刚性弹体对素混凝土厚靶侵彻响应的LDPM数值模拟研究

冯 君， 李文彬， 徐 磊， 陈 宇， 陈 曦

(1. 南京理工大学 瞬态物理国家重点实验室，南京 210094； 2. 南京理工大学 机械工程学院，南京 210094； 3. 河海大学 水利水电学院，南京 210098； 4. 南京炮兵学院 侦测系，南京 211132)

随着钻地武器发展及防护结构评估需要，混凝土侵彻问题成为当前冲击工程领域研究热点问题。弹体对混凝土侵彻是一个伴随着靶体材料大变形、高应变率和高压的过程，涉及断裂、挤压、破碎等复杂响应[1]。采用空腔膨胀分析等理论方法获得控制方程组的求解非常复杂且侵彻过程的工程模型存在太多简化和假设[2-4]，因此基于理论的工程分析模型在研究复杂工况的侵彻问题存在局限性。近年来随着多尺度模拟等计算力学技术的发展,出现了越来越丰富的数值计算方法(SPH、RKPM、物质点法、近场动力学法等[5-6])，仿真技术成为研究混凝土侵彻问题的重要手段。研究表明，离散元法在模拟分析混凝土破坏失效等不连续问题中具有巨大优势[7-10]。

基于离散单元基本假设，Cusatis等[11-12]开发出了一种模拟水泥基体内部骨料相互作用的细观离散元模型(Lattice Discrete Particle Model，LDPM)。根据混凝土骨料级配信息在几何体内部随机生成骨料颗粒，并在其周围构建潜在裂纹微面以及细观本构关系。LDPM模型能够模拟混凝土材料断裂、多轴响应、尺寸效应等，并在模拟结构受到冲击与爆炸等动态载荷工况中获得较好结果[13-14]。对比有限元模型中采用删除单元来模拟侵彻、裂纹扩展等现象，离散元模型避免了单元删除带来的质量、能量不守恒。针对23 MPa强度素混凝土三轴压缩实验结果，本文标定了LDPM参数，通过模拟混凝土侵彻验证了模型适用性。并对弹头形状和弹体尺寸等因素对侵彻响应的影响进一步数值模拟研究。

1 LDPM简介

1.1 LDPM离散元基本假设

首先，根据Fuller级配曲线将骨料颗粒等效成不同直径的圆球随机投放在混凝土体内部。由于水泥基体材料以及骨料与基体交界面相比于骨料，其强度和刚度都要弱很多，LDPM假设混凝土裂纹都发生在基体和基体-骨料接触面，通过Delaunay技术等生成三角形潜在裂纹微面包络骨料颗粒圆球的LDPM单元[15]，如图1所示。

图1 LDPM单元及其内部骨料颗粒[15] Fig.1 LDPM element and aggregate particle[15]

采用刚体动力学描述细观模型系统的变形，将细观应变用潜在裂纹微面中心位置的位移[uc]来表示：

(1)

式中：l是相邻骨料间距，nT，lT和mT是定义潜在裂纹微面上局部坐标系的单位向量。在文献[16-17]中，Cusatis证明了式(1)的细观应变定义与连续介质力学中应变在多面体微面上投影分量一致。

1.2 LDPM本构关系

在弹性响应阶段，法向和切向细观应力与对应的细观应变呈线性关系：tN=ENeN；tM=ETeM；tL=ETeL， 其中EN=E0，ET=αE0,E0是等效法向弹性模量，α是切向-法向耦合系数。对于非线性响应阶段，LDPM主要考虑以下三个方面的细观力学响应：断裂、空隙坍塌和压实以及压剪耦合内摩擦。

法向压缩强度满足-σbc(eD,eV)≤tN≤0, 其中σbc是体应变相关的细观压缩边界条件，偏应变eD=eN-eV。弹性响应过后，由于基体内部孔隙坍塌，导致法向应力以较小的刚度Hc随着体应变增大而增大，σbc=σc0+〈-eV-ec0〉Hc(rDV)，其中：Hc(rDV)=Hc0/(1+κc2〈rDV-κc1〉)，σc0是细观压缩强度；rDV=eD/eV表示偏应变与体应变的比,κc1和κc2是材料参数。当-eV≥ec1时，密实硬化发生，σbc=σc1(rDV)exp[(-eV-ec1)Hc(rDV)/σc1(rDV) ]，其中σc1(rDV)=σc0(rDV)+(ec1-ec0)Hc(rDV)。

