针对发动机羽流的相似准则研究

张明星，蔡国飙，王永海

（1.北京航天长征飞行器研究所，北京100076；2.北京航空航天大学宇航学院，北京100191）

1 引言

姿轨控发动机在高空工作时，其喷流自由膨胀形成羽流［1-2］。羽流的气动力、热效应会给航天器带来干扰力、力矩和热载荷等负面影响，轻则降低航天器的使用效率，重则使航天器无法正常工作，因此必须对发动机真空羽流进行深入研究。

真空羽流包含了连续流、过渡流和自由分子流，流动状态复杂，因此人们往往需要开展试验来研究发动机羽流。然而在很多情况下，限于经费、试验周期或设备能力等的制约，使用全尺寸模型开展试验是很困难的，甚至是无法实现的。此时就需要借助缩尺技术，利用缩尺技术“以小见大”的特点来解决这个问题。

缩尺技术的理论基础是相似准则，在过去几十年里，研究人员对发动机流场的相似性开展了大量研究，并提出了很多相似准则。早在1955年，S.S.Penner［3］针对液体火箭发动机燃烧室的缩尺技术进行了理论研究，提出以Re、Sc、Pr数等为相似准则，但为了满足这些无量纲参数研究忽略了Ma数。随后两年，航空航天研究与发展咨询组（AGARD）针对火箭发动机缩尺技术开展了大量的研究［4-7］，这些研究与S.S.Penner的研究方法类似，只是在某个物性参数的使用上进行了改进。 1957 年，S.S.Penner和 A.E.Fuhs［8］通过将液滴直径与Re数和We数建立关系，对以前的相似准则进行了简化。1963年，R.B.Lawhead等［9］提出模型发动机的燃烧室压强和推进剂喷注密度应与原型发动机相同，若要研究发动机的破坏声波模式，还应保证频率相同。随后针对发动机的相似研究中断了一段时间，直到2004年，C.E.Dexter等［10］对前人的工作进行了总结，综述了液体发动机的缩比技术。2006年，R.J.Kenny等［11］发现以前的缩尺技术没有关注喷注面板，喷注器的尺寸并不随模型尺寸变化，因此他用1∶2和1∶4的模型，研究了喷注面板尺寸对发动机缩尺技术的影响。 2008 年，J.R.Hulka［12］讨论了液体发动机的缩尺技术。2010年，汪小卫等［13-14］研究了气氢气氧发动机的相似准则，研究从控制方程和π定理两个角度出发，推出了适用于气氢气氧发动机的相似准则。

虽然已经有很多学者提出了相似准则，但这些相似准则尚有两个不足：一是只针对连续流或只针对稀薄流，没有一个针对全流域的研究；另一个是这些相似准则往往只能保证部分流场参数的相似，比如只是保证气动力的相似，而不能让所有流场参数相似。这两方面的原因限制了这些相似准则在羽流试验研究上的应用，需要提出一种新的相似准则来满足羽流研究的要求。

本文结合气体物理属性，从方程分析法和量纲分析法推导出一种适用于发动机羽流的相似准则，并通过理论分析和仿真试验对该相似准则进行验证。

2 相似准则理论推导

发动机羽流包含连续流、过渡流和自由分子流，其中连续流用Navier-Stokes（NS）方程来描述，过渡流和自由分子流用Boltzmann方程描述。由于流域描述方程不同，因此对羽流相似准则的推导将包含两部分，分别针对连续流域和稀薄流域。

一个完整的相似准则包括几何相似、运动相似、动力相似、热相似和边界条件相似。几何相似是指两个流场对应尺寸比都相同；运动相似是指流体速度和速度梯度比在相似位置处相同；动力相似是指两流场相似位置处力方面的比值相同；热相似是指温度和热流的相似。几何相似是容易实现的，因此这里主要关注其它三个相似要求。为了保证理论的正确，本文将采用方程分析法和无量纲分析法两种方式来开展相似理论的推导。

2.1 连续流域相似理论

2.1.1 方程分析

对于真空羽流，气体质量力一般不予考虑，因此不考虑质量力的无量纲Navier-Stokes方程可以写成式（1）：

式中：p是压强（单位：Pa）；t是时间 （单位：s）；cp是定压比热（单位：J／（kg·K））；K 是传热系数（单位：W／（m·k））；ρ是密度（单位：kg／m3）；μ是粘性系数（单位：Pa·s）；δij是 Kronecker张量。脚标∞表示来流，∗表示无量纲数。

