弓形虫传播模型的稳定性分析

任丽霞 薛亚奎

摘 要：为了研究控制弓形虫病传播的临界值，对疾病进行有效预防，并进行相关的理论分析与研究，针对弓形虫的生活史以及传播途径建立数学模型，分析得到了决定疾病是否继续存在以及传播的基本再生数，当基本再生数小于1时，疾病将逐渐消亡，最终灭绝，当基本再生数大于1时，模型存在唯一的地方病平衡点，此时疾病将一直持续下去，形成地方病。通过建立合适的Lyapunov函数等方法，给出了无病平衡点和地方病平衡点全局渐近稳定的充分条件，同时对建立的数学模型进行了系统、完整的定性和稳定性研究。研究结果对后续弓形虫病的研究及其数学模型的建立有一定的借鉴意义。

关键词：稳定性理论;弓形虫;最终宿主;基本再生数;全局稳定性;Lyapunov 函数

中图分类号：O175 MSC（2010）主题分类：34D20 文献标志码：A

文章编号：1008-1542（2018）06-0511-07

弓形虫病是由一种刚地弓形虫（Toxoplasma gondii）引起的人畜共患病[1-6]。猫和其他猫科动物是弓形虫的最终宿主[2]，它寄生在这些动物的小肠上皮细胞内，形成囊合子随粪便排出，其他哺乳类动物和鸟吃到体内发生感染，在它们组织内发育成为包囊，囊合子和包囊是弓形虫的不同发育阶段。除了终宿主以外，在其他动物体内只能进行无性繁殖，不能向外界散播它的后代。

弓形虫病病情轻重不一，免疫功能正常的宿主表现急性淋巴结炎的较为多见，免疫缺损者，如艾滋病、器官移植、恶性肿瘤（主要为霍杰金病等）常有显著的全身症状，如高熱、肌痛，并发生脑炎、胃肠炎等[7-10]。

弓形虫多藏在被猫狗粪便污染的土壤中，生的、半生不熟的家禽类肉食中，未经消毒的羊奶中，没洗干净和未经过烹饪的蔬菜水果中，人类作为弓形虫病传播过程中的中间宿主，感染弓形虫病的几率是非常大的，尤其猫作为宠物被越来越多的人饲养，使得人感染弓形虫的病例在逐年上升。弓形虫病分先天性和获得性2类，先天性弓形虫病只发生于初孕妇女[11-12]，经胎盘血流传播，受染胎儿多数表现为隐性感染，也可造成孕妇流产、畸胎或死产，尤以早孕期感染而引起的畸胎发生率高[13-14]。研究表明，婴儿出生时出现症状或发生畸形者病死率为12%，而存活下来的80%有精神发育障碍，50%有视力障碍[15-16]。

1 模型介绍

根据弓形虫的生活史以及传播途径，建立如下的数学模型：

t时刻的数量;E指的是环境中t时刻的虫卵密度，由最终宿主释放到环境中的虫卵以及虫卵的死亡率决定;Ai（i=1，2，3）和di（i=1，2，3）分别表示人群、中间宿主以及最终宿主的输入率和死亡率;δ和r分别表示人群和最终宿主的治愈率;q表示宣传措施的影响力系数，是中间宿主中可以传染给最终宿主的比例（猫吃掉老鼠、松鼠等小动物感染弓形虫）;m指最终宿主弓形虫的释放率。

2 基本再生数以及平衡点的存在性

在这一部分，给出模型（1）的基本再生数，并证明无病平衡点E0和地方病平衡点E*的存在性。

2.1 基本再生数和无病平衡点的存在性

2.2 地方病平衡点的存在性

通过对模型（2）的分析发现，后面5个方程不受前3个方程的影响，所以可以将模型（1）分成2个子模型：

3 全局渐近稳定性

在这一部分，对无病平衡点E0以及地方病平衡点E*的全局渐近稳定性进行分析。

3.1 无病平衡点的全局渐近稳定性

定理2 当R0<1时，无病平衡点E0是局部渐近稳定的，当R0>1时，无病平衡点E0是不稳定的。

3.2 地方病平衡点的全局渐近稳定性

4 结 语

弓形虫病包括先天的和后天的2种类型，笔者主要研究了弓形虫病传播的数学模型，得到了基本再生数以及平衡点全局渐近稳定的充分条件。当R0<1时，疾病最终灭绝，当R0>1时，疾病将持续下去。本文在证明地方病平衡点稳定性时，不再局限于构造Lyaponov函数，而是通过研究其极限系统的方法得出结论，

对于该病存在垂直传染的数学模型还在探讨之中。现在社会上流浪猫的数量不断增加，将最终宿主分成家养猫和流浪猫建立新的数学模型，研究流浪猫的数量变化对弓形虫病传播的影响将是一个新的突破，有待于进一步研究。

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