基于黏聚断裂理论[18]，LDPM中裂纹开裂速率相关的动态屈服准则为：

(2)

2 LDPM模拟23 MPa强度混凝土侵彻

2.1 23 MPa强度混凝土LDPM参数标定

Warren等[19]根据美国ASTM标准对111.0 mm高，50.3 mm直径的混凝土圆柱体进行三轴压缩实验，装置示意图如图2所示。仿真中通过增大试件表面压力，获得混凝土试件静水压力响应；而三轴压缩加载则分为两步，首先增大试件表面压力至所需的围压值并保持压力不变，再通过控制轴向位移进行轴向压缩。

图2 三轴压缩实验示意图[19] Fig.2 Triaxial compression test setup[19]

LDPM模拟混凝土材料需要其对应的配比信息来生成离散的骨料颗粒，根据文献[19]中给出的23 MPa混凝土配比信息，将1 m3单位体积混凝土中所含的各组分质量列在表1中。

表1 单位体积混凝土各组分质量Tab.1 Mixture weight of unit volume concrete

Cusatis等研究中LDPM参数取值，模拟混凝土圆柱体静水压力实验，标定参数如下：等效法向弹性模量E0=16 500 MPa，切向-法向耦合系数α=0.25，细观压缩强度σc0=42 MPa，初始硬化模量Hc0=0.45E0，渐

近转化应变比κc0=6。实验与标定结果仿真对比如图3所示。

通过三轴压缩仿真(如图4)，标定LDPM参数如下：渐近转化应力σN0=400 MPa，初始内摩擦因数μ0=0.4，渐近内摩擦因数μ∞=0，偏应变阈值比κc1=2，偏量损伤系数κc2=2。其余参数见Cusatis等的研究取值为：细观拉伸强度σt=2.7 MPa，细观剪切强度σs=2.0σt，拉伸特征长度lt=100 mm。

图3 静水压力实验仿真 Fig.3 Hydrostatic pressure test simulation

图4 三轴围压实验仿真 Fig.4 Triaxial compression test simulation

图5 不同围压混凝土三轴压缩仿真试件破坏形态 Fig.5 Numerical modelling of concrete damage mode under various confined pressures

图5给出了LDPM模拟0 MPa、50 MPa、100 MPa、200 MPa和400 MPa五种围压下，混凝土圆柱试件三轴压缩的裂纹分布及其破坏形态，五种工况下轴向应变εa分别为0.005、0.082、0.107、0.123和0.139。当围压为0时，无侧限单轴压缩载荷下圆柱试件破坏模式为劈裂破坏；随着侧向围压的增大，试件破坏模式变成剪切和粉碎破坏。

2.2 混凝土侵彻数值模型

针对23 MPa强度素混凝土厚靶，Forrestal等[20]进行了弹体发射速度在139～379 m/s之间的系列侵彻试验。试验中所用的尖卵形头部弹体直径为80.01 mm，CRH为3和6的两种弹体具体尺寸如图6所示。由于本文研究的侵彻试验后弹体头部几乎没有形状变化和质量损失，为了提高计算效率，本文选择刚性弹体进行下文侵彻仿真分析。

图6 弹体示意图[20] Fig.6 Diagram of projectiles[20]

弹体与混凝土之间接触设置为罚函数接触，其接触刚度为时间步长相关的函数，其具体表达式如下

(3)

式中：mmin是发生接触的颗粒或者单元中质量最小值，Δt是显示计算步中的时间步长。罚函数接触力Fn=Ksif·p，p是接触体相互侵入量。

2.3 LDPM模拟混凝土侵彻结果分析

文献[20]中8发混凝土侵彻试验及其LDPM仿真侵彻深度结果如表2所列，其中1-6号试验中采用CRH

为3的弹体，7号和8号试验采用CRH为6的弹体。LDPM模拟刚性弹体以139～379 m/s撞击速度侵彻23 MPa强度混凝土厚靶，仿真侵彻深度与试验值基本吻合，其误差在8.3%以内。而CRH为6的7号、8号侵彻试验的预测值与试验更加接近，误差分别为3.4%和3.2%。对比试验6和8，在相同弹体撞击速度情况下，仿真和试验均表明CRH为6的弹体侵彻深度值更大。

