低起点 小坡度 分层次 高目标*——高三体艺生一轮复习教学实录与反思

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(华士高级中学,江苏 江阴 214421)

1 基本情况

1.1 学情分析

学生来自普通高中体艺班，数学基础知识薄弱，方法运用不够灵活，分析问题、解决问题的能力较弱，普遍缺乏学好数学的信心.关于基本不等式内容，学生认知水平分析如下：

知识结构已经初步复习基本不等式相关知识，但学生对基本不等式中的适用条件“一正、二定、三相等”掌握得不够扎实.

学习能力学生对基本不等式有了最基础的认识，但只能解决最简单的基本不等式问题，还不具备处理稍复杂问题的能力.

情感态度因为基础薄弱，缺乏在数学活动中获得成功的情感体验，所以学生面对数学有畏难情绪，不能积极主动参与数学活动.

1.2 教材分析

基本不等式是《数学(必修5)》的内容，新授课的教学目标是：1)探索并了解基本不等式的证明过程；2)体会证明不等式的基本思想方法；3)会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.

基本不等式在《江苏省考试说明》中属于C级要求.因为多元问题以其试题简短、解法灵活、思维发散等特点越来越受到命题者的青睐，所以基本不等式与多元问题的结合已经成为近年来高三调研试卷和高考数学试卷中的一道亮丽风景线.

2 教学过程

2.1 唤醒知识，夯实基础

生1：不正确.举反例：当x=-1时，y=-2.

生2：当x<0时，显然f(x)为负数，因此不正确，如果加一个条件“x>0”就正确了.

师：回答得很好！生2已经在命题了，能否再命制一些题目？

生5(板演)：1)当x>0时，

2)当x<0时，

综上所述，f(x)的值域为(-∞,-2]∪[2,+∞).

(学生得出基本不等式适用的一个条件是“正”.)

生7：正确.因为

师：直接用基本不等式可以吗？为什么要配凑？

(学生小组讨论交流.)

生8：如果直接用基本不等式，则

师：一个“凑”字道出了解题的关键.

(及时的肯定与表扬可以提高学生学习的动力.)

生9：正确.因为

师(向学生求助)：那怎么办？

师：通过这几道题的学习，我们有一些收获.每一次的收获就好比一颗珍珠，我们要把它及时“用线穿好”(学法指导).谁来分享自己的收获？

生12：基本不等式的适用条件是“一正、二定、三相等”.

(教师板书.)

说明针对体艺班的学情，例1的设置充分体现了“低起点”，例1和两个变式源于苏教版《数学(必修5)》.回归课本，从最简单的问题出发，能更好地把握体艺生数学思维的起点，让更多的学生(即使基础较差的学生)主动参与数学活动.例1及学生的自主变式，充分调动了学生学习数学的积极性，有利于夯实基础.如果体艺班的学生在课堂上一开始接触的就是难题，那么学生本来有学好数学的愿望，但在当头一棒的打击下很有可能丧失学好数学的勇气和动力，因此体艺班的教师更要保护学生学习数学的积极性.起点低些，节奏慢些，交流多些，鼓励勤些，相信学生会有更好的发展.对于这一点，教师要将眼光放得更长远一些，并对自身的教学和体艺生的学习充满信心.

2.2 自然过渡，发散思维

例2已知x,y∈(0,+∞)，xy=x+y，则x+y的最小值为______．

师：从变量的个数上看，例1中只有一个变量，例2中有两个变量.我们把不止一个变量的问题称为多元问题，接下来我们就来研究多元最值问题.大家一起合作，圆满解决了例1，老师更加期待你们在例2中的精彩展示.

(教师的期待能更好地调动学生学习数学的积极性.)

(x+y)(x+y-4)≥0.

因为x,y∈(0,+∞)，所以

x+y>0，

从而

x+y≥4,

故x+y的最小值为4.

