考虑横向曲率的超弹性铰链纯弯曲非线性力学建模与实验

杨 慧, 王 岩, 刘荣强

(1. 安徽大学 电气工程与自动化学院，合肥 230601； 2. 中国电子科技集团38所，合肥 230088；3. 哈尔滨工业大学 机电学院机器人技术与系统国家实验室，哈尔滨 150080)

航天器如太阳能阵列、星载天线和固体反射器等在发射时受运载器承载能力和发射空间的限制。超弹性铰链是一类薄壁圆柱壳体结构，能够在材料5%弹性变形范围内实现180°大挠度弯曲变形，并依靠自身弹性变形存储的弹性势能实现自驱动展开，不需要添加其他移动部件。含超弹性铰链的可折展机构可通过超弹性铰链弯曲实现大角度折叠，在保证任务需求的精度和刚度下，实现轻量化、低能耗的目的，得到了越来越多的应用。日本火星探测器[1]、火星地下电离层探测先进雷达[2]、大型可折叠雷达天线[3]等都成功应用了超弹性铰链。相比常规机械式铰链，超弹性铰链集驱动、回转、锁定于一体，具有低质量刚度比、低能耗、价格低廉和易于制造的优点，逐步成为构成宇航机构的一个重要设计元素。

为了分析超弹性铰链的力学性能，通过解析法、数值法和试验已经进行了大量的研究。超弹性铰链纵向和横向曲率方向相同的弯曲过程，为正向弯曲；纵向和横向曲率方向相反的弯曲过程，为反向弯曲。仅考虑纵向弯曲和法向受力，Wuest[4]建立了无限长带簧在反向弯曲时的力矩模型。基于最小势能原理和冯卡门薄板大挠度理论，Masnsifield[5]推导了具有初始弯曲的带簧在大挠度扭转和弯曲状态下的广义表达式，仅在自重下测量了带簧发生扭转和突然弯曲时需要的弯曲力矩，但是由此得到的力矩-曲率曲线从峰值到稳态之间出现了震荡现象。Guinot等[6]对具有柔性薄壁横截面的结构提出了平面短梁模型，并将其应用到超弹性铰链的折叠过程。Picult等[7]将平面短梁模型延伸到三维运动，并利用该模型研究了细长超弹性铰链的三维运动。Calladine等[8]利用弹性壳体理论对无限长各向同性材料的带簧超弹性铰链进行非线性力学特性分析，建立了正向和反向弯曲折叠峰值力矩模型。Yee等[9]分析了复合材料超弹性铰链在弹性折叠范围内纵向和横向曲率关系。Soykasap[10]利用解析法和有限元法研究了硬化材料的超弹性铰链性能。Dewalque等[11]分析阻尼对超弹性铰链动力学展开性能的影响。Kim等[12]考虑不同展开性能和非线性性能，利用优化方法研究了含超弹性铰链的太阳帆的系统展开。Silver等[13]基于Donnel-Mushtari-viasove壳体理论分析了几何参数对展开强度的影响。Seffen等[14]利用理论和实验法研究了超弹性铰链动力学展开性能。Yao等[15]基于Mansifield理论模型提出设计理论模型，并研究了含有双缝的反对称复合材料超弹性铰链的动力学特性，但是以上研究均未搭建实验平台验证理论模型的准确性。

本文基于Calladine壳体理论和冯卡门薄板大挠度理论建立各项同性超弹性铰链纯弯曲状态下的理论模型，利用最小势能原理研究其非线性弯曲性能。该研究综合考虑了纵向拉伸、纵向弯曲和横向弯曲的影响。加工出12种不同尺寸镍钛合金超弹性铰链，搭建试验平台，分析不同样件在同向和反向准静态折叠时的峰值力矩，并通过试验验证理论模型。利用数值研究分析几何参数对峰值力矩的影响。