表2 混凝土厚靶侵彻深度仿真与实验对比Tab.2 Numerical and experimentalpenetrationdepth comparison

图7给出了不同侵彻工况下仿真和试验的弹体减速度随着时间变化的对比，LDPM仿真得到的弹体过载峰值、曲线变化趋势以及过载持续时间基本和试验曲线相符。LDPM模拟弹体以139 m/s撞击速度侵彻23 MPa强度混凝土，在0.1 ms、0.2 ms、0.3 ms和0.4 ms时刻弹靶作用情况如图8所示。结合图7(a)弹体过载曲线，在0.4 ms时刻，弹体基本完成侵彻，此时可以看出靶体迎弹面附近产生明显的开坑区域。

图7 弹体过载时程变化仿真与实验对比 Fig.7 Experimental and numerical comparison of projectile deceleration vs. time

图8 弹体以139 m/s撞击速度侵彻厚靶的裂纹变化过程仿真模拟 Fig.8 Concrete target cracksrevolutionsimulation during penetration by 139 m/s striking velocity projectile

3 侵彻阻应力LDPM模拟分析

结合前文标定的23 MPa强度混凝土参数，本节通过弹体恒定速度侵彻混凝土厚靶进一步探讨弹体形状和直径对于侵彻阻应力的影响规律。

3.1 CRH影响分析

选择CRH分别为3、4和6的60 mm直径刚性尖卵形头部弹体，分别以400 m/s、500 m/s、600 m/s、700 m/s和800 m/s恒定速度侵彻LDPM描述的混凝土厚靶。弹体在混凝土厚靶内部侵彻时，LDPM仿真得到弹体周围骨料颗粒的速度场如图9所示。其中左侧图显示：只有弹头附近混凝土骨料颗粒速度较大，且混凝土颗粒扰动区域与未扰动区域交接面呈现比弹头形状更加钝的锥形；而右侧放大图显示速度较大骨料集中在弹体头部几乎等厚度的一层区域。

从仿真结果提取弹体受力，图10(a)～图10(c)分别给出了CRH为3、4、6时，400 m/s、600 m/s、和800 m/s恒定速度侵彻受到的阻力随着侵彻行程的变化曲线。由于弹体与混凝土骨料隔离之间罚函数接触关系的设定，侵彻过程中弹体与随机分布骨料的接触通过判别关系不断更新，因此弹体受到阻力的行程曲线呈现很大的跳跃性。侵彻开始阶段，由于弹体头部没有完全进入靶体内部，侵彻阻力呈现上升阶段。等弹体头部完全进入靶体后，阻力趋于跳跃式稳定阶段。数值模拟表明：侵彻阻力随着弹体侵彻速度增大而增大，随着CRH的增大而减小；且CRH=6时，侵彻阻力跳跃性明显地降低，这是因为弹体头部更尖导致接触面积增大，弹体受力更加均匀。

图9 深侵彻靶体内部骨料颗粒速度分布 Fig.9 Velocity distribution of particles inside the concrete target

图10 不同弹头CRH弹体深侵彻阻力情况 Fig.10 Penetration velocity dependent resistive force for projectiles with different CRH

Forrestal等[20]认为弹体在稳定侵彻阶段侵彻阻力可以表示为

F=πa2(R+NρV2)

(4)

本文采用公式(4)中Forrestal侵彻阻力形式对LDPM仿真获得的侵彻阻力稳定阶段进行分析，对比不同弹头形状弹体以不同速度侵彻工况下，靶体静态阻应力R的变化情况。如图11所示，60 mm直径弹体侵彻混凝土厚靶分析发现，靶体静态阻应力R不随侵彻速度或尖卵形弹体头部形状变化而改变，这与空腔膨胀分析理论[22]相符。

图11 不同弹头CRH的60 mm直径弹体侵彻 靶体静态阻应力项 Fig.11 Target static resistancefor various CRHs with 60 mm projectile diameter

LDPM仿真得到的靶体内一部分侵彻隧道如图12所示，其左右分别为CRH为3和4的弹体侵彻混凝土厚靶在形成的裂纹分布。侵彻隧道直径基本与弹体直径一致，这与深侵彻实验观察到的现象一致。

