向量在立体几何中的应用研究

摘要：我们最早在初中阶段就开始接触向量，向量成为一种新的教学方法融入了数学的学习过程中，同时向量也是现代数学的一个典型的特征。通过学习向量的有关知识，让我们能够在解决立体几何方面的问题更加的得心应手。在本文中，将就向量在立体几何中的应用进行分析与研究。

关键词：向量；立体几何；联系；应用

向量的引入能够让我们把立体几何中较为抽象与晦涩难懂的问题转变成较为容易理解的问题，成为了解决立体几何问题的强有力的工具。初中所学的向量仅是其中的入门知识，通过初中的学习能够为高中学习更深奥的向量知识，解决更难的立体几何问题奠定了一定的基础，而立体几何是高中数学范畴内的核心内容，向量此时充当了转换的媒介，只有学习好与向量有关的知识才能真正地学懂立体几何。将向量充分应用才能使问题变得简化，进而保证解题的步骤更加程序化，难度有所降低。

一、 向量与几何问题的关系

在高中数学教材正式引入向量后，复数在高中数学中的作用便被逐渐代替。这足以说明与复数相比，向量的应用更为广泛并且在高中数学中的作用更为重要。并且通過观察学生的学习成绩不难发现，向量的引入能够降低学生学习立体几何的难度，使学生的数学成绩呈现出提高的趋势。复数的弊端在于其仅能解决二维空间，即平面中的问题，而对解决空间立体几何的问题则存在较多的局限性。向量则不同，平面向量可用于解决平面几何问题，而空间向量则用于解决立体几何问题。不仅如此，向量的有关知识及观点不仅涉及数学这一学科，在物理学科及其分支学科都极具灵活性且应用广泛，因此其在数学应用中更加得心应手。一位在国际享有盛誉的教育家曾说对于学习最好的刺激就是学生对其学习材料有兴趣，单调的学习会导致学生大脑疲劳，进而降低学习的积极性。现在的数学教材中都含有向量为主的知识，用向量替代复数能够在教学过程中最大程度上激发学生的学习兴趣，学习过程中不至于感到过于枯燥，还能有效地降低学生学习空间立体几何的压力。

通常情况下将向量分成平面向量与空间向量，一般平面向量用于几何证明题中，比如证明线段的垂直、平行以及平面的平行、垂直、相切等问题。此外，向量也可用于与不等式有关的问题。而空间向量更多的用于求解点与线、线与线、平面与线、平面与平面的距离或者是其在相交后所产生的夹角、判断其位置等问题。例如证明两条直线平行，利用向量法的解题思路是在两条直线上各取两个点，将直线平行问题转化为向量平行的问题。而对于证明直线垂直的几何问题仅需要在两条直线上取向量并证明其数量积为零即可。对于求解二面角等难度较大的立体几何问题则需要借助法向量。

利用向量解决问题能够将问题简化，并在以后求解中逐渐形成自己的解题模式。把向量应用于立体几何中是真正做到了数学教学中一直所强调的数形结合，并且将其优势发挥的淋漓尽致。

二、 向量在立体几何中应用情况

向量在立体几何中的应用以向量与向量之间的运算为基础。首先，把立体几何中的各个元素之间的关系研究清楚，这样的好处在于能够让学生把问题简化的同时还能实现高效率的学习，让学生擅于将数形进行有机结合，使其数形结合的思维逐渐形成，最终把晦涩难懂的立体几何问题转变成代数问题，最终降低其难度。

不过，值得注意的是，向量法也具有一定的局限性，在立体几何的问题中仍旧存在着向量法所不适用的问题，而我们能做到的就是找出最适合的方法，简单来讲，就是我们不应拘泥于某一种特定的解题方法，而是应该擅于将向量与其他解题方法进行有机地结合去解决问题。比如，向量法局限性在于其计算量较大，因此，这就对学生计算的速度以及准确性提出了要求，并且这对计算能力不佳的学生无疑是一个挑战，一旦在计算过程中出现错误就将直接导致最后结果的错误。不仅如此，向量法有时在解决有一定难度的问题时具有一定的技巧性，而这就对学生的基础知识的扎实程度以及对问题的理解能力提出了较高的要求。

三、 如何用向量法解决立体几何问题

向量法求解立体几何有两种方法，分别是直接用向量计算以及通过建立直角坐标系。建立直角坐标系法解决立体几何问题分为四个步骤，首先建立恰当的平面直角坐标系，建立直角坐标系的原则是优先考虑经过同一个点并且相互垂直的三条线，或者是两两垂直的直线，并作第三条线保证其相互垂直。其次把解题过程中涉及的坐标一一列