小学生数学合情推理的教育价值及其内涵剖析

闫龙敏

[摘要]纵观当今的小学数学课堂，不少数学思维训练活动浅尝辄止，因忽视“学生合情推理能力的发展”而缺乏推理教学的可操作性。《义务教育数学课程标准（2011年版）》中提出了发展合情推理能力的培养目标，但在实际教学中，合情推理却是小学数学的“瓶颈”，合情推理能力的滞缓发展有碍于学生数学能力的全面提高。因此，数学教师应深度解读合情推理的内涵，明晰合情推理的教育价值，以学生认知基础为依托、以合情推理过程为抓手、以类比和不完全归纳推理为手段，深度启发学生的推理思维，使合情推理站在小学数学能力培养的“队列”中。

[關键词]小学生； 数学能力； 合情推理

[中图分类号] G420[文献标识码] A[文章编号]1005-5843（2018）04-0075-05

[DOI]1013980/jcnkixdjykx201804015新一轮数学课程改革将合情推理作为培养目标呈现在《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《标准》）中。《标准》中指出， “在观察、实验、猜想、验证等活动中，发展合情推理能力，能进行有条理的思考，能比较清楚地表达自己的思考过程与结果”。“推理能力是数学的基本思维方式。推理一般包括合情推理和演绎推理”[1]。经调查发现，数学教师，尤其是大部分小学数学教师，他们对合情推理的涵义一无所知，虽然有些教师知道合情推理，也将合情推理写在教学目标中，但这种认识仅限于概念的浅层认识和蜻蜓点水式的课堂提问。因此，看似结构完整、条理清晰的目标设定和实施过程，由于缺乏对合情推理本身的准确把握和恰当执行，致使学生的学习结果呈现出令人担忧的局面，发展合情推理能力的教学目标流于形式。在大力发展学生各项数学技能时期，《标准》中明确提出的合情推理却被搁置，究其原因，离不开人们对数学推理本身认识的规限性。严谨性和逻辑性一直以来都是数学教育的主旋律。从概念表面分析，“合情”与数学一贯秉承的严密性相悖，因此，“合情推理”一词的问世受到教育研究者的否定。他们认为，合情推理只是各种数学推理的大杂烩，本身没有现实的数学教育意义。然而，不容忽视的是合情推理是响当当地被列入新一轮数学培养目标的，必然有其重要的教育价值。

数学合情推理之所以能被纳入《标准》中，意在纠正过去数学推理一贯只重视严谨性、逻辑性的局面。一直以来，小学数学教学的逻辑性被僵化或虚化，小学生自身的认知能力不强，发展较强逻辑性的论证推理知识得不到内化，对严密逻辑性的推理只是浮于表面的记忆。纵观各个版本的小学数学教科书或教辅书的教学目标，都是将合情推理能力作为小学生主要发展的数学思维能力，而演绎推理则是更高学段的主要教学目标。本文拟针对研究者对合情推理含义的误解和教育价值的不确定性，分析合情推理的内涵、教育价值，以及合情推理的推理过程。

一、合情推理的内涵

（一）合情推理的“前世今生”

20世纪80年代初，美籍匈牙利数学教育家G·波利亚撰写的“Mathematics and Plausible Reasoning”的译本——《数学与猜想》面世。其中，第一卷“Induction and Analogy in Mathematics”被译为“数学中的归纳和类比推理”；第二卷“Patterns of Plausible Inference”被译为“合情推理模式”。也有译本将 “Mathematics and Plausible Reasoning”译为“数学与似真推理”，将第二卷译为“似真推理的模式”[2]，但这种译法并没有被流传下来。至此，“合情推理”一词在我国开始流传，但波利亚并没有明确地界定合情推理的涵义，仅将归纳推理和类比推理作为合情推理的方法进行了分析[3]。

随着国内外学者对合情推理研究的深入，合情推理的概念、模式都得到了细化的解析。为了能够帮助数学教师找到以学生认知结构为基点培养数学推理能力的抓手，研究者将推理类型进一步细分。因此，具有严谨逻辑性的演绎推理、完全归纳推理被小学数学教学拒之门外，逻辑性较为松散的类比推理和不完全归纳推理得到了小学数学教学的热烈欢迎，而后又将后者灵活地整合为合情推理。《标准》中对合情推理进行了界定：从已有的事实出发，凭借经验和直觉，通过归纳和类比等思维方式猜测或推断出某些结果的过程。

