基于PCT 的弹丸膛内运动回波信号瞬时频率估计*

王 鉴 ，韩 焱 ，陈 平 ，王黎明 ，张丕状

（1.信息探测与处理山西省重点实验室，太原 030051；2.中北大学信息与通信工程学院，太原 030051））

0 引言

内弹道学是研究弹丸在膛内运动规律及其伴随射击现象的一门学科［1］。射击实验中，所经历的时间只有几毫秒到十几毫秒，由于膛内过程具有高温、高压、高速和瞬态的特点，给内弹道实验研究带来一定的困难。20世纪50年代和60年代，国内外的技术人员完成了微波干涉仪的研制，从而可以用实验方法间接测出弹丸在膛内的行程-时间曲线，为内弹道学的膛内运动规律研究提供一种必不可少的技术手段。随着科学技术的发展，微波、毫米波干涉仪［2-3］，激光干涉仪［4］等内弹道运动规律测试系统逐步完善与成熟，应用也越来越广［5-6］。在所有瞬时运动参数测量过程中，瞬时频率的估计精度决定了各参数的测量精度。微波干涉测量系统中瞬时频率估计的方法有多种，如极值法、短时傅立叶变换（STFT）、维格纳—威利变换（WVD）、S变换等。

极值法在时间上具有较高的分辨力，但是极易受到噪声的干扰使极值点的位置产生偏差，针对这一问题，研究者也提出了一些改进方法［7-8］，通过降低搜索的极值点位置产生的偏差来确保频率估计的精度，在一定程度上降低噪声，但当信号完全淹没在噪声中时，此方法频率的估计将无法保证；STFT是在时域信号上加窗函数进行傅立叶变换，是一种局部频谱分析方法，无法同时得到高的时域和频域测量精度，可以通过采用自适应改变窗口大小或者同其他方法联合弥补其不足［9-10］；WVD是信号时间自相关函数的傅立叶变换，具有良好的时间、频率分辨率和时频聚集性，但存在交叉项干扰，研究者也针对这个问题进行了抑制交叉项的研究［11-12］；文献［13］采用了改进的S变换来提高速度的测量精度。上述的方法各有其优缺点，使用者大多取其优点避其缺点。

在时频联合分析中，时频聚集性反映了能量集中在瞬时频率周围的情况。针对信号模型构造匹配的变换核，通过选择恰当的参数，可得到具有较好的时频聚集性且没有交叉项干扰的时频分布。弹丸膛内运动的回波信号是非线性的调频信号，可采用多项式相位信号模型对其数学描述，本文采用多项式调频小波（PCT）［14-15］构造匹配变换核来对弹丸膛内运动回波信号进行变换，通过对叠加噪声的模拟信号和实际实验信号的分析，得到较高的时频聚集性，在一定频率分辨率的基础上，保障了瞬时频率估计精度。本文还针对实验信号在同等条件下对比了PCT和WVD分析的效果，结果说明PCT时频分布的优越性。

1 多项式调频小波变换原理

1.1 基本原理

参数化时频方法需根据信号的模型，构造匹配的变换核。如果变换核和信号模型较吻合，则可取得较好的时频聚集性，时频能量聚集性与变换核的参数选择有关。弹丸在膛内运动是一个变加速的过程，运动回波信号的频率随时间做非线性变化，是典型的非线性调频信号。频率随时间变化可采用多项式拟合逼近，因此，可构造多项式调频小波变换核来获取较好时频聚集性。

多项式调频解析信号模型为

根据参数化时频方法［16］的基本思想，构造如下多项式变换核kp（t）

其中

是t0时刻附近时段内的多项式频率平移算子，t0起平移作用，gσ（t）是时宽为σ的高斯窗函数。

1.2 算法步骤

Step1：对信号进行STFT变换，从变换后的时频分布图中，获取脊线1；

Step2：对脊线1用最小二乘法进行多项式拟合，拟合得到的参数作为变换核的初始参数；

Step3：根据初始变换核参数对信号进行PCT变换，从变换后的时频分布中提取脊线2；

Step4：对脊线2用最小二乘法进行多项式拟合，拟合得到的参数替换变换核参数；

Step5：判断变换核参数是否最佳，如果最佳，结束程序；如果不是最佳，将变换核参数设置为初始变换核参数，返回Step3。

2 基于PCT的模拟回波信号瞬时频率估计

2.1 弹丸膛内运动的模拟回波信号

利用内弹道方程组［1］，假设微波干涉仪中心频率94 GHz，则模拟的弹丸膛内运动回波信号随时间变化的曲线如图1所示，是典型的非线性调频信号。

根据多普勒效应的基本原理，多普勒频率与运动径向速度成正比，为满足弹丸膛内运动速度的误差要求，频率估计的精度是首要保障。用一个关于时间t的N阶多项式去逼近弹丸膛内径向运动多普勒频率曲线，分别采用4、5、6、8阶多项式对模拟内弹道方程得到的多普勒频率关于时间的曲线进行拟合逼近，得出随着阶数的增加，拟合误差越来越小，计算量越来越大，当阶数为6阶能基本满足拟合精度要求，因此，在这里采用6阶多项式拟合逼近内弹道运动多普勒频率关于时间的曲线。如图2所示。