(教师引导学生对上述方法进行总结.此时无声胜有声，课堂既需要学习的喧哗，也需要润物细无声的总结反思.数学学习是学生自我体验、理解和反思的主动建构过程.因此，学生只有主动地参与到学习中来，才是真正有意义的学习.)

师：还有其他方法吗？

(一石激起千层浪，学生很惊讶还有其他方法.教师先让学生独立思考，再小组讨论，同时教师巡视点拨、关注学困生.)

生16：由xy=x+y知(x-1)(y-1)=1(其中x>1,y>1)，则

x+y= (x-1)+(y-1)+2≥

当且仅当x-1=y-1，即x=y=2时,等号成立，故x+y的最小值为4.

生17：取x=y，则x=y=2，此时x+y=4，即为所求.

师：大家的表现让老师刮目相看，只要下功夫、肯钻研，数学一定能学好！一句话与大家共勉：越专注，越高效；越努力，越幸运.这道题一共有5种解法，这些方法如何选择？各有什么适用条件？

(教师及时进行励志教育和学法指导，学生展开热烈的讨论，成果如下.)

方法1直接法，将需要保留的目标“x+y”写在等式的左边，将要去掉的“xy”写在等式的右边.适用条件是：要去掉的xy与要保留的x+y之间有“和积关系”.

方法3配凑法，代入消元法，将条件中的一个字母用另一个字母表示，再代入目标式子实现消元的目的.

方法4配凑法，积定配凑法，条件为xy=ax+by+c，可以通过配凑法化为(x+m)(y+n)=t，再将目标式子化为x+y=(x+m)+(y+n)-m-n，最后用基本不等式解题.

方法5特殊化法，通过分析已知和目标，如果将x,y互换，对题目没有任何影响，可以令x=y，用特殊化法解题，这种做法适用于小题，也可作为检验的一种方法.

说明例2在例1的基础上，难度略有提升，这充分体现了“小坡度”，小坡度正是学习最近发展区的体现.体艺生面对例2主动思考，虽然难度不大，但收获不小.该题是本节课的重头戏，在讲解时，教师不能过多地干预，要留给学生足够的时间和空间，尊重学生的想法，鼓励学生发表不同的见解.最后让学生对该题的5种方法进行总结，这样让学生的思维既能发散出去，又能收敛回来.有了对例2的深入研究，也就支撑起了整节课的方法体系(如图1).

图1

2.3 个性选择，分层推进

根据学生的学习情况，个性选择、分层推进教学.学生自主选做以下6组题进行方法突破训练(其中自选1～5中，五选一，自选6可以选择做或者不做)：

自选1直接法.

若实数x,y满足x2+y2+xy=1，则x+y的最大值是______.

自选2“1”的代换.

已知x,y∈(0,+∞)，xy=2x+y，则x+y的最小值为______．

自选3代入消元法.

自选4和(积)定配凑法.

已知x,y∈(0,+∞)，xy=2x+y+6，则x+y的最小值为______．

自选5特殊化法.

设x,y为实数，若4x2+y2+xy=1,则2x+y的最大值是______.

自选6能力提升.

说明“分层次”是因材施教的表现.在班级授课制下，由于学生的智力与非智力因素的不同会造成学生学习水平的不同.“分层次”完成自选题，区别对待不同学生可以缩小这种差距，让不同层次的学生获得不同的发展.学生在自主选择中凸显其主体地位，强化“学生才是学习的主人”的意识.

2.4 螺旋上升，发展思维

说明由例1的一元问题到例2的二元问题，再到例3的三元问题，而例3及巩固练习所用的方法在例2中有所涉及，这样的设计在难度上和方法上都体现了螺旋上升.该题的难度对于体艺生而言，设置是否合理？既然要学好数学，就要让学生的大脑“出出汗”.处理三元问题的第一思维就是代入消元法，将三元问题转化为二元问题来解决.这也渗透了转化与化归的数学思想方法，有利于发展学生的数学思维能力，但是在教学实践中要控制三元问题的难度，体艺生适当接触一下(不宜多)，不仅有利于开阔学生的视野，也有利于发展思维、提升信心，从而实现学习的“高目标”.