根据动力学理论，粘性系数［15-16］可以写作式（2）［17］：

式中：μ0是温度T0时的粘性系数；ω是粘性温度指数。

根据 Chapman-Enskog 理论，有式（3）［17］：

式中：k是波尔兹曼常数（1.38 ×10－23J／k）；m是分子质量（单位：kg）。

当流体介质可以被看作理想气体时，即理想气体公式 p＝ρkT／m 成立时，将公式（2）和（3）代入（1）中，可以得到式（4）：

若假设两流场的cp值相同，当几何相似满足且流体介质相同时，NS方程中无量纲参数相同的条件是：

需要注意的是，上述推导过程中做了一个假设，即两个流场相似位置处的cp值相同，因此我们需要明确这个假设何时才能成立。

对于理想的多原子气体，cp是温度的函数，可用式（5）表示［17］：

式中：ξr是转动自由度，θvi是振动特征温度。

由于发动机喷流总温一般都较高，与振动特征温度相当，因此需要两流场相似位置处温度相同才能使cp值相同。

综上所述，若要两个气流场严格相似，除了几何相似和流体介质相同外，还需要满足以下条件：T1∞＝ T2∞， u1∞＝ u2∞且 L1ρ1∞＝ L2ρ2∞。

壁面边界条件应当满足以下条件以保证流场在近壁面区域的相似性：两个流场壁面带量纲参数的比值要与气体流场相应参数的比值相同，且两流场壁面无量纲参数相等。例如，壁面温度比（T1w／T2w）应当与流体来流温度比（T1∞／T2∞）相同，而壁面热适应系数应相同（α1＝α2）。

2.1.2 量纲分析

无量纲组合的提取分析已经在Buckingham定理（π定理［18］）中标准化了，本文将采用这个理论来推导相似准则。

热对流是极为复杂的物理过程，几乎所有的流场参数都会对其有影响，因此选择热对流作为研究目标。与热对流有关的参数包括：研究目标尺寸l、单位力f、特征长度L、气流速度u、气流压强p、气流密度ρ、气体温度T、气流粘性系数μ、气流比热 cp、热传导系数 K、壁面温度 Tw以及其它壁面条件。这里作者假设两个流场相似位置处的比热cp相同，同时其它壁面条件也都满足相似条件，那么气动热流的计算公式可写作式（6）：

q ＝G（l， f， L， u， ρ， p， T， μ， K， Tw） （6）

这些参数的基本单位包括：长度（m）、时间（s）、温度（K）和质量（kg）。 给定这些单位，本文选择特征长度L、来流速度u∞、来流温度T∞和来流密度ρ∞作为基本参数，可以得到8个无量纲参

公式（6）可写作式（7）：

从公式（7）可以看出，只要 π2，…π8相同，π1就是不变的。当不考虑质量力，满足以下条件可实现这个目标：1）几何相似；2）流体介质相同；3）相同的 T∞／u2∞和 Lρ∞／Tω－0.5∞；4）壁面温度比与流场温度比相同。考虑到发动机流场温度很高，则相似条件为： T1∞＝ T2∞，u1∞＝ u2∞且L1ρ1∞＝L2ρ2∞。可以看出这个结论与前面方程分析法得到的结论是一致的。

就热相关的问题而言，Normand［19］详细描述了与该复杂物理过程相关的参数，这里我们使用这些参数来验证相似准则的正确性。Normand认为对热传导有重要影响的无量纲参数是马赫数M、普朗特数Pr、雷诺数 Re、格拉晓夫数 Gr、瑞利数Ra、耗散数Di和努塞尔数Nu。当以上这些无量纲数相同时，两流场的气动热是相似的。现在我们检验前面推导的相似准则能否使这些无量纲数相同。

根据推导的相似准则，可得到以下方程：

对于自然对流，努塞尔数Nu是瑞利数Ra和普朗特数Pr的函数；而对于强迫对流，努塞尔数Nu是雷诺数Re和普朗特数Pr的函数。无论对哪一种对流，由于Ra、Re和Pr是相同的，两流场的Nu也自动满足相同。综上所述，基于π定理推导得到的相似准则是正确的。

2.2 稀薄流域相似理论

对于稀薄流的相似，沈青在《稀薄气体动力学》一书中介绍了双尺度律［17］，我们可以发现，双尺度律在本质上与连续流的相似要求是一致的，这说明只要上游的连续流相似，那么下游的稀薄流也是相似的。

3 相似准则仿真验证

以我国航天器上使用的某种3000 N发动机为例，其推进剂为一甲基肼／四氧化二氮（MMH／NTO），总压0.8 MPa，燃气温度为3040 K。选择缩尺比例为0.2，根据相似准则的要求，两个发动机的参数设计如表1所示。

