核心素养下“说数学”运用于个别辅导的案例研究

【摘要】个别辅导是数学教学的常规工作.如何提高个别辅导的效果、促进学生数学素养的提高，很值得研究.论文在概述核心素养和数学核心素养的基础上，运用案例研究法对在个别辅导中实施“说数学”展开了探究，得出了结论：“说数学”能促进学生的数学素养水平的提高；“说数学”有助于学生的数学核心素养的达成；“说数学”有助于提高学生的核心素养.

【关键词】核心素养；说数学；个别辅导；案例.

1引言

“任何较为复杂的实践活动都不可能通过简单套用某一现成的理论就可获得成功；恰恰相反，由于对象与情境的多元性与复杂性，所有的实践不可能被完全纳入任何一个固定的理论框架”，“我们应更加重视‘实践性智慧”，“借助于案例进行思维”，“作为反思性实践者，应当高度重视案例（包括正例和反例）的分析与积累，并能通过案例的比较获得关于如何从事新的实践活动的重要启示”[1].个别辅导是数学教学的常规工作.如何提高个别辅导的效果、促进学生数学素养的提高，很值得研究.因此，本文选取案例研究法对数学个别辅导进行探究.

1.1“说数学”的界定

“说数学”是数学交流中的口头交流形式.“说数学”是指个体用口头表达自己对数学问题的具体认识、理解，解决数学问题的思路、思想和方法以及数学学习情感、体会等的数学学习活动，包括“说知识”、“说过程”、“说异见”和“说体会”等环节.它们分别是指口头表达具体的数学知识，个体解决某数学问题的过程，口头表达个体对数学问题解决的过程和结果的不同看法，个体探究某数学问题后的情感与体会[2].

1.2數学核心素养

“数学核心素养可界定为个体在数学学习实践活动中所形成的、在各种社会生活情境中积极运用数学知识和数学思维分析、解决各种问题，发挥数学应用价值，实现自身与社会持续发展的最基本、最具生长性的相关数学素养.这些素养涉及数学知识、能力、情感、态度、价值观等多个方面”[3].六个数学核心素养分别是数学交流、数学推理、运算能力、空间观念、数据处理能力、数学建模.“数学交流”是顶层的基础性目标，即学生通过数学学习过程，能够掌握基本的数学符号、语言，并能正确地选择和使用数学符号语言，通过口头、图表或是书面的方式表达自己的想法和观点，并在理解他人观点或是具体问题时能选择恰当的数学术语、符号、图表等工具进行表征，以及学会倾听来自不同文化背景下的数学思维方式，在理解的基础上对他人观点进行分析与评论，在主动构建论据与他人交流的同时逐步形成批判性思维[3].

2案例描述

我对为一个高三文科班的女学生L答疑的情景记忆犹新.我曾任教过女学生L的高一数学一年，对她的数学学习情况比较了解.那是高三第二学期的某一个下午的放学时间，女学生L拿着她的一份试题来办公室找我，要我给她讲一讲这道题（简称“习题1”）：

设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足sinA+sinB=（cosA+cosB）sinC.

（Ⅰ）求证：△ABC为直角三角形；

（Ⅱ）若a+b+c=1+2，求△ABC面积的最大值.

作为任教理科创新实验班的我，看了题目，马上就说：“这题目不难啊.”我拿起笔快速地在草稿纸上进行分析，然后充满自信地写下了解答，具体如下（简称“解法1”）：

解（Ⅰ）因为sinA+sinB=（cosA+cosB）sinC，

由正、余弦定理，得：

所以a+b=（b2+c2-a22bc+c2+a2-b22ca）·c=b2+c2-a22b+c2+a2-b22a，

所以b2-c2+a2b=c2-a2-b2a.

所以ab2-ac2+a3=bc2-ba2-b3.

所以ac2+bc2=ab2+a2b+a3+b3

=a（a2+b2）+b（a2+b2）

=（a+b）（a2+b2）.