（二）“合情”与“合理”

多数研究者之所以否定合情推理，主要是由于合情推理概念的含糊性，认为合情推理不具有合理性，即合情推理只是符合感性认识的“差不多”或者“可能”的合乎规范。

合情推理的过程必定是合理的。从建构主义的角度来看，合情推理的过程是学生根据已有的知识储备，在认知观念的基础上进行知识重构或者推出新知识的过程，是建构活动的产物，从而都有其一定的合理性。从合情推理的概念可以看出，学生已有的事实确定为正确，归纳就是根据一类事物的部分对象所具有的某种性质，得出这类事物所有对象都具有这种性质的推理；类比就是由一类事物所具有的某种属性，推测出与其类似的事物也应具有这种属性。类比和归纳的过程都是有既定学生的已存知识依据的。因此，合情推理的过程根据已有事实来进行是合理的。依据类比和归纳猜想出结论，主要基础就是已有的经验事实，因此合情推理的过程是合理的。合情推理的结论是或然的，不是绝对正确的，这与合情推理的合理性表面看起来存在矛盾，实则不然。在波利亚对合情推理的阐述中，将得出命题的“真”与“假”改为“可靠”，就是说经过合情推理得出的结论是可靠的、可信的。不一定为真只是在归纳的过程中还未出现反例或者在类比的过程中还没有出现属性的不同个例，但是推理的过程是合理的。因此，综合合情推理过程和结果分析，合情推理是合理的。

（三）“合情”与“逻辑”

从字面上来看，合情推理中的“合情”总带着感性的色彩，与数学的严密逻辑性相悖。因此，很多学者就会对合情推理的数学逻辑性产生质疑，认为合情推理的逻辑性不强，不能称其为数学推理，合情推理只是一些推理的大杂烩。笔者认为，这种说法有失偏颇，没有真正地认识合情推理。

其实，合情推理是有逻辑可循的，但不是完全具有逻辑性的。在整个科学知识体系中，数学是逻辑性最强的一门学科，数学与逻辑总是密不可分地一同发展。当然，数学与逻辑结合的程度并不总是一样的，有时十分紧密，有时相对松散，合情推理与逻辑结合的程度则是相对的松散[4]。合情推理培养学生发现、猜想的能力，而逻辑思维对数学发现提供必要的启示和引导，在一定意义上成为数学发展的动力。具体来说，合情推理的过程不是完全凭借经验或者直觉进行的推理，需要数学知识之间的关联点进行类比或者归纳。这就需要进行一定逻辑思维的支撑，只有經过逻辑的思考，才能找到已有知识与问题之间的关联点，从而找到归纳点或类比点。然而，合情推理的过程又不是完全具有逻辑性的，这取决于合情推理的过程中有经验和直觉的参与。合情推理有依据经验猜想的环节，此处的经验不仅仅是已有的数学知识，还有生活的经验，生活经验和直觉没有完全的逻辑思维，是凭借自身的感性认识进行的知识建构，感性因素占有相当重要的地位。因此，合情推理的过程是有逻辑的，但不是完全等同于数学知识与知识之间绝对严密的逻辑。

二、合情推理的教育价值

（一）合情推理能力是知识经济时代创新型人才的必备素质

20世纪中期以来，知识经济逐渐取代工业经济，成为国家经济体系中占有主导地位的经济形态。知识经济时代相比工业经济时代，最大的区别就是对创新型人才的需求格外迫切，创新已然成为一个民族的灵魂，支撑着整个民族的发展。信息化时代，需要更多的创新型人才为祖国发展注入新鲜 血液，而创新型人才的核心素质就是创造能力。什么叫做创造或者创新？按照严密的逻辑性，对已有的事物进行论证的过程都不叫创造或者创新，只有由已有事物、已有认知推出新事物、新发现的过程才叫创新。合情推理的过程与创新的过程相契合。因此，提升合情推理能力是培养创新型人才的重要路径。

从数学知识创新的角度来讲，周围世界中新知识的产生几乎都与合情推理有着紧密的联系，新知识形成的思辨过程往往都是按照合情推理的方式进行的[5]。在数学领域，不仅要发展学生严谨的逻辑思维，更要注重发展学生的探索性思维，培养他们的创造性。探索性思维和创新能力的培养都离不开合情推理能力的提升。