2.5 总结方法，建构体系(略)

2.6 布置作业，巩固提升(略)

3 教学反思

3.1 教学永远是一门遗憾的艺术

遗憾1本节课的教学中过分强调“间接法(配凑法)”，忽视了基本不等式“和积互化”的本质.在课后和学生的交流中发现学生的关注点仅仅停留在配凑法的技巧上，缺乏对基本不等式本质的深入思考.基本不等式的应用有三重境界：技、艺、道[1]，配凑法属于第一境界“技”，教师还需继续引导学生进入第二境界“道”：基本不等式的本质是“和积互化”.

遗憾2分层次推进的力度还不够.课堂上第一次让学生完成自选题，学生还不能适应这种崭新的教学环节.由于体艺生普遍缺乏学习数学的信心，对自身数学学习情况的认识不够客观，有的学生打算从第一题做到最后一题，这样也就失去了设置自选题的初衷.新的教学环节还是要坚持，只有将学生推向课堂的前台，才能最大限度地激活学生学习的动力.

遗憾3小组合作学习效率不高.由于小组合作学习就是以合作学习小组为基本形式，系统利用教学中动态因素之间的互动，促进学生的学习，以团体的成绩为评价标准，共同达成教学目标的教学活动.但是在实践中，由于小组成员之间的分工不明确，导致有的组员游离于小组合作学习之外.

3.2 例题设置合理

例题的设置体现了“低起点，小坡度，分层次，高目标”.由浅入深、层层推进的教学设计着眼于“学生的最近发展区”，实现了高效教学.具体来说：从例1的简单题出发，立足学生的实际，促进学生打好基础.例2是中档题，难度略有提升，学生踮起脚就能够得着.在成功的数学体验中，学生掌握了基本方法，并能累积进一步学好数学的信心.教师引导学生对例2中的5种方法进行总结，促进他们主动建构起方法体系.教学不仅仅是给予，而应该是主动建构.例3是一道难题，有了前面的铺垫，当初遥不可及的高度，在学生个体的充分思考下、在教师的引导下、在小组合作学习下，学生也能“跳一跳，够得着”，从而促进学生主动地学.

3.3 问题驱动下深度对话

“问题是数学的心脏”，基于“低起点，小坡度，分层次，高目标”的问题设计，学生积极思考，师生深度对话.问题既是学习的起点，又是课堂的主线，学习过程其实就是提出问题、解决问题、总结问题的过程.课堂教学，坚持教师主导与学生主体相结合，坚持学生独立思考与师生交流相结合，坚持教师“启发”与学生“尝试”相结合，从而有力地促进体艺生由“被动学”逐渐转变为“主动学”.只有学生“主动学”了，学习才是有意义的.正如建构主义学说对学习的认识：学习并非是一个被动接受的过程，而是一个主动建构的过程，也就是说，一个人的知识必须基于个人对经验的操作、交流，通过反省来主动建构.

3.4 设想

逐步建立起立体式、全方位的教学网络.打开学生多元学习的通道，既有个体学习，又有小组合作学习，同时充分利用网络资源，如QQ，微信等.建立起不同时段的学习方式：课前——学案引导、自主学习;课堂——教师主导、学生主体;课后——分层巩固、个别辅导.建立学生自评、小组互评、师长参与的综合评价体系.

“低起点，小坡度，分层次，高目标”的教学设计正体现了“以人为本”的教学理念，其终极目标是发展学生的数学核心素养.核心素养基于数学知识技能，又高于具体的数学知识技能[2].只有在不断深入研究基本不等式本质的过程中，才能真正发展数学核心素养.

[1] 钱建良，张海强.基本不等式应用的三重境界：技、艺、道[J].中学数学月刊，2016(3):34-36.

[2] 沈良.试论“知识·探究·思维”路径下学生核心素养的培养[J].数学通报，2017，56(10):18-22.