2.2 模拟回波信号的瞬时频率估计

在实际获取信号的过程中，信号会受到外界干扰和系统噪声的影响。因此，本文在采用PCT对模拟信号进行瞬时频率估计之前，在模拟回波信号上不同信噪比的噪声干扰信号来模拟更加真实的模拟实际弹丸运动回波信号。

图3为模拟理想回波信号分别叠加不同信号比噪声的PCT时频分布图，图中噪声采用均匀分布的高斯噪声。

从图 3（a）～（d）可以看出，采用 PCT 时频分析方法，在时频分布图上瞬时频率的时频聚集性很好，从图3（e）可以看出，PCT分析理想模拟回波信号、不同信噪比的回波信号都利用极大值就能够很好地提取脊线，瞬时频率估计结果基本一致，这说明PCT方法具有较强的抗均匀分布高斯噪声的能力。下页图4为模拟理想回波信号分别叠加不同信号比噪声的WVD时频分布图，图中噪声仍采用均匀分布的高斯噪声。

从图4中可以看出，WVD在分析单分量非线性频变信号也存在自交叉干扰，在利用极值提取脊线部分极值点在自交叉干扰时频特性曲线上，直接利用极值提取的脊线进行频率估计产生很大的误差。另外，在信噪比为-10 db情况下，信号原本的时频特征被淹没在噪声中，无法利用极值法提取脊线。

总的来说，PCT和WVD方法在一定噪声下都能取得很好的时频聚集性，但是WVD分析非线性调频信号中存在自交叉干扰项，必须消除自交叉干扰，否则利用极值法直接提取WVD时频分布的脊线进行频率估计会产生很大的误差。对于PCT方法，在SNR=-10 dB噪声干扰情况下所得的误差均值为0.008 0，误差方差为1.075 9，最大误差为2.928 6。总的来说，采用PCT来进行分析弹丸膛内运动模拟信号的瞬时频率估计是有效的。

3 基于PCT的实际弹丸信号瞬时频率估计

图5（a）为某次试验获取的实际回波信号，图5（b）为（a）的局部信号，可以明显看到弹丸有效回波信号上叠加了缓变信号，需要采用一定的预处理方法消

真实回波信号图5（a）经过预处理利用PCT、WVD 方法进行时频分析，得到如图 6（a）、（b）所示的时频分布图。

从图中可以看出PCT时频分布时频聚集性优于WVD。对PCT和WVD时频分布结果利用极大值进行脊线提取，瞬时频率估计结果如图7所示。

从图7（a）可以看出，由于信号自交叉干扰，WVD时频分布图用极大值法抽取的脊线除了信号本身还有干扰项的脊线，无法直接利用极大值的结果进行瞬时频率估计，必须消除干扰项的脊线。PCT时频分布结果用极大值提取脊线，在出炮口处由于气体泄漏等因素造成信号质量下降，部分极大值点偏离了信号本身的时频特征，剔除粗大点后实现的频率估计结果如图7（b），PCT在实际信号中也能较好地完成瞬时频率估计。

4 结论

根据参数化时频方法的基本原理，将多项式调频小波变换应用到弹丸膛内运动回波的瞬时频率估计。首先在模拟回波信号的基础上叠加不同信噪比的噪声干扰信号，分别利用WVD、PCT两种方法进行时频分布，可以看出PCT方法具有较强的抗噪声干扰能力。在频率窗口一致的条件下，即频率分辨率，频率估计精度一样的情况下，PCT能进行较好的瞬时频率估计，WVD由于自交叉干扰的问题使极大值提取的脊线有两条，必须先消除交叉干扰影响再进行瞬时频率估计。最后利用WVD、PCT对真实回波信号进行时频分析，完成瞬时频率的估计，发现在杂乱的炮口信号中，在特殊时段PCT仍能很好地完成瞬时频率估计，这一特殊时刻信号对精确预测炮口速度具有一定的贡献。但是PCT方法运算量大，算法需要进一步改进，提高效率。

在备案审查主体方面，要进一步畅通政府规章审查渠道，一是从备案审查机构着手，提升备案审查主体的独立性和权威性，从而提升备案审查工作的整体效能。二是赋予公民参与更大的权重，赋予审查建议和审查要求同等待遇，从而提高公众参与和提起审查建议的积极性，通过外力助推审查工作。三是探索扩大行政复议规范性文件审查范围，将政府规章逐步纳入行政复议受理范围。四是探索规章备案审查与司法机关监督的有效衔接，逐步完善法院有效参与的法律监督体制。

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