7 对等位基因纯合的个体与7 对等位基因杂合的个体出现的概率相等，均为1/128，D 错误。

答案：B。

6 单位1 法

单位1 不同于自然数中的1，整体就是单位1，各部分之和等于单位1。 单位1 法在遗传规律解题中的应用主要有2 点，一是不同的情境下单位1 的含义不同，例如例6“F2”和“F2中的高茎”这2 个单位1 中包含的个体就不同； 二是巧用单位1 减去少数个体的概率求对立面的大多数个体的概率，例如例7 求子代中表型或基因型不同于亲本的比例。

例6，纯合高茎豌豆与矮茎豌豆杂交得到F1，F1自 交 产 生F2。 1）F2自 交 产 生 的F3中 高 茎 占_______；2）F2中的高茎豌豆自交产生 的F3中高茎占__________。

解析:1）F2记着单位1，其中包括1/4DD、1/2Dd和1/4dd，自交产生的F3中高茎占1/4+1/2×3/4＝5/8；2）F2中的高茎豌豆记着单位1,其中包括1/3DD和2/3Dd，自交产生的F3中高茎占1/3+2/3×3/4＝5/6。

答案:1）5/8。 2）5/6。

例7，亲本为AaBbCc×AabbCc（3 对等位基因自由组合），子代中表型不同于亲本的比例为_____；子代中基因型不同于亲本的比例为____。

解析： 表型和基因型不同于亲本的个体都有多种，将每种计算出来一一相加太繁琐，可以利用单位1 的含义用1 减去与亲本相同的概率即为不同于亲本的比例。 所以表型不同于亲本的比例＝1－（A_B_C_＋A_bbC_）＝1－（3/4×1/2×3/4＋3/4×1/2×3/4）＝7/16；基因型不同于亲本的比例＝1－（AaBbCc＋AabbCc）＝1－（1/2×1/2×1/2＋1/2×1/2×1/2）＝3/4 。

答案：7/16；3/4。

7 基本不等式法

例8，（2011年生物学联赛试题）一个随机交配的二倍体平衡群体中某一基因座（只有等位基因A 和a，其概率分别为P 和q）具有哪些基本特征（ ）。

A.显性基因频率等于隐性基因频率

B.杂合子的最大概率为0.5

C.群体点位于2DR-H2＝0 的抛物线上

D.p2+2pq+q2＝1

解析：一个处于遗传平衡的种群符合（p+q）2=p2+2pq+q2=1，但是p 不一定等于q，故A 错误，D 正确；杂合子Aa 的基因型频率为2pq，2pq2（p+q）2/4＝0.5，B 正确。 AA 基因型频率为D；Aa基因型频率为H；aa 基因型频率为R［1］。 由哈迪－温伯格定律可知D=p2，H=2pq，R=q2，容易得到H2=4DR，即群体点位于4DR-H2＝0 的抛物线上，C错误。

答案：BD。

8 完全平方公式法

8.1 求基因频率和基因型频率 哈迪-温伯格定律也称遗传平衡定律，可以用（p+q）2＝p2+2pq+q2＝1这个完全平方公式表示。 对于一个处于遗传平衡的种群而言，只需要已知任何一个基因的基因频率即可求出另外一个基因的基因频率和3 种基因型的基因型频率； 同理只需要已知某一种纯合子的基因型频率就可以求出2 个基因的基因频率和另外2 种基因型的基因型频率。

例9，（2014年山东卷）果蝇的灰体（E）对黑檀体（e）为显性，基因位于常染色体上。 在没有迁入迁出、突变和选择等条件下，一个由纯合果蝇组成的大种群个体间自由交配得到F1，F1中灰体果蝇8 400 只，黑檀体果蝇1 600 只。 F1中e 的基因频率为____，Ee 的基因型频率为____，亲代群体中灰体果蝇的百分比为____。

解析： 在没有迁入迁出、 突变和选择等条件下，一个不是遗传平衡的种群只需要自由交配一代即可以达到遗传平衡，即F1为一个遗传平衡的种群。 F1中黑檀体果蝇基因型（ee）所占比例为16%，故e 基因频率为40%，E 基因频率为60%，Ee 的基因型频率为2×40%×60%=48%。 纯合亲代群体中灰体果蝇的百分比为60%。

答案：40%；48%；60%。

8.2 比较X 隐性遗传病或X 显性遗传病在男性与女性中发病率的大小 运用平衡定律的理论可以作下列预见：对于隐性伴性性状而言，男性发病率∶女性发病率＝q∶q2。对于伴X 显性基因而言，则有男性发病率∶女性发病率＝p∶（p2+2pq）＝1∶（1+q）［1］。所以X 隐性遗传病中，男性发病率大于女性发病率，而X 显性遗传病中，女性发病率大于男性发病率。

例10，（2016年全国卷Ⅰ）理论上，下列关于人类单基因遗传病的叙述，正确的是（ ）。

A.常染色体隐性遗传病在男性中的发病率等于该病致病基因的基因频率

B.常染色体显性遗传病在女性中的发病率等于该病致病基因的基因频率

C.X 染色体显性遗传病在女性中的发病率等于该病致病基因的基因频率

D.X 染色体隐性遗传病在男性中的发病率等于该病致病基因的基因频率

解析： 常染色体隐性遗传病在男性中的发病率等于该病致病基因的基因频率的平方，A 错误；常染色体显性遗传病和X 染色体显性遗传病在女性中的发病率都等于该病致病基因的基因频率的平方与显隐性基因频率之积的2 倍的和，B、C错误； X 染色体隐性遗传病，其致病基因在男性中只位于X 染色体上，故在男性中的发病率等于该病致病基因的基因频率，D 正确。

答案：D。

8.3 比较常染色体基因与伴性基因的遗传平衡根据哈迪-温伯格定律的完全平方公式可知，在一个群体中发生随机交配时，位于常染色体上的等位基因在交配一代后就能达到基因型频率的平衡。 伴X 染色体连锁的等位基因的分析相对要复杂一些，因为雄性只从母亲那里获得X 染色体，母亲的基因频率决定下一代雄性中的基因频率；雌性从双亲各获得一条X 染色体，下一代雌性中的基因频率等于亲代雌、 雄群体基因频率的平均值。 对X 连锁的等位基因而言，若一个群体未达到平衡，虽然群体中的所有基因频率是恒定的，但在每一代中雌、 雄群体中的基因频率表现出交叉递减，并且每一代减少一半的差异直到平衡，即需要经过连续多代才能接近平衡，达到平衡的速度视初始雌、雄群体差异的程度而异，平衡时的基因频率由初始雌、雄群体的基因频率决定。

例11，（2015年生物学联赛试题）果蝇的黄色体色是由一个性连锁的隐性基因控制，野生型颜色由显性的等位基因产生。 在一个Hardy-Weinberg 群体的样本中包括1 021 只野生型雄蝇、997 只野生型雌蝇和3 只黄色雄蝇。 基因库中黄色等位基因的频率估计为（ ）。

A.1.98% B.1.67% C.2.04%

D.2.76% E.以上都不对

解析：因为雄性只带有一个拷贝的等位基因，通常无论它是显性还是隐性的，它都可以表达，因此，在雄性中连锁基因的频率与基因型的频率是一致的［2］。 所以，该果蝇基因库中黄色等位基因的频率等于雄蝇中黄色基因型的频率，即为3/（1021+3）×100%＝0.29%。 故选E。

答案：E。