所以（a+b）·（a2+b2）=（a+b）·c2

因为a+b>0， 所以a2+b2=c2.

所以△ABC为直角三角形，∠C=90°.

（Ⅱ）因为a+b+c=1+2，a2+b2=c2，

所以1+2=a+b+a2+b2≥2ab+2ab=（2+2）ab，

当且仅当a=b时，上式等号成立，

所以ab≤22. 故S△ABC=12ab≤12×222=14，即△ABC面积的最大值为14.

我解答完之后，主动对女学生L说：“见到sinA+sinB=（cosA+cosB）sinC，就要想到需用正弦定理或者余弦定理，由于等式两边都有sinA，sinB，sinC，故先用正弦定理，然后用余弦定理将cosA，cosB展开，那就将这式子全部转化为边长来表示了”.突然，女学生L问：“老师，没有其它方法了吗？”我说：“应该没有了！”她说：“老师，能不能将角进行转化呢？”我马上充满自信地说：“这个等式的两边都是正弦，肯定是用正弦定理的了.你觉得将角转化能做得出来吗？”此时，学生L在草稿纸上独立进行解答，我继续做我自己的事情.大约5分钟后，她将解答拿给我看，说：“老师，我做出来了，请帮我看看行不行？”她的解答如下（简称“解法2”）：

解因为sinA+sinB=（cosA+cosB）sinC，

所以sinA+sin（A+C）=（cosA+cosB）sinC=cosAsinC+cosBsinC.

所以sinA+sinAcosC+cosAsinC=cosAsinC+cosBsinC.

所以sinA+sinAcosC=cosBsinC.

所以sin（B+C）+sinAcosC=cosBsinC，

即sinBcosC+cosBsinC+sinAcosC=cosBsinC.

所以sinBcosC+sinAcosC=0，

即（sinB+sinA）cosC=0.

因为A，B∈（0，π），

所以sinB+sinA≠0.

所以cosC=0.

所以C=90°.

看到她的解答，我很吃惊，想不到将角进行转化真的能做出来.此时，我看完解法2后马上说：“真的可以哦！你很厉害啊！我刚才的想法是错误的！”凭我的工作经验，我觉得这是一个“说数学”的好机会，让这个两年前我任教过的学生“说数学”.我对学生L说：“你的解答很好！你能告诉我这道题考查什么知识吗？”（“说知识”）学生L看着解答说：“如果用你的做法来做第（1）小题，那就考查余弦定理、正弦定理，第（2）小题考查基本不等式，求三角形的面积的最值.”“对，很好！你现在看来，这道题的解答步骤是怎么样的？”我继续问.学生L看着解答，不是很顺畅地说：“我认为，第一步是，看到题目的条件之后，要选择到底要用正弦定理，还是用余弦定理；第二步是，将题目条件的sinA+sinB=（cosA+cosB）sinC化简；第三步是，想办法得到有一个内角是90°或者边长符合勾股定理.第（2）问呢？是求面积的最大值，肯定先要将面积表示出来，那就用S=12absinC=12acsinB=12bcsinA了.”接着我说：“说得很好的！不过我觉得思路上可以更加优化.我们审题时，要将题目条件和问题联系起来.就第（1）小题来说，我们应先看问题：证明△ABC为直角三角形.要證明一个三角形是直角三角形，其方法有两种：一是证明其中一个内角是直角，二是证明其边长符合勾股定理逆定理.这时候，再看题目条件适合我们选择哪一种方法.” 学生L满意地点头.我接着再问：“你自己在之前做这道题时，遇到了什么困难啊？”（“说体会”）学生L害羞地说：“我平时做三角解答题，在选择用正弦定理还是余弦定理上不熟练，有时也会计算出错.对于这道题的第（2）小问，我完全不知道如何入手，无法将S=12absinC和a+b+c=1+2联系起来，卡住了.”我追问学生L：“你现在对这习题的解题思路和具体解答清楚了吗？还有什么不懂的吗？” 学生L回答：“没有了.老师，我觉得我刚刚做的将角转化的解法好像有一个规律.我想说一说，你看对不对？”我马上赞许地回答：“好啊.你说吧”.她很高兴地说：“sinA+sinB=（cosA+cosB）sinC有三个角，我觉得就是要将其中一个消掉，我刚才是用A+C来代替B，后来也用到B+C来代替A.如果不是这样，真的可能做不出来.”我十分高兴地说：“太好了！你说得很对.在数学解题中，消元是十分常见的解题思路.以后要继续加油学习数学哦！”

