二阶变系数线性微分方程的解法研究

白慧

众所周知的是，对与二阶变系数线性微分方程其一般解析式：

y"+p（x）y'+q（x）y=f（x） ①

基于其定义我们可以知道P（x）、G（x）、F（x）是连续的，那么方程的解是存在的。但是其可积性也只能是三者处于特定的情况下才能存在。这部分内容比较深奥，在大部分普通高校微积分的教材中虽然没有对其解法的完整体现，但是学生们在自行阅读的时候很可能会阅读到相关方面的文献的时候很可能会看到相关的问题。因此针对这种情况我们应该积极的寻找其中的相通之处进而找为学生们的更好的理解这些问题的重要途径。

1可积条件

首先在方程①，我们通常所使用的方式是采用变量对上述的方程进行替换，并且一般替换的对象是可降价的方程或者是常系数线性方程。这种方式的制约性就是在选择使用怎样的方式来进行替换的时候必须要看P（x）和Q（x）之间存在怎样的关系来确定。就是在进行计算的过程中需要受到很多方面的影响，变量的不确定性大大增加了在解方程过程那种的困难性。

接下来我们探讨方程①可积的重要条件：

P（x）、G（x）、F（x）≠0以及常数b、c

②

经过变换我们不难看出当①中的p（x）和q（x）分解为②时，即方程：

③

经过双变化之后不难看出其常系数线性方程：

④

之后可以再次经过转化得出：

⑤

在对方程：

⑥

双变换完成之后：

显然上述的公式是错误的。

上述方程①中是的p（x）和q（x），在进行分解的过程中一般都不会将其分解成②的形式，一般在针对某些简单的情况下，我们可以使用拼凑法的形式；而在比较麻烦的情况下，往往可以使用“分项比较法”的方式来完成实现结题的过程。基于此，本人认为，对可积方程①的求解，首先是观察方程①是不是能够形式简单并且便于记忆的方程，若不是再进行考虑如②的分解方式，这样可以为自己的结题提供一种比较简单的并且简捷的思路，从而不至于在拼凑的项目中难以找到相应G（x）、F（x）以及b、c 的值。

2例题分析

例1：问题已知函数 是二线性齐次方程

xy"-（2x-1）y' +（x-1）y = 0的一个特解，求原方程的通解.

[分析] 这也是变系数线性方程问题，但跟人上方程的解法不属于同一种类型。他的题意中已经给出了一个特解，所以用的方法也就并不一样。

根据二线性齐次方程[解的结构理论] 可知，只要能求出与 线性无关的另一个特解 ，就可以得到其通解 了。而 與以线性无关的特征就是 ，不是常数。

[解] 设原微分方程有另一与y线性无关的特解口，则可设 即

= ，将其代入原方程，可得到一个关于以K（x）为未知函数的微分方程（过程非常简单，从略）

xK" + K'= 0.

由于我们只要求出其“一个”特解，所以从上式中求 时，可以不必顾及任意常数，从而可得（过程很简单，从略） K（x）=In |x|，即y2= e* In |x|，所以原方程的通解为

[注] 通常也把这种方法称为“常数变易法”

这类问题，虽然方法较为简单，但是基本运算量还是比较大的，如果不冷静地思考，仔细地演算，那么还是很容易出错的，为此大家应该更加注重对问题的思辨性。

3结语

综上所述，经过数十年我们对于二阶变系数线性微分方程的研究已经有了一个比较系统的解释方法，但是在探究问题的过程中还会存在一定的问题有待我们进一步的去解决。针对这些问题我们不应该采取消极回避的态度而应该积极的寻找其正确的解释方法，从而为我们的学生们找到一个更加正确的解题方向；另外，现阶段虽然我们已经对此有了一个比较成熟的算法，但是随着科技的发展和认知的提升，也许在未来的某一天还会出现更加科学的算法，因此我们也不能采取保守陈规的态度，应该积极进取。

（作者单位：河套学院）