基于“模型思想”的小学数学教学

朱冬梅

摘 要：数学建模的过程就是学生数学化的过程，是学生理解和体会数学与外部世界联系的过程。基于“模型思想”，教师要引导学生洞察问题、经历活动、沟通联系、反思评价等，让学生理解、建构、感悟、运用“数学模型”。“数学模型”让学生逐步明晰数学之理性与客观。

关键词：数学教学；模型思想；数学化

《义务教育数学课程标准（2011年版）》提出了十个核心词，有专家认为，这十个核心词就代表着学生的数学核心素养，而“模型思想”就是十个核心词之一。建立“模型思想”是学生理解和体会数学与外部世界联系的基本途径。东北师范大学史宁中教授认为，“数学的基本思想有三：抽象、推理与模型”。什么是“数学模型”？广义地说，一切数学概念、原理等都可视作数学模型；狭义地看，描述、反映特定事物、关系的数学结构就是数学模型。建构数学模型，主要有三个步骤：一是从生活情境出发，引领学生经历“横向数学化”，将生活问题抽象为数学问题；二是在数学之中，进行“纵向数学化”，即数学符号的生成、重塑和被使用；三是运用数学模型对生活原型的价值、意义等进行检验。

一、洞察问题，理解“模型思想”

儿童数学“模型思想”的形成是一个渐进的过程，主要包括理解模型、建构模型、感悟模型和运用模型等几个方面。其起点是从现实生活或具体情境中抽象出数学信息，提炼和发现数学问题。因为数学模型总是针对某一具体问题、现象而建立的，如历史上有名的“七桥问题”（一笔画）等。因此，教师要从学生的日常生活出发，让学生思考问题、洞察问题。通过研究问题，揭示研究对象的特征、形态和本质。例如，自然数就是古人打猎计数的一种数学建模，负数就是表示具有相反意义的量的一种建模，V=Sh就是对长方体、正方体、圆柱体等直柱体的一种建模。

例如：教学《间隔排列》，其生活原型问题极其复杂，诸如“爬楼梯”问题、“锯木头”问题、“敲钟”问题、“发车”问题等。正因为如此，许多教师认为“间隔排列”问题难教，因为就排列路线而言，可以分为线段和封闭曲线排列，而在线段排列情形中又分两类，即两端相同、两端不同。据此，不少教师在教学中让学生识记各类情形，这样的教学显然定位于知识，而不是定位于儿童数学活动经验、基本思想。其实，让学生对此类问题形成感悟，没有必要将教学的重点定位于机械的模型识记上，而应将儿童解决问题的策略（画图）、思维活动（谁是物体数，谁是间隔数）以及数学思想（一一对应）等融为一体。于是，有学生将“物体”抽象成三角形，将“间隔”抽象成“圆形”，于是物体与间隔的关系被表达为三角形与圆形的关系；有学生将“物体”抽象成“竖线”，将“间隔”抽象成“横线”，物体与间隔的关系就被表达为“竖横竖横……”等。在引导学生认识到用“点”表示“物”、用“线段”表示“间隔”的一般方法后，如图“”。教学中，教师要引导学生立足于模型图对“间隔排列”系列现象进行深度解读，诸如时间间隔、楼层间隔、次数间隔等。只有当学生对间隔规律有了本质理解，对画图策略有了自觉要求，“间隔排列”的模型思想才能悄然形成。

模型不是呆板地记忆，而是灵动地感悟、理解。教学中，教师只有让学生时时处处直面生活现象、直面具体问题，才能让儿童完成从“现实原型”向“抽象模型”的过渡。也只有当学生理解了数学模型，他们对数学知识的本质才会有深刻的把握。

二、经历活动，建构“模型思想”

有专家将小学阶段的模型划分为四种类型，即公式模型、集合模型、方程模型和函数模型。每一种模型，就其表现形态而言都是静态的、形式化的数学结构，就其建模过程而言都是动态的、数学化的过程。而活动则是学生经验建模的重要方式，只有在活动中，学生才能感悟模型思想，形成问题发现、分析和解决的能力。教学中，教师要有意识地引导学生经历从问题提出到建立模型再到求解验证的全过程。具体而言，就是要引导学生经历从“一个”到“一类”的过程，引导学生经历从“具体”到“抽象”的过程，引导学生经历从“猜想”到“验证”的过程。

例如：教学《乘法的分配律》，笔者为了让学生自主建构“乘法分配律”的数学模型，给学生提供了几种不同的素材，引导学生从已有知识经验出发，感悟问题的本质。如【素材1】：左边花坛有2行红花，每行12朵；右边花坛有2行黄花，每行9朵。一共有多少朵花？【素材2】：学校有美术室和音乐室，美术室长8米，宽5米；音乐室长10米，宽5米。两间教室一共有多大面积？……学生在解决不同素材的问题过程中逐渐形成了一些感悟。学生发现，尽管这些素材是千姿百态的，但它们的本质似乎一样，都可以运用两种不同的思路、两种形式不同的算式表示出来。接着，笔者让学生结合自己的感悟，创造一些素材。通过这样的活动，学生渐渐在头脑中形成了“乘法分配律”的雏形，如（甲+乙）×丙=甲×丙+乙×丙，（a+b）×c=a×c+b×c等。不难看出，通过对活动素材的组织、创造，学生建立起自己的模型表象，他们有的用文字表征，有的用图像表征，还有的用符号表征。尽管这些模型表象、表征还只是学生的猜想，但通过多元举例验证，学生经历了数学模型再创造的过程。

