基于逆向思维培养数学思维的若干思考

摘 要：作为基础学科的大学数学其教育意义包含两个方面。一方面是传授数学知识，另一方面是培养数学思维。在信息迅猛发展的如今数学思维的发展显得更为重要。本文主要通过微分中值定理的教学设计阐述了逆向思维的重要性和基于逆向思维培养数学思维的具体方法。

关键词：逆向思维；数学思维；创新思维

逆向思维就是从反方向思考，并找出解决问题方法的一种思维方式。在高等数学中，有不少内容都可以利用逆向思维。

一、逆向思维在高等数学中的重要性（以微分中值定理的证明为例）

在证明拉格朗日中值定理的教学中一般根据几何图形先给出一个辅助函数，学生对辅助函数的引入感到疑惑、不易理解，不知怎么找解题突破口。这里可以用逆推法来证明拉格朗日中值定理。方法如下：

总之，利用倒推的方法建立辅助函数，学生就感到容易接受多了。又由C的任意性可以推出辅助函数不是唯一的，且不同的辅助函数只差一个常数。同理可以推出柯西中值定理。逆推法是从分析每一个结论的必要条件开始，步步倒推，直至说明题目给出的条件恰好符合要求为止。实际是把证明反过来分析。

二、逆向思维在其他数学学科中的应用

（一）逆向思维在线性代数中的应用

线性代数虽然是基础性课程，但因为其课程内容、定义、定理及公式等都过于抽象，所以要求授课教师要多多采用不同的切实有效的方法进行课堂教学。利用不同的思维方式，在线性代数的教学中能收到不一样的效果，尤其是逆向思维能力的运用，能使学生对线性代数知识的理解更加深刻、透彻。

例如：在向量组相关性教学中，由于概念间的互相关系复杂，定理也很多，很难一下就理解并记住。可以根据向量组线性相关的充要条件，利用逆否命题推出向量组线性无关的充要条件。另外，在矩阵和线性方程组教学中利用逆向思维教学方法，可以达到化难为易的目的。

（二）逆向思维在概率论中的应用

概率论主要研究随机现象的统计规律性，有些题直接计算难度大，甚至解不出来，这时利用逆向思维的方法可以将问题简单化，所以在教学过程中教師要有意识地引入逆推法，加强知识间的横向联系和纵向加深，提高学生举一反三的能力，进而提高其数学思维能力。

例如：计算较复杂的随机事件的概率时，可以从对立事件入手，再利用对立事件概率公式求得。

三、基于逆向思维培养学生数学思维能力的方法（以高等数学为例）

（一）利用命题的可逆性培养数学思维

高等数学中函数的极限与连续、导数与微分、不定积分、定积分等存在密切的联系，解题时学生们往往欠缺相应的逆向思考。要培养学生这种逆向思维的能力，必须从掌握命题的同时了解它们的逆命题入手，有针对性地进行训练。

例如：讲收敛数列的有界性时讨论逆命题“有界数列必收敛”是否成立？并举出反例说明。如：数列（-1）n虽然有界，但不收敛。

显然在点0和1的任一领域内都有xn的无穷多个点，但该数列的极限不存在。通过反例使学生更加深刻地理解数列极限的概念。

四、结语

基于逆向思维不仅能快速找到解决问题的突破口、化难为易，而且能够帮助学生克服思维定势、扩展视野、引出新的解题方法，从而可以培养学生的创新思维。逆向思维不仅在培养数学思维方面起重要的作用，而且在日常生活的方方面面都可以利用它来解决疑难问题。总之，在创造发明的路上，更需要逆向思维，逆向思维可以创造出许多意想不到的人间奇迹。

参考文献：

[1]黄光清.高等数学中数学思维培养的教学对策与设计[D].湖南师范大学，2005.

[2]王金香.高数教学中学生思维能力培养的对策[J].职业时空，2008.

[3]胡振琴，涂青.高等数学教学中培养学生思维能力的四种方法[J].科教文汇，2008.

作者简介：金惠兰（1969-），女，朝鲜族，吉林珲春人，硕士，讲师，主要从事数学教学研究，研究方向为一般拓扑空间。