史宁中教授特别指出：“从学理上说，人的创新能力的形成依赖于知识的掌握、思维的训练和经验的积累。其中，最核心的是思维训练……多年来，我国基础教育在学生思维能力的培养中，主要弱在了合情推理能力的培养上，给创新性人才的成长带来了严重的阻碍。[6]”合情推理的过程不是对已有结论的证实过程，而是对已有经验进行分析，得出新事物的过程。因此，在知识经济背景下，合情推理能力是创造与发现的源泉，是创新型人才的必备素质。

（二）合情推理能力的提升有助于数学深度学习

合情推理本质就是运用小学生较容易理解的类比和不完全归纳方法对已有知识进行整合，而深度学习着重强调的也是学习内容的有机整合，两者的内涵是相契合的。合情推理并没有完全淡化数学推理的严谨性，合情推理也是沿袭以既有知识为基点的推理。已有知识并不是所学到的全部数学知识，而是与所解决问题相关的知识，是同一个系统领域中的知识。如，小学数学中，可以将“数的认识”看作一个知识系统，整数、小数和分数可以分别看作“数的认识”中的“子系统”。数学深度学习则是以数学学科的核心内容为载体，对数学知识进行整体分析和统一规划，提炼出知识的核心内容[7]。学科知识的核心内容一般是学科知识的主要内容和关键部分，往往是一组内容或一个知识群。如，可以将“数的认识”看作是一个核心内容群。由此可见，深度学习中的核心内容和合情推理中的系统知识内涵相似。数学合情推理的主要过程，就是运用迁移的思维方式将系统知识群里的知识相互连接，吐故纳新，不断审视系统知识中已有的知识结构，是推出新知识的过程，也是为数学深度学习奠定知识基础的过程。

由此可见，合情推理的知识储备过程就是深度学习将新概念、已知概念与原理联系起来，整合到原有的认知结构中，从而引起对新知识信息的理解，长期保持及迁移应用的过程。合情推理要求学习者深入理解已有知识，相对准确地判断和把握关键要素，在相似情境中能够做到 举一反三，也能在新情境中分析、判断差异，并将原则思路迁移和运用。因此，合情推理的过程与数学深度学习有着紧密的联系，学生合情推理能力的提升有助于其数学深度学习的进行。

（三）小学阶段是合情推理能力发展的关键时间点

合情推理能力不是与生俱来的，它具有一个发展过程，需要从小培养。合情推理能力的发展与学生的已有经验、思维水平等因素有关。因为学生的已有经验是一个不断积累的过程，学生的思维水平也是一个不断提升的过程，所以学生的合情推理能力也是一个不断发展的过程。

相对于小学生，初中生的数学学习主要是以逻辑思维为主，合情推理能力已经到达相对较高的水平。从细节上来分析，初中生经过6年的小学数学学习后，基础知识牢固，类比思维和归纳思维相对成熟，迁移能力和认知风格已经形成一定的个体特点。相对于合情推理，初中生演绎推理能力的发展空间更大，可塑性更强。纵观小学阶段，在学生已有经验方面，低年级小学生对周围事物的认识还处于以自我为中心的阶段，生活经验不足，并且学到的知识相对浅显；在学生思维水平方面，低年级小学生主要是以表象和形象思维为主，有一定的归纳和类比推理能力，但都是不完整的猜测或偶然的经验结论。因此，此阶段的小学生没有足够的经验和思维水平作支撑，合情推理能力水平较低。到了高年级，学生对周围世界的认识范围逐渐扩大，生活经验得到扩充，并且对知识的学习不断深入，学生已有的生活经验和知识经验都在积累。学生已有经验不断积累的过程也是学生合情推理能力的基础不断加固的过程。高年级学生的思维能力在不断增强，能够从已有经验中找到归纳点和类比物，为猜想提供依据，他们的合情推理能力水平高于低年级学生。基于已有经验和思维水平的合情推理能力发展是具有过程性的，无论是知识积累还是思维提升，都不是本来就具有的，而是需要不断培养才能达到每个阶段的水平。因此，合情推理能力需要从小培养。