费恩斯列尔

2018-05-08 02:28李建潮
中学数学杂志(初中版) 2018年3期
关键词:恒等式恩斯余弦定理

众所周知,在三角形中有著名的外森比克(Weitzenbocksinequatily)不等式(以下简称“W不等式”):

在△ABC中,a,b,c为其三边长,Δ为其面积(本文下同),则

a2+b2+c2≥43Δ(1)

作为“W不等式”的出色加强当是著名的费恩斯列尔— 哈德维格尔(Finsler—Hadwiger)不等式(以下简称“F—H不等式”):

在△ABC中,有

a2+b2+c2≥43Δ+(b-c)2+(c-a)2+(a-b)2(2)

这一加强在初数研究中已流芳近一个世纪。趁寒假悠闲,激发起笔者对“F—H不等式”的一点新的欲望和期许……

1“W不等式”和“F—H不等式”的等价三角形不等式

在△ABC中,由余弦定理及面积公式,有

cotA=cosAsinA=2bccosA2bcsinA=b2+c2-a24Δ

等三式,及

tanA2=1-cosAsinA=2bc-2bccosA2bcsinA

=2bc-(b2+c2-a2)4Δ=a2-(b-c)24Δ

等三式.可见,(1)与(2)式分别等价于如下三角形不等式:

在△ABC中,有

cotA+cotB+cotC≥3(1′)

tanA2+tanB2+tanC2≥3(2′)

2一个相关三角形不等式“链”

联想起笔者曾在文[1]中所建的三角形不等式“链”(在△ABC中,有):

cotA+cotB+cotC

≥13(cotA2+cotB2+cotC2)

≥12(cscA+cscB+cscC)

≥tanA2+tanB2+tanC2

≥12(secA2+secB2+secC2)≥3.

不由得茅塞顿开,领略到了作为“W不等式”的著名加强“F—H不等式”的真谛——三角形不等式(2′)加强了三角形不等式(1′)的缘故. 伴随而至地,作为更精准的三角形不等式:

secA2+secB2+secC2≥23(3′)

是否蕴育着F—H不等式的加强?我们的希冀可就在这里呵!

3F—H不等式的推进

记△ABC的半周长a+b+c2=s(本文下同),则由三角形恒等式:sinA2=(s-b)(s-c)bc,

等三式及面积公式,可得

secA2=1cosA2=2bcsinA2bcsinA

=2b(s-c)·c(s-b)2Δ

=b(s-c)+c(s-b)-[b(s-c)-c(s-b)]22Δ

等三式,一并代入(3′),并注意到2s-(b+c)=a等三式,有43Δ≤b(s-c)+c(s-b)-[b(s-c)-c(s-b)]2+c(s-a)+a(s-c)-[c(s-a)-a(s-c)]2+a(s-b)+b(s-a)-[a(s-b)-b(s-a)]2=a[(s-b)+(s-c)]+b[(s-c)+(s-a)]+c[(s-a)+(s-b)]-[b(s-c)-c(s-b)]2-[c(s-a)-a(s-c)]2 -[a(s-b)-b(s-a)]2=a2+b2+c2-[b(s-c)-c(s-b)]2-[c(s-a)-a(s-c)]2-[a(s-b)-b(s-a)]2.

由此可获得:

定理1在△ABC中,有

a2+b2+c2≥43Δ+[b(s-c)-c(s-b)]2+[c(s-a)-a(s-c)]2+[a(s-b)-b(s-a)]2 (3)

利用代数恒等式(ac-bd)2=(a2-b2)(c2-d2)+(bc-ad)2,可得

[b(s-c)-c(s-b)]2=(b-c)[(s-c)-(s-b)]+[c(s-c)-b(s-b)]2

=(b-c)2+[b(s-b)-c(s-c)]2,

等三式.所以,定理1亦可写成以下形式:

推论在△ABC中,有

a2+b2+c2≥43Δ+(b-c)2+(c-a)2+(a-b)2+[b(s-b)-c(s-c)]2+[c(s-c)-a(s-a)]2+[a(s-a)-b(s-b)]2

由此可见,本文定理1是著名F—H不等式的推进,她与三角形不等式(3′)等价.

通过再深入地探研,笔者还得到了如下关于F—H不等式的又两个形式的推进:

定理2设△ABC的三边长为a,b,c,外接圆和内切圆的半径分别为R和r(以下相同),则

a2+b2+c2≥43Δ+(b-c)2+(c-a)2+(a-b)2+8(2-3)r(R-2r)(4)

定理3在△ABC中,有

a2+b2+c2≥4-2rRΔ+(b-c)2+(c-a)2+(a-b)2(5)

感興趣的读者不妨一展身手.

参考文献

[1]李建潮.一个优美的几何不等式[J].数学通报,2015(2).

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