表1 原型和缩比发动机的相关参数Table 1 Parameters of the prototype and the scaling engines

根据相似准则，两流场参数理论上应符合表2中的关系：

表2 两发动机流场参数的理论关系Table 2 Theoretical parameter ratios of two similar flow fields

发动机羽流在真空中自由膨胀时会有明显的膨胀波，但不一定有明显的压缩波。为了在流场中形成比较显著的压缩波，在距离发动机出口平面0.3 m的位置处放置一个圆盘，圆盘轴线与发动机轴线重合，如图1所示。缩尺流场的圆盘尺寸和离发动机距离相应调整为原流场的1／5。

发动机羽流包括了连续流和稀薄流，本文用CFD／DSMC弱耦合的方式对两个流域分别进行仿真，即先用CFD方法求解发动机内流场及出口附近流场，然后选取CFD计算结果的某一截面参数作为DSMC方法计算的入口参数，最后用DSMC方法求解稀薄流域。

图1 羽流场计算区域划分示意图Fig．1 Diagram of computation area division of flow field

3.1 连续流仿真

表3所示为燃气的热力计算结果，可以看出燃气主要由氮气、水蒸汽、一氧化碳、二氧化碳和氢气组成，这里将喷流视为冻结流，那么燃气的平均物性参数为：平均摩尔质量20.9 kg／mol、比热1759 J／（kg·K）、导热系数382 T0.75×e－6W／（m2·k）、粘性系数 0.256 T0.75× e－6Pa·s。壁面设为绝热、无滑移，湍流模型选择SST k－ω模型，通量格式使用Roe格式。由于燃气总压不高，计算中将气体视作理想气体。

表3 发动机燃气参数Table 3 Parameters of the engine plume

图2 流场云图对比Fig．2 Comparison of the two flow fields

流场最小网格的尺寸为0.002 mm，位于发动机喉部壁面附近；最大网格的尺寸为3 mm，位于自由边界处；圆盘挡板附近使用等比网格进行局部加密，网格最小尺寸为0.005 mm，在壁面附近。

将缩尺流场参数按表2所示的比例进行相应的缩放，并与原尺寸流场进行对比，流场云图对比如图2所示。从图中我们可以明显地看出，经过缩放后的缩尺流场计算结果与原流场结果高度一致：喷管内外主流区流场形态基本相同，边界层结构基本相同，膨胀波和压缩波的形态及位置基本相同。从云图对比结果来看，缩尺流场与原流场是相似的。

需要注意的是，在发动机燃烧室附近区域两流场的仿真结果有一定的差别（见图2c、d），但这并不能说明两流场不相似。因为实际上这个区域是回流区，已经属于稀薄流区，不适合用CFD方法求解，因此该处的计算结果不作为分析依据。回流区的计算我们将在下一小节中介绍。

为了进一步比较两流场各参数，作两流场的等高线图，如图3所示。从图中可以清晰地看出，在发动机内部及外部的连续流区，两流场的等高线完全重合，只有在回流区有一些差异。表明本文的相似准则在发动机连续流区是适用的。

图3 流场各参数对比图（连续流）Fig．3 Comparison of the contours （continuous flow field）

3.2 稀薄流仿真

在原流场中，以发动机出口边缘为起点，用与发动机轴线60°夹角的锥截取流场，作为DSMC的入口参数；缩比的计算区域划分与原流场相似，但对流场截面的参数进行了稍许改动，使入口参数严格满足相似关系。

使用北航自主研发的基于DSMC方法的羽流计算软件PWS［20-22］对稀薄流域进行仿真，在分子碰撞的模拟中选取了不计时间的方式，分子势能的计算中选取了可变硬球模型（VHS），壁面设为粗糙壁面，壁面反射模型为漫反射模型。计算中采用5种组分的气体，气体种类分别为N2、H2O、CO、CO2、H2，其比例见表 3。 流场网格尺寸均小于当地分子自由程的一半，时间步长小于分子平均碰撞时间的1／3，每个网格内粒子数不少于15。

将缩尺流场参数按表2所示的比例进行相应的缩放，并与原尺寸流场进行对比，流场对比如图4所示。可以看出两流场各参数是基本一致的，说明对于稀薄流区，本文的相似准则也是适用的。同时也证明了2.2中关于稀薄流相似推导的正确性。

4 结论

本文结合气体物理属性，从方程分析法和量纲分析法推导出了一种适用于发动机羽流的相似准则，相似条件为条件：T1∞＝ T2∞，u1∞＝ u2∞且L1ρ1∞＝ L2ρ2∞。 随后通过理论方法验证了相似准则的正确性，该准则能够使全流域流场参数满足相似关系。最后通过CFD／DSMC弱耦合的方法对所推导的相似准则开展仿真验证。仿真结果与理论预测完全一致，进一步验证了相似准则的正确性。本文的相似准则对于发动机羽流的试验研究具有一定的参考价值。

图4 稀薄流区各参数对比图Fig．4 Comparison of the contours （rarefied flow field）

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