线性代数的起源、发展及其应用

谷伟莉 郭焕焕 董艳青

针对学生在学习线性代数过程中存在的问题进行分析研究，重点介绍线性代数的起源、发展，并通过介绍线性代数在保密通讯中的应用，使学生了解学习线性代数的意义及其应用。

线性代数是高等代数的一个重要分支，是研究线性问题的代数理论。线性代数主要研究行列式、矩阵、线性方程组、线性空间以及线性变换等内容。但是，这些内容之间有什么联系以及学习线性代数有什么意义，大部分学生都不是很清楚。很多自认为学的不错的学生也只能说：“书上就是这么规定的，只需要会用就好”。但是他们真的会用吗？他们的“会用”其实是会根据书本上的定理、结论去证明相关的理论问题，然而在实际生活生产中的应用，他们真的知道吗？像教科书上那样，用事先规定好的数学定理去证明数学问题，最后培养出来的学生，只能熟练地使用数学工具，缺乏真正意义上的理解。我们的数学教学不应该只是教学生如何做题，而应该培养学生学习数学的兴趣，更加关注数学的应用性。

在与同行的交流探讨中，作者发现，有一部分教师对线性代数的把握也只是停留在课本上的知识，对于线性代数的起源、发展等了解的不是很多。于是就形成了教师只讲课本上的知识，学生也只学会了课本上的知识，根本无人关心线性代数这一学科的最新发展及其在科学技术领悟的应用！长此以往，线性代数便成了一门枯燥乏味、脱离实际应用的理论课程。更由于其概念多，逻辑性强，慢慢就成了大部分学生所说的“天书”。

针对这些问题，下面重点介绍了线性代数起源、发展以及相关应用等几个方面。

1 线性代数的起源及发展

线性代数主要是研究代数学中具有线性关系的问题，而线性问题广泛地存在于科学技术的各个领域。在日常生活生产中，一些非线性问题在一定条件下，可以近似地转化为线性问题，因此线性代数已经成为科学研究和工程应用中必不可少的工具。

线性代数基本上出现于十七世纪，直到十八世纪末，线性代数的研究还只限于平面与三维空间，十九世纪上半叶才完成了向 维向量空间的过渡。1888年，皮亚诺以公理的方式定义了有限维或无限维向量空间，托普利茨将线性代数的主要定理推广到最一般的向量空间中，线性代数的主要理论成熟于十九世纪，而第一块基石（二、三元线性方程组的解法）早在两千多年前已经出现。

线性代数的第一个问题是关于线性方程组解的问题，行列式的出现就是为了求解线性方程组。行列式的概念最早由日本数学家关孝和提出，1750年，瑞士数学家克莱姆在《线性代数分析导引》中给出了行列式的定义，展开法则以及克莱姆法则等。法国数学家范德蒙把行列式理论与线性方程组的求解相分离，给出了用余子式来展开行列式的法则。德国数学家雅可比的著名论文《论行列式的形成和性质》标志着行列式理论的建成。区别于行列式的“矩阵”是由西尔维斯特首先使用的，英国数学家凯莱1958年在《矩阵论的研究报告》中，系统阐述了关于矩阵的理论，包括矩阵的相等、运算法则、转置以及逆等，他被公认为是矩阵论的创立者。数学家约当、傅里叶、西尔和庞加莱等人对矩阵论的发展也做出了巨大贡献。

线性方程组理论的发展促成了作为工具行列式理论和矩阵论的创立与发展，这些内容已经成为线性代数教材的重要部分。行列式和矩阵在数学分析、几何学、线性方程组、二次型理论等方面的应用，促使行列式理论和矩阵论得到了很大发展。现在已然是数学中非常有用的工具。

2 線性代数的实际应用

线性代数在数学、力学、物理学、计算机图形学、最优化问题、密码通讯和对策论等技术学科中有着重要应用，但是这样泛泛而谈，学生对线性代数的应用仍是一头雾水。

线性代数到底是怎样应用到这些学科和技术领域？下面以具体例子来说明。

案例：矩阵密码在保密通讯中的应用

密码学中称原来的消息为明文，用人们日常生活中的语言写成，谁都能看懂，经过伪装的明文则变为密文，别人看不懂。由明文变成密文的过程称为加密，由密文变成明文的过程称为解密，改变明文的方法称为密码。密码学作为军事和政治斗争的一种技术，已有上千年的历史。密码中的关键信息称为密匙。显然，密匙在保密通讯中占有极其重要的地位，通常主要由通讯双方私密商定。其他人知道了密匙就能读懂密文，若不知道密匙，即使得到密文，也看不懂，从而达到了保密的目的。具体过程如下图1：

3结语

瑞典数学家Lars Garding 在其名著《Encounter with Mathematics》中说：如果不熟悉线性代数的概念，要去学习自然科学，现在看来和文盲差不多。然而按照现在的国际标准，线性代数是通过公理化来表述的，它是第二代数学模型，这意味着它的表达方式和抽象性有了一次更深的进化。学生在刚刚接触线性代数时，可能会感到迷茫，不知从何入手，他们不仅仅希望老师讲述课本上的理论知识，更希望讲述一下这门课的起源、发展以及在实际生活生产中的应用。作为老师，让学生明白学习线性代数这门课的意义，并懂得学以致用，这样的教学才是成功的！

（作者单位：商丘学院应用科技学院）