图12 靶体内部侵彻隧道 Fig.12 Terminalballistic tunnel inside concrete target

3.2 弹径尺寸影响分析

类似地，结合式(4)分析稳定侵彻段阻力，得到靶体静态阻应力R变化规律如图15所示，靶体静态阻应力R明显地随着弹体直径增大而减小。根据侵彻试验中描述，本研究中混凝土靶体采用的骨料最大直径约为10 mm。弹体直径为最大骨料直径3倍、6倍和8倍时，LDPM仿真得到侵彻23 MPa强度混凝土的靶体静态阻应力值分别为260 MPa、175 MPa、163 MPa。其中80 mm直径弹体侵彻对应的靶体静态阻应力R与Forrestal论文中分析结果165 MPa非常接近。最近，刘志林等[7]通过二维离散单元模拟认为弹径为骨料最大直径10倍以上时，弹径尺寸效应几乎不变，这与本文得到的阻应力弹径尺寸效应规律趋势相接近。

图13 30 mm弹径恒定速度 侵彻阻力行程曲线 Fig.13 Perforation resistance curves for 30 mm diameter projectile

图14 80 mm弹径恒定速度 侵彻阻力行程曲线 Fig.14 Perforation resistance curves for 80 mm diameter projectile

图15 不同弹径时靶体静态阻应力 项与侵彻速度关系 Fig.15 Target static resistance vs. penetration velocity for different diameter projectile

4 结 论

基于LDPM细观离散元模型，本研究建立了刚性弹侵彻素混凝土厚靶的数值计算模型，验证了数值模型模拟混凝土侵彻问题的准确性。对不同工况混凝土侵彻仿真分析发现：

(1) 通过三轴压缩响应实验标定LDPM参数，LDPM能够较准确地预测侵彻23 MPa强度混凝土厚靶问题中侵彻深度以及弹体过载时程曲线，并能模拟得到靶前开坑区域。

(2) 在400～800 m/s撞击速度范围内，混凝土厚靶侵彻分析中靶体静态阻应力与弹体侵彻速度和尖卵形弹体头部形状均无关。弹体头部越尖，侵彻阻力越均匀。

(3) 弹体直径在8倍最大骨料直径范围内，靶体静态阻应力随着弹体直径的增大而减小。本文研究的混凝土厚靶受到弹体400～800 m/s速度范围内撞击，弹径为最大骨料直径3倍、6倍和8倍的弹体受到的靶体静态阻应力分别为260 MPa、175 MPa和163 MPa。

[ 1 ] 张雄, 廉艳平, 刘岩, 等. 物质点法[M]. 北京: 清华大学出版社, 2013.

[ 2 ] DURBAN D, MASRI R. Dynamic spherical cavity expansion in a pressure sensitive elastoplastic medium[J]. International Journal of Solids & Structures, 2004, 41(41): 5697-5716.

[ 3 ] 刘志林，孙巍巍，王晓鸣，等. 基于盖帽模型的混凝土动态球形空腔膨胀模型和侵彻阻力分析[J]. 兵工学报，2015, 36(12): 2209-2216.

LIU Zhilin, SUN Weiwei, WANG Xiaoming, et al. Spherical cavity-expansion model for concrete targets based on Cap model and penetration resistance analysis [J]. Acta Armamentarii, 2015, 36(12): 2209-2216.

[ 4 ] FENG J, LI W B, PAN G W, et al. Cavitation analysis of spherical shock wave evolution in concrete medium [J]. Acta Mechanica, 2017, 228: 401-414.

[ 5 ] KIRANE K, SU Y, BAŽANT Z P. Strain-rate-dependent microplane model for high-rate comminution of concrete under impact based on kinetic energy release theory [C]//Proc. R. Soc. A. The Royal Society, 2015, 471(2182): 20150535.

[ 6 ] 顾鑫, 章青, 黄丹. 基于近场动力学方法的混凝土板侵彻问题研究 [J]. 振动与冲击, 2016, 35(6): 52-58.

GU Xin, ZHANG Qing, HUANG Dan. Peridynamics used in solving penetration problem of concrete slabs [J]. Journal of Vibration and Shock, 2016, 35(6): 52-58.