1 解析模型

1.1 基本方程

根据Mansfield理论，对于长/宽>5的壳体可以忽略末端效应，而长/宽<20的壳体具有较高的扭转刚度。图1为单带簧超弹性铰链圆柱坐标系和弯曲示意图，x轴沿圆柱壳轴线为纵向，y轴是圆柱壳横向，z轴沿圆柱壳法线方向(即厚度方向)，坐标系原点在中性面上。带簧的初始横截面中心角为α。初始横向曲率为ky, 0，总长为l，横截面厚度为t。带簧弯曲时，在弯曲中央沿纵向形成的圆弧曲率为纵向曲率kx。弯曲时横截面圆弧半径也会变化，相应的曲率称为横向曲率ky。

图1 单带簧超弹性铰链壳体坐标系 Fig.1 Coordinate system and geometry for the tape-spring.

图2 壳体微元受力示意图 Fig. 2 Stress resultants in a typical element shell

壳体微元受力示意图，如图2。由于沿y轴方向的两条边是自由边，fy=0和fxy=0，故fy和fxy忽略从而未在图2显示。根据Calladine壳体理论，求解壳体沿z向的力和绕x轴的力矩，得到如下平衡方程[16]:

(1)

(2)

(3)

(4)

式中：fx，fy和fz分别为沿x轴的单位长度面内薄膜内力；qy为沿y轴的面外剪切应力；mx和my分别为沿x轴和y轴单位长度力矩。

结合式(1)和式(2)消去qy，得到壳体平衡方程

(5)

1.2 本构方程

按照图1的坐标系，线性对称结构的本构方程[17]如下

(6)

(7)

式中：Aij为壳体拉伸刚度；Dij为壳体弯曲刚度阵；对于各项同性材料A16=A26=0，D16=D26=0；f=[fx,fy,fxy]T和m=[mx,my,mxy]T分别为圆柱壳中面单位长度薄膜内力、单位长度弯矩和扭矩；εx,εy, 和γxy为单位长度拉伸应变；Δkx,Δky和Δkxy为中性面沿x轴、y轴和xy面内曲率变化量。为了简化计算，假设扭转曲率和面内剪切应变为零，即Δkxy=γxy=0。

1.3 相容方程

该模型中，由于超弹性铰链沿y轴方向不受力，所以中性面沿y向的横向应变为零，即εy=0。但中性面纵向应变为

εx=kxwy+p

(8)

式中：kx为壳体纵向曲率；wy为壳体沿y向的法向形变，由于超弹性铰链的对称性，法向位移函数是偶函数；P为初始应变量。单带簧超弹性铰链沿y轴横向初始曲率为ky, 0=1/R，沿x轴纵向初始曲率为kx, 0=0，壳体变形时横向曲率为

(9)

式中：负号和正号分别为反向、正向弯曲。

1.4 控制方程及其解

把式(6)～式(7)、式(9)代入式(5)，控制方程wy为

(10)

为了求解控制方程，引入具有曲率量纲的参数μ

(11)

将式(11)代入式(10)得到简化后的控制方程如下

(12)

式(12)的广义解可以表示为双曲函数与三角函数之积的四项式，如下

wy=C1sinhμycosμy+C2coshμysinμy+C3sinhμysinμy+C4coshμycosμy

(13)

式中：Ci为待定常系数(i=1,2,3,4)，可以通过边界条件进行求解。

已知边界条件为

(14)

将式(2)，式(7)和式(9)代入式(14)得到

(15)

将式(13)代入式(15)沿y向的形变为

(16)

ky=±ξ(γ4coshμycosμy-γ3sinhμysinμy)

(17)

1.5 应变能建模

由壳体中性面拉伸应变产生的单位长度拉伸应变能Us为

(18)

由横向和纵向曲率变化引起的单位长度弯曲应变能Ub为

(19)

将式(6)和(7)代入式(18)和(19)，得到

(20a)

(20b)

将式(15)和式(16)代入式(20a)、(20b)，分别得到

(21)

(22)