3案例分析与讨论

“说数学”作为一种口头数学交流形式，在数学个别辅导中也可实施，对促进和提高学生的数学素养具有独特作用.

3.1“说数学”能促进学生的数学素养水平的提高

“促进学生科学核心素养的整合发展，是当前科学教育实践和科学教育研究的共同期待”，“真正的科学（包括数学）学习过程是复杂的，学生核心素养的发展是多个因素交互作用的结果，往往是在某一主题下融合多个关键能力的培养，某一关键能力的培养需要在多个主题下以不同的侧重点反复进行.”[4]

按照学生获得的先后顺序和难易程度，数学素养的表现水平可以由低到高分成3个层次：数学知识与技能、数学过程与方法、数学情感态度价值观.以数学素养提高为目的的数学教育，要求学生理解基本的数学概念和原理，具备一定的运算、抽象、推理能力，能运用数学解决问题，会用数学语言来表达和交流，形成良好的数学情感态度价值观[5].素质与素养密切相关.素质是指人的先天遗传特质和后天形成的能力，含有先天遗传特质的成分，而素养主要是靠后天的学习实践活动形成的，也就是说，素质中有些东西是不可教的，也不可学的，而素养是可以培养的[5].

在上述案例中，女学生L在做习题1时存在困难，来找我答疑.我在与她交流的过程中，抓住了“说数学”的契机，要她独立完成解法2，促使她强化了三角恒等变换的知识复习，加深对化归与转化思想的认识.通过我的多次提问（启发诱导），女学生L都给予了及时回答（“说”）.她的回答既有知识层面的，也有技能层面的，还有感想体会（情感态度与价值观）层面的.如此的“说”改变了传统的答疑就是“老师提供解答”的形式，是在师生互动交流之中完成了答疑，唤醒了学生对知识的记忆，实现了知识的巩固、转化、迁移以及应用，能促使学生对习题所考查的知识与技能有更深刻的认识，促进学生回顾解题的过程与运用到的方法，还有激发了学生的数学学习兴趣，增强学好数学的自信心.把“说”和“写”相结合，如此处理一道题的答疑，考验教师的教学智慧，不是枯燥的知识传授，而是通过教师的启发诱导，使得学生回顾解题过程与方法，形成良好的情感态度价值观，促进了女学生L的数学素养的提高.

因此，“说数学”不仅关注数学知识，还关注数学学习过程与方法以及情感态度与价值观，有助于提高学生的数学素养水平.

3.2“说数学”有助于学生的数学核心素养的达成

学生的数学推理、运算能力、空间观念、数据处理能力、数学建模等情况光靠书面解答能全面反映出来吗？不能！学生对数学本质的理解、对数学概念结构的把握、对数学学习的态度和信念、对数学精神与思想和方法的领悟、对数学思维的掌握与运用等并非仅仅通过纸笔测验可评价的.光看上述学生L的解法二，我们能看得出她的数学推理、运算能力水平，但无法了解她的数学学习态度、信念等.“说数学”属于出声思维方式，是“与他人互动”和“与自我互动”相结合的学习方式.老师通过学生L的“说数学”，在互动中能较好地了解到她的学习情感态度与信念.“说数学”是传统的纸笔测验评价的有效补充，通过口头方式表达自己的想法和观点，并在理解他人观点或是具体问题时能选择恰当的数学术语、符号、图表等工具进行表征，以及学会倾听来自他人（老师）数学思维方式，在理解的基础上对他人观点进行分析与评论（“说异见”），在主动构建论据与他人交流的同时逐步形成批判性思维，能有助于学生的数学核心素养的达成.