[ 7 ] 刘志林，孙巍巍，王晓鸣. 基于颗粒流离散元模型的弹丸侵彻细观混凝土数值模拟方法研究[J]. 振动与冲击，2016，35(4): 162-169.

LIU Zhilin, SUN Weiwei, WANG Xiaoming. Numerical simulation for projectile penetrating meso-scale concrete based on particle flow discrete element model [J]. Journal of Vibration and Shock, 2016, 35(4): 162-169.

[ 8 ] SHIU W, DONZÉ F V, DAUDEVILLE L. Penetration prediction of missiles with different nose shapes by the discrete element numerical approach[J]. Computers & Structures, 2008, 86(21): 2079-2086.

[ 9 ] 陈俊, 黄晓明. 基于三维离散元法的沥青混合料断裂过程模拟[J]. 华南理工大学学报(自然科学版), 2012, 40(7): 21-26.

CHEN Jun, HUANG Xiaoming. Simulation of fracture process of asphalt mixture using three-dimension discrete element method[J]. Journal of South China University of Technology (Nature Science Edition), 2012, 40(7): 21-26.

[10] 杨利福, 常晓林, 周伟,等. 基于变形离散元法的重力坝地震开裂分析[J]. 振动与冲击, 2016, 35(7): 49-55.

YANG Lifu, CHANG Xiaolin, ZHOU Wei, et al. Seismic cracking analysis of a gravity dam based on deformable discrete element method[J]. Journal of Vibration and Shock, 2016, 35(7): 49-55.

[11] CUSATIS G, PELESSONE D, MENCARELLI A. Lattice discrete particle model (LDPM) for failure behavior of concrete. I: Theory [J]. Cement and Concrete Composites, 2011, 33(9): 881-890.

[12] CUSATIS G, MENCARELLI A, PELESSONE D, et al. Lattice discrete particle model (LDPM) for failure behavior of concrete. II: Calibration and validation [J]. Cement and Concrete Composites, 2011, 33(9): 891-905.

[13] SMITH J, CUSATIS G, PELESSONE D, et al. Discrete modeling of ultra-high-performance concrete with application to projectile penetration [J]. International Journal of Impact Engineering, 2014, 65: 13-32.

[14] FENG J, SUN W, LIU Z, et al. An armour-piercing projectile penetration in a double-layered target of ultra-high-performance fiber reinforced concrete and armour steel: Experimental and numerical analyses [J]. Materials & Design, 2016, 102: 131-141.

[15] WAN L, WENDNER R, LIANG B, et al. Analysis of the behavior of ultra high performance concrete at early age [J]. Cement and Concrete Composites, 2016, 74: 120-135.

[16] CUSATIS G, SCHAUFFERT E A. Discontinuous cell method (DCM) for cohesive fracture propagation [C]//Proceedings of the 7th International Conference on Fracture Mechanics of Concrete and Concrete Structures (FraMCos 7), Korea Concrete Institute, Jeju, South Korea, 2010: 23-28.

[17] REZAKHANI R, CUSATIS G. Asymptotic expansion homogenization of discrete fine-scale models with rotational degrees of freedom for the simulation of quasi-brittle materials [J]. Journal of the Mechanics and Physics of Solids, 2016, 88: 320-34.

[18] CUSATIS G. Strain-rate effects on concrete behavior [J]. International Journal of Impact Engineering, 2011, 38(4): 162-170.

[19] WARREN T L, FOSSUM A F, FREW D J. Penetration into low-strength (23 MPa) concrete: target characterization and simulations [J]. International Journal of Impact Engineering, 2004, 30(5): 477-503.

[20] FORRESTAL M J, FREW D J, HICKERSON J P, et al. Penetration of concrete targets with deceleration-time measurements [J]. International Journal of Impact Engineering, 2003, 28(5): 479-497.

[21] FREW D J, HANCHAK S J, GREEN M L, et al. Penetration of concrete targets with ogive-nose steel rods [J]. International Journal of Impact Engineering, 1998, 21(6): 489-497.

[22] FENG J, LI W, WANG X, et al. Dynamic spherical cavity expansion analysis of rate-dependent concrete material with scale effect [J]. International Journal of Impact Engineering, 2015, 84: 24-37.