简析圆周运动线速度方向变化快慢的冲突矛盾

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(山东省聊城市第一中学)

同学们在学习圆周运动的时候，是否考虑过一个物体做圆周运动时，其速度(包括方向)改变快慢和圆周运动的半径r到底有没有关系呢？下面我开始论证这个问题。

加速度这个概念大家并不陌生。加速度的物理意义即是描述速度变化快慢的物理量。即一个做匀变速直线运动的物体的加速度越大，单位时间内速度变化量越大，又因为时间t相等，所以我们可以得出“一个做匀变速直线运动的物体的加速度a越大，速度变化的就越快。”于是我们根据这个结论引出了圆周运动中向心加速度的物理意义。

众所周知，牛顿第一定律上讲到：一切物体总保持匀速直线运动状态或静止状态，除非有力作用在这个物体上，迫使它改变这种状态。而做匀速圆周运动的物体，既然方向在时时刻刻的改变，那么一定有一个力在“拉”着它绕圆心转动。这个改变它速度方向(运动方向)的力就是向心力。

再根据牛顿第二定律F=ma，从而可以得到向心加速度。类比加速度的物理意义，我们可以得到向心加速度a的物理意义，即描述圆周运动中速度方向改变快慢的物理量。进而可以得到“一个做圆周运动的物体，它的向心加速度越大，速度改变的越快。”而向心加速度的表达式为a=ω2r由此可知，向心加速度的大小跟ω(角速度)或者说ω2(角速度的平方)和r两个变量有关系。

于是，我们可以得到“一个做圆周运动的物体，其速度改变的快慢跟角速度(或角速度平方)和它做圆周运动的这个圆的半径有关”这个结论。

那么接下来，我们从另一个角度去看。当一个物体做圆周运动时，其角速度越大，在单位时间内转过的角度就越大。因为角速度是描述物体转动快慢的物理量，即高中阶段圆周运动中和角度有关的唯一一个物理量，所以为了简化问题我们把它当作匀速圆周运动来考虑。

第一种情况：设一个做匀速圆周运动的物体a的角速ωa=5rad/s，ra=3m，ta=3s.经过计算我们很自然地就可以得Δθa=15rad。

设另一个做匀速圆周运动的物体b具有与物体a同样的角速度，且运动同样的时间，只不过物体b运动的半径rb=6m。经过计算可知，物体b的Δθb=15rad同物体a一样。即物体a和物体b虽然半径不同，但在相同的时间内由于角速度相同转过了相同的角度，所以两物体速度方向变化的快慢应是一样的。

第二种情况：设一个做匀速圆周运动的物体c的角速ωc=2rad/s，rc=5m，tc=10s，我们可以计算出物体c的Δθc=20rad。另一个做匀速圆周运动的物体d的ωd=4rad/s，rd=5m，td=10s，我们依然可以计算出其Δθd=40rad。很明显，物体d的运动半径与物体c的运动半径相等，但物体d的Δθd要大于物体c的Δθc，即在相同时间内物体d转过的角度要大于物体c转过的角度。

所以，我们可以很自然的得出在相同的时间内，物体d速度方向变化要快于物体c速度方向的变化。

经过上面两种情况的分析，当两物体的半径不等而角速度相同时，在相等的时间内两物体速度方向变化的快慢相同；当两物体的半径相等而角速度不等时，在相等的时间内角速度大的物体速度方向变化的快。即一个做圆周运动的物体，其速度方向改变的快慢与做圆周运动的半径无关，只与其做圆周运动的角速度有关。

这个结论是否与根据a=ω2r所得出的结论相矛盾呢？这便是我所论述的高中阶段物理学之圆周运动的速度变化快慢的冲突矛盾的问题。

然而，通过更深一步的探究，我发现加速度与向心加速度物理意义的类比过程并不准确。加速度的物理意义是“描述速度变化快慢的物理量”，但是教材中并没有给出向心加速度的具体物理意义。教材中仅说明“Fn产生指向圆心的加速度，就是向心加速度，它始终与速度方向垂直，其表现就是速度方向的改变”，所以导致了不少同学乃至老师的误解，认为向心加速度的物理意义就是描述圆周运动中线速度方向改变的快慢的物理量，进而导致了所谓的“矛盾”的出现。如图所示，我们以O为圆心，以OA长为半径做出一个圆，设其是某一质点圆周运动的轨迹。取质点在某一点A的线速度为va，方向为初始位置的方向，经过极短的时间Δt，此质点由A运动到了B，这时此质点的线速度为vb，线速度的方向发生了改变，设线速度方向偏转的角度为Δφ，A、B两点与圆心的连线夹角设为Δθ，由矢量的平移和几何知识可知，Δθ=Δφ。所以，线速度方向的变化率为：。由此可见，不管定性的分析还是定量的计算，我们都可以得出线速度方向改变的快慢只和角速度有关，其相对于时间的变化率用公式表达即ω，而并非向心加速度表达式an=ω2r。

经过以上分析可知，向心加速度的物理意义是“由于线速度的方向变化而引起的那部分速度变化量的变化快慢的物理量”，而不能就此把它定结为“描述线速度方向改变快慢的物理量”这一错误说法。

通过这段时间对圆周运动相关知识的深入了解和探究我懂得了在现代物理学尤其是高中阶段物理学中，所谓的“矛盾”和“迷之难题”是不可能出现的，而其本质就是对一些概念的模糊和错误的引申。所以，在今后的物理学习中，我应该加强对知识的探索与对问题的发现，然后进而通过查阅资料等方式进行解决。特别地，还应更加注意对物理概念的理解要准确，教材和资料上没有给出明确说明的不能乱引申。

最后，对指导和帮助过我的张西星老师、王春伟老师及不辞辛苦帮我一遍遍收集资料和信息的妈妈表示深深地感谢！谢谢他们无私的帮助和关怀！

参考文献：

[1]高中物理必修二第五章圆周运动.人民教育出版社， 2004.16-23.

[2]高中物理必修一第四章牛顿第一定.人民教育出版社， 2004.69.

[3]高中物理必修一第四章牛顿第二定律表达式.人民教育出版社， 2004.74-75.

[4]高中物理必修二第五章向心加速度表达.人民教育出版社， 2004.20-21.

[5]高中物理必修二第五章向心力.人民教育出版社， 2004.23-24.

[6]高中物理必修二第五章角速度的单位.人民教育出版社， 2004.17.