二维耦合干摩擦振子黏滑运动分析

何尚文 贾文祯 何冰冰 梅永钢 张莎莎

摘 要：针对工程中广泛存在的二维干摩擦问题，通过引入斜弹簧建立一种可考虑x，y两个方向耦合的振子模型。定义摩擦力方位角来描述动、静摩擦力矢量分量，并考虑振子振动过程中可能出现黏滞，提出了一种分析二维耦合干摩擦振子黏滑运动的方法，给出了二维耦合干摩擦振子黏滑运动的复杂边界条件。基于指数型动态摩擦模型对二维耦合干摩擦振子的黏滑运动进行了数值仿真，给出了x方向和y方向相同激振频率相同相位角、相同激振频率不同相位角、不同激振频率不同相位角3种工况下的仿真结果及系统解随激振频率和相位角的变化规律。仿真结果表明，二维耦合摩擦振子运动中可能出现黏滑状态转换;当 x方向和y方向的激励频率和相位角均不相等时，与前两种工况相比，质量块的运动轨迹、系统相图均为更加复杂的平面曲线，同时一个周期内系统可出现多次黏滑转换;两个方向激振频率相同时，改变激振频率和激励相位角，系统的解均没有出现次谐波，振子为周期运动。所提出的方法可为进一步研究二维耦合干摩擦振子的动力学特性及运动稳定性提供参考。

关键词：机械动力学与振动;黏滑运动;二维干摩擦;摩擦力方位角;耦合;振动特性

中图分类号：O322 文献标志码：A

文章编号：1008-1542（2018）06-0494-08

干摩擦结构在机械系统中广泛存在[1]，在工程中会经常遇到二维摩擦问题，如涡轮叶片干摩擦阻尼器设计等。在二维摩擦问题中，摩擦力的大小和方向事先是未知的，且具有强时变性。因此，准确求解摩擦力的大小和方向是解决二维干摩擦问题的关键。

宋保江等[2]从宏观尺度和微观尺度两个方面介绍了界面黏滑摩擦的研究进展。从一维局部滑动模型和轨迹跟踪法出发，采用带滑动触点的并联弹簧来模拟二维平面运动时叶片-阻尼器间的干摩擦接触，何冰冰等[3]、何尚文等[4]提出了求解干摩擦阻尼器耦合振动的二维局部摩擦模型并做了仿真分析。TARIKU等[5]用sgn模型来模拟弹簧阻尼干摩擦结构的二维黏滑运动。黏滞时，质量块静止;滑动时，摩擦力随着滑动速度的方向改变符号。解析法用来求解滑动状态时的运动方程。XIA[6]提出了没有刚度和阻尼耦合的二维干摩擦振子黏滑运动的分析方法。HE等[7]研究了考虑相邻叶片之间的摩擦与碰撞的二维运动摩擦模型。将含干摩擦的非线性振动系统看作分段线性系统，张有强等[8]提出求解各黏滑状态阶段的解析方法。沈钢等[9]通过研究一维、二维摩擦副动力学性能提高了车辆动力学模型中非线性元件数学模型的模拟精度。

谐波平衡法经常用来近似解析求解二维干摩擦振子在简谐激励下的响应。基于整体-局部统一滑动模型，何尚文等[10]用一次谐波平衡法对叶片缘板阻尼器的减振特性进行了分析。SANLITURK等[11]提出了平面运动的二维局部滑动模型，并且使用基于轨迹跟踪法的一阶谐波平衡法来求解该系统的非线性稳态响应。由于一次谐波平衡法不能获得谐波共振现象，CHEN等[12]提出了用以求解带干摩擦结构强迫振动响应的多阶谐波平衡法。PETROV等[13]和SANTHOSH等[14]采用多阶谐波平衡法（MHBM）获得了涡轮叶片系统的稳态周期解。

POPP等[15]研究了两种离散和两种连续的黏滑振动模型，它们表现出各种动态行为，包括混沌现象。文献[16—17]研究了带干摩擦系统响应的分岔和混沌现象，这些研究均基于一维摩擦模型，运动轨迹是一条直线。

本文研究了二维耦合干摩擦振子的黏滑运动，给出了二维干摩擦振子黏滑运动的边界条件。基于指数型动态摩擦模型，提出了一种能够求解非光滑摩擦和处理二维耦合的数值算法，可以用于计算任意激励下干摩擦振子的响应。引入了用来确定动、静摩擦力向量分量的摩擦力方位角的概念，摩擦力方位角由相对运动速度或非摩擦力分量确定。用龙格-库塔法计算，振子由黏滞到滑动转换的关键点用二分法捕捉。

1 力学模型与动力学方程的建立

二维干摩擦振子的力学模型如图1所示。质量块m与平面接触并通过3个线性弹簧和3个线性黏性阻尼固定。k3和c3与轴的夹角为45°，这使得2个方向的运动耦合在一起。根据耦合振动的理论[18]，二维干摩擦振子的运动方程可以写成式（1）。

4 结 论

引入斜弹簧建立了一种可考虑平面内2个方向耦合的二维干摩擦振子动力学模型;通过定义摩擦力方位角并考虑振子振动中可能出现黏滞的情况，提出了一种基于二维库仑摩擦模型、可考虑黏滑转换的运动分析方法，给出了二维干摩擦振子黏滑运动的复杂边界条件。在此基础上研究了二维耦合干摩擦振子的黏滑运动特性与系统解的变化规律，结论如下。

1）二维耦合干摩擦振子运动过程中可能出现黏滑状态转换。

2）考虑耦合的振子运动轨迹、相图、摩擦力变化规律相比不考虑耦合时更为复杂;激励频率和相位角均不相等时，与激励频率相等且相位角相等或激励频率相等且相位角不等相比，振子的運动轨迹、系统相图均为更加复杂的平面曲线，同时一个周期内系统可出现多次黏滑转换。

3）x，y方向激振频率相同情况下，随着激励频率和激励相位角变化，系统响应的性质没有变化，均没有出现次谐波且高次谐波分量很小，该情况下计算系统稳态响应减振效果时可使用谐波平衡法提高运算效率。

目前求解振子的振动特性时多假定基础静止，下一步将考虑基础振动，对振子的动力学特性及运动稳定性进行深入研究。

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