“方程的根与函数的零点”教学设计

王冬晴

1 教材分析

本节课选自普通高中课程标准实验教科书人教版必修一第三章第一节——第一课时方程的根与函数的零点.函数与其他知识具有广泛的联系，而函数的零点就是其中的一个链接点，它从不同的角度，将数与形，函数与方程联系在一起，本节课教学重点为零点的概念，函数零点与方程的根之间的联系；教学难点为对零点存在性定理的理解与应用.学习本节课为下节“用二分法求方程的近似解”和后续的学习奠定基础.

2 教学设计思路

本节课的设计思路是：1）从HPM的视角引入新课，引导学生在函数与方程之间建立联系，培养学生数学逻辑推理能力；2）从特殊到一般，引导学生自己得出函数零点概念、方程的根和函数图像之间的关系，培养学生数学抽象能力和直观想象能力；3）学生归纳出零点存在性定理后，教师引导学生应用零点存在性定理解决问题，使学生学以致用、巩固新知，为下节“二分法”这一数学运算奠定基础。

2.1 问题导入

问题1 求下列方程的根

（1） ；（2） ；（3） .

分析 学生很容易求出第1个小题，但后面两个小题不会.老师通过引用1824年挪威天才数学家阿贝尔成功的证明了五次及以上的方程没有根式解这一数学史，将此过程巧妙过渡到本节课课题.并说明，现如今高次方程求解方法有很多，今天我们探讨其中一个方法，从函数图像角度来研究方程的根。

设计意图 从HPM的视角来设计教学，激发学生学习兴趣，同时，在教学过程中潜移默化的丰富学生数学文化知识，引出本节课研究内容。

2.2 建构概念

问题2 写出函数 的图像与 轴交点的坐标。

分析 该函数图像不要求学生画出，应用学生已有的知识结构想象出函数图像的具体形式，学生说出函数图像与 轴交点的坐标，当纵坐标为0时，横坐标是一个实数，将这一实数赋予一个新名字，即函数的零点，由此引出零点的概念.接下来，通过引导学生判断诸如函数 ； 等是否存在零点，来巩固零点的概念。

设计意图 通过数形结合引导学生主动探究方程的根与函数图像间的关系，从数与形的角度来说，方程的根在对应的函数中所具有的多重意义.在这一环节中，不要求学生画出该函数图像，以培养学生的直观想象素养.

问题3 一般方程的根和其对应的函数零点之间有怎样的关系？

分析 在这一环节中，引导学生从特殊到一般，归纳方程的根、函数的零点和函数图像间关系，由此得出等价关系。

设计意图 函数的零点是新概念，这一问题的提出，避免學生与方程的根以及几何概念中的点混淆.虽然它们有各自不同的特性，但反映的却是共同的本质。明晰三者之间相互转化关系，在这一环节中培养学生的抽象概括能力。

2.3 探究定理

问题4 满足什么条件，函数存在零点呢？

先解决这样一个问题，已知函数 在区间[-2，1]、[2，4]内有零点，计算 、 ，观察乘积有什么特点。

分析 引导学生画出并观察函数图像，计算问题4中的乘积，并予以说明，分析乘积特点得出函数 在区间（-2，1）、（2，4）内有零点。

设计意图 通过老师的引导以及学生的运算，培养学生数学运算能力，抽象推理能力，由此概括地归纳出函数存在零点的条件，得出零点存在性定理。

2.4 剖析定理

定理是本节课的重点内容，需要注意的是该定理是充分不必要的，为了让学生在课堂上准确理解定理内容，进行下面的剖析：定理中有两个条件，若只给出其中一个，能否得出在对应的区间内有零点；若将定理反过来描述，得到的结论是否成立。

设计意图 三个问题有助于学生理解零点存在性定理的本质，明确定理中充分不必要的条件，有助于培养学生的逆向思维能力，直观想象能力和数学抽象能力。

2.5 应用定理

（1）判断方程 根的个数。

（2）若该方程的一个跟在区间 内，求出正整数 。

设计意图 此例题解决了问题导入中遗留的问题，这一例题的解决进一步促进学生体会函数思想与方程思想的转化，有助于培养学生的数学运算能力，同时为下节课“二分法”做了铺垫。

2.6 总结与作业

（1）课堂总结：教师引导学生自己回顾与总结，在知识内容与思想方法两个方面的收获，让不同的学生表达不同的看法，教师根据学生的回答及时的总结与提升。

（2）课后作业：判断方程 有几个根？每个根所在的区间 内，求 的值。

设计意图：完整的总结可以丰富学生的认知结构，完善学生的认知系统.作业题让学生应用零点存在性定理解决方程根的问题，进而培养学生较强的逻辑推理能力。

3 教学反思

本节课的设计有三个指导思想，分别是：方程与函数的转化思想；作为下一节课的起始课；处理好数学抽象与直观想象的关系.正如史宁中教授所指出的“数学在本质上研究的是抽象的东西，数学的发展所依赖的最重要的基本思想也就是抽象”。只有抽象的东西获得具体事例的支持，实现从思维的抽象发展到思维的具体，在思维中再现整体性和具体性，才能深入认识新概念新思想。

（作者单位：洛阳师范学院）