在数学教学中，教师要鼓励学生运用不同方式猜想、建构模型。只有允许学生运用对象的特性建构不同的数学关系或者结构，学生的数学分析问题、解决问题的能力才能得以提升。如此，增强学生的数学意识，培养学生的数学眼光，努力让学生感受数学模型思想。

三、沟通联系，感悟“模型思想”

数学模型是一类问题的数学化表达，抽象和概括是建构模型的基本数学思想与方法。教学中，教师要沟通不同的问题表现形式，让学生舍去个别的、非本质的属性，提炼共同的、本质的属性。当学生经过初步的数学化建构数学模型后，教师要引导学生比较不同的素材、不同的问题表现形式，深化学生对模型的认知。学生在具体问题与抽象模型间的来回穿行，实现完整的模型建构、模型感悟。

例如：教学《解决问题的策略——假设》，笔者以中国古典名题——“鸡兔同笼”问题作为课程与教学载体，引导学生运用“列举法”“画图法”“极端假设法”等多种方法探究问题，形成问题解决思路，建构“鸡兔同笼”解题模型，即已知两个未知量的和以及两个未知量之间的关系，分别求出这两个未知量。在学习过程中，有学生对“鸡兔同笼”模型的现实意义和价值发出质疑，“老师，生活中真有将鸡和兔放置在同一个笼子里的吗？”，显然，学生对模型的理解还仅仅局限于具体生活现象上，而没有对模型形成普遍的意义认知，也没有形成对模型所代表的一类问题的价值体认。据此，教师要引导学生沟通诸种现象的联系，帮助学生感受“模型思想”。如可以引导学生思考：“鸡兔同笼”为什么具有历久弥新的魅力？“鸡兔同笼”问题仅仅代表鸡和兔在一个笼子里吗？生活中有没有类似于鸡兔同笼的问题呢？在讨论与交流之中，学生认识到，“鸡兔同笼”问题是一类问题的统称，在日本还叫作“龟鹤问题”。生活中这样的例子很多，如在一个场地中，既有乒乓球单打，又有乒乓球双打；在一个停车场中，既有二轮的电瓶车，也有三轮的电瓶车，还有四轮的电瓶汽车；在一个信封上，既贴有2元邮资的邮票，又貼有5元邮资的邮票等。只有当学生从某个具体问题、具体现象中跳脱出来，形成数学模型，并能够将模型广泛应用到问题解决过程中去，学生的数学模型意识和模型思想才可以认为是初步形成了。

数学模型有助于学生在数学学习中形成“举一反三”“触类旁通”的意识，有助于学生从数学学习的“必然王国”走向“自由王国”。教学中教师必须引导学生亲身经历将实际问题抽象概括成数学模型并进行解释和运用的全过程。只有这样，学生才能感受到模型的一般化、概括化、典型化和精确化的特质。

四、反思评价，运用“模型思想”

数学模型是人们对客观世界中复杂的数量关系的概括和总结。学生建构数学模型的过程是渐进的、递进的。有时候，数学模型的不断完善和发展需要用现实问题和具体现象来进行检验。现实问题、具体现象可以帮助我们对数学模型的建构进行反思和评价。从这里也可以看出，数学模型是学生理解与体会数学与外部世界联系的基本路径。

例如：教学《常见的数量关系》，在学生学习了“单价、数量和总价”“工效、工时和工总”“速度、时间与路程”之后，笔者引导学生借助生活经验，用线段图表示这些数量关系，抽象出“每份数、份数和总数”的“乘法模型”。运用这个“数学模型”，教师可以引导学生赋予模型以现实意义，如每分钟行驶8.5米是每份数，行驶了8分钟就是有这样的多少份；每本书的价钱是25元是每份数，买这样的8本书就是8份；每小时做50个零件是每份数，一共做了8小时就是份数等。通过数学模型，学生理解了各种问题的数学本质，掌握了解决问题的具体方法，形成了数学理性之美、统御之美。通过反思，有学生认为，像速度、单价、工效这些量是不可以度量的，他们的计量单位是复合单位，如米/秒、元/本、个/时等，是通过具体的计算得到的；有学生认为，有时一个单位就隐含了相关的数量关系，隐含了一种数学模型，如速度的单位就隐含了路程除以时间，单价的单位就隐含了总价除以数量等。

从某种意义上说，学生数学学习就是学生不断地进行抽象、概括，不断建构数学模型的过程。数学模型是抽象的，因此，教师要有意识地引导学生展开数学化活动，让学生充分经历数学建模过程，循序渐进、潜移默化地感悟数学思想、方法，进而让学生学会用数学的眼光观察世界、用数学的思维分析世界、用数学的语言表达世界。