超弹性铰链单位长度总应变势能U等于单位长度拉伸应变势能与弯曲应变势能之和，即

Utot=Us+Ub

(23)

将式(21)和式(22)代入式(23)，得到

(24)

超弹性铰链由于两端力矩作用而弯曲所产生的势能为

W=Mθ

(25)

式中：M为超弹性铰链两端的力矩；θ为超弹性铰链总的弯曲角度。

若超弹性铰链整个纵向发生均匀统一变形，如图3所示。末端旋转角θ为

θ=kxL

(26)

图3 壳体纵向弯曲均匀化变形示意图 Fig.3 The uniform longitudinal bending of shell

超弹性铰链弯曲总势能为

Π=UtotL-W

(27)

基于最小势能原理，得到

(28)

将式(25)～式(27)代入式(28)得到

(29)

该力矩表达式是超越函数，可以通过数值法进行求解，搭建实验装置验证理论模型的准确性。

2 参数研究

超弹性铰链材料是高弹性镍钛合金Ni36CrTiAl，通过对板材下料、多次拉伸、真空热处理、沉淀硬化成型、真空吸淬火炉热处理，固溶缩比使口径缩小、臂加长，利用模具保证管材内径，旋压保证外径，历经十几道工艺处理得到目标型号的镍钛合金管材。经过线切割加工出12种不同型号尺寸的带簧超弹性铰链。该镍钛合金密度ρ=8.0×103kg/m3，通过进行了拉伸试验[18-19]得到其弹性模量E=36.94 GPa，破松比ν=0.35，屈服应力σy=0.98 GPa。法向变形wy和折叠中心横向曲率ky沿无量纲坐标的变化曲线，如图4(a)和图4(b)所示。由图可知，单带簧超弹性铰链弯曲时横截面两端仍保持初始曲率，横截面中央很大区域接近于光滑平面，表明其横向曲率变化量较大将增加弹性弯曲应变能，从而影响弯曲力矩。

图4 反向弯曲时单带簧超弹性铰链横向曲率和形变 Fig. 4. Analytical predictions for a tape-spring under oppositebending with t=0.12 mm, R=18 mm, kx=0.05 mm, and α=80°

图5是带簧横截面弧长保持恒定为28.26 mm时，中心角和厚度对反向弯曲峰值力矩的影响。由图可知：①厚度从0.15 mm变化到0.25 mm时，反向峰值力矩增加约为417.14%；②中心角为60°～100°时，反向峰值力矩增加约为146.647%。

图6是中心角和半径对反向弯曲峰值力矩的影响曲线。由图6可知，当中心角为60°～100°时，反向弯曲峰值力矩增加范围为105.64% ～ 122.32%。

综合比较图5和图6可知，单带簧超弹性铰链反向和正向弯曲折叠峰值力矩均对厚度较为敏感，而且反向弯曲折叠峰值力矩约为正向弯曲折叠峰值力矩的2.42倍。

图5 厚度和中心角对反向弯曲峰值力矩的影响 Fig. 5 Effect of thickness and central angle on peak momentfor opposite bending.

图6 厚度和中心角对反向弯曲峰值力矩的影响 Fig.6 Effect of thickness and central angle on peak momentfor equal bending.

3 试 验

3.1 试验平台

为了进行准静态弯曲试验，加工出12种不同规格的镍钛合金超弹性铰链。图7为文献[20-21]中搭建的试验装置，该装置由固定端和移动端构成，其中固定端和移动端各装有1个电位计和1个扭转传感器。超弹性铰链的两端各自安装于固定端和移动端，可实现一端自由旋转，另一端既可以旋转又可以纵向移动。试验中以电位计测量铰链的弯曲角度，力矩传感器测量铰链弯曲力矩，计算机自动采集测试数据。手动调节超弹性铰链弯曲的角度，同时自动采集出超弹性铰链旋转角度θ和相应力矩值M。值得注意的是，试验过程中需要调节出超弹性铰链两端转角和力矩大致相等，以保证超弹性铰链对称弯曲，进而保证超弹性铰链横截面处于接近于零作用力的状态。