3.3“说数学”有助于提高学生的核心素养

核心素养主要是指一个人成功应对实际生活中某种活动或行为所需要的“胜任力或竞争力”，它是由完成该种活动或行为所需要的知识、技能、态度等多种素质要素构成的综合性素质或整体性素质[6].当今社会要求人具有较好的综合素质，其中交流能力特别重要.数学教学不仅是数学学科知识的传授，也需发挥积极的育人功能，为培养全面发展的现代人做出应有贡献.数学学习过程有时会因数学知识的抽象性、严谨性等特点而让学生感到枯燥乏味.其实，只要学生对自己的学习情况“敢于交流、懂得交流、善于交流”，那他们就会学得开心，学得有劲，信心百倍，增强数学学习兴趣.学生应该在数学学习中锻炼和提高综合素质，不仅是懂得解题.书面解题是数学学习的一种方式，但不是全部.“说数学”也是数学学习方式之一.素养是可以后天培养的[5].因此，数学教师应通过数学教学承担起培养和提高学生核心素养的责任.

在上述案例中，学生L在看了我的现场解答之后，在我的引导下“說数学”，反应很敏捷，口头表达顺畅且有条理，准确性高，思维活跃.这充分表明学生L对习题1在解法1的学习的基础上，有了较深刻的认识，能在很短的时间里想到解法2，这是不容易的.能在我面前流利地“说知识”、“说过程”、“说体会”，说明学生L在数学学习中“敢于交流、懂得交流、善于交流”，具有积极的数学学习情感.数学个别辅导（答疑）较多是“学生问，老师答”，老师给出的往往是书面解答，较少口头解释，极少关注学生的问题解决过程、体会等，至多就是老师谈谈自己是如何想到解题思路的，提提解题的注意事项.可是，个别辅导应该是师生个体之间交流互动的最佳时机.教师应该把握契机，提高学生的数学交流能力，培养学生的核心素养.这样，才能最大限度地发挥数学教学的育人功能.

4结束语

基于学生核心素养培养的新一轮课程改革正在拉开帷幕.如何通过数学教学，基于数学学科特点，提高学生的核心素养，值得深入研究.以上基于核心素养视角，采用案例研究法对“说数学”活动展开了探究.数学核心素养到底应如何界定、划分，有哪些培养策略目前学术界还在讨论.以上探讨仅是我在学习、整理了部分文献资料的基础上，结合高三数学复习实践所作的一些思考.从核心素养视角反思、探究数学教学实践，应是每一个数学教育工作者的义务与责任.面对核心素养培养的教育改革大背景，立足自身的教学实践，应做出怎样的努力，如何更好地迎接、实践和探究新一轮课程改革，值得全体数学教育工作者认真思考.总之，“说”是伴随学生终身的一种交流方式；“说数学”能很好锻炼和提高学生的核心素养.

参考文献

[1]郑毓信.课改背景下的数学教育研究[M].上海：上海教育出版社，2012，8：109-111.

[2]钟进均.基于语言学视角的“说数学”探究[J].数学通报，2013，52（3）：11.

[3]李星云.论小学数学核心素养的构建--基于PISA2012的视角[J].课程·教材·教法，2016（5）：72-78.

[4]郭玉英，姚建欣.基于核心素养学习进阶的科学教学设计[J].课程·教材·教法，2016（11）：64-70.

[5]何小亚.学生“数学素养”指标的理论分析[J].数学教育学报，2015，24（1）：13.

[6]林崇德.对未来基础教育的几点思考[J].课程·教材·教法，2016，36（3）：3.

作者简介钟进均（1977—），男，广东茂名人，数学中学高级教师，教育硕士，华南师范大学和广州大学校外研究生导师，广州市名教师，广州市中小学骨干教师，在省级以上刊物公开发表论文40多篇，其中7篇被人大复印资料全文转载，主要从事中学数学教学研究.