图7 超弹性铰链展开实验台 Fig.7 Test apparatus for tape-spring flexure hinge

为了便于统计，对每种规格带簧超弹性铰链进行编号，编号Txxxyy-zz由4个部分组成，字母“T”表示圆管，第二位～第四位数字“xxx”表示横截面半径R为xx.x(单位为mm)。第五、第六位数字“yy”表示横截面厚度t为0.yy(单位为mm)。第七、第八位数字“zz”表示横截面中心角β(单位为°)。如T17814-80表示横截面半径为17.8 mm，厚度为0.14 mm，横截面中心较为80°的超弹性铰链。

3.2 正向弯曲峰值力矩

为了评价理论模型计算的准确性，以偏差来描述理论值与实验值之间的误差，偏差、偏差标准差如下

(30)

(31)

表1为单带簧超弹性铰链正向弯曲的峰值力矩理论值与试验值对比。图8为单带簧超弹性铰链正向弯曲峰值力矩试验值与理论预测值对比曲线。

表1 正向弯曲峰值力矩理论值与试验值对比Tab.1 Comparison between experimental andtheoretical peak moment under equal bending.

图8 同向弯曲折叠峰值力矩理论值与实验值 Fig.8 Comparison between theoretical and experimental peak moment of equal bend

根据式(30)～式(31)可以计算出，采用本文提出的理论模型计算正向弯曲峰值力矩值与试验值相比，偏差范围在-7.49%～2.72%，偏差平均值为-4.24%，偏差标准差为3.12%。从图8可知，理论预测值偏离试验值很小，而且试验值略小于理论预测值。

3.3 反向弯曲峰值力矩

表2为12种规格单带簧超弹性铰链反向弯曲峰值力矩试验值与理论预测值对比。图9为单带簧超弹性铰链反向弯曲峰值力矩试验值与理论预测值对比曲线。根据式(30)～式(31)可以计算出，采用推导的理论公式计算出反向弯曲峰值力矩预测值与试验值对比，其偏差范围在-5.88%～3.49%，偏差平均值为-1.72%，偏差标准差为2.89%。

表2 反向弯曲稳态力矩理论值与试验值对比分析Tab.2 Comparison between experimental andtheoretical peak moment under opposite bending

图9 反向弯曲折叠峰值力矩理论值与试验值 Fig.9 Comparison between the theoretical and experimental peak moment under opposite bending

综合以上试验结果，发现与12种不同规格样件试验值与理论值对比，偏差范围在-8.51%～5.29%，偏差平均值范围为-4.24%～3.16%，偏差标准差范围为2.89%～7.51%，表明采用本文建立的单带簧超弹性铰链理论模型计算反向和同向弯曲峰值力矩都有很高的精度，试验值普遍低于理论值主要原因在于后者假设带簧弯曲时发生均匀统一的弯曲变形，而实际弯曲时只有折叠区域发生变形。

7 结 论

为了研究超弹性铰链弯曲过程中的突然翻转引起的峰值力矩，通过理论推导、试验验证，并进行了参数研究，得到如下结论：

(1) 基于Calladine壳体理论和冯卡门大挠度薄板理论建立了超弹性铰链的总应变能理论模型，利用最小势能原理推导出超弹性铰链同向和反向弯曲峰值力矩。

(2) 搭建试验平台，加工了12种不同规格镍钛合金超弹性铰链，分别测试了其同向和反向弯曲峰值力矩，通过试验验证了理论模型的准确性。理论和试验的相对误差绝对值不大于7.49%，标准均方差不大于3.12%。

(3) 对超弹性铰链进行了参数研究，表明峰值力矩对厚度比较敏感。厚度和中心角与峰值力矩具有正相关性，但横截面半径具有负相关性。必须指出的是超弹性铰链弯曲时在其横截面两端只有30%的区域产生较大形变，从而引起横向曲率变化，引入较大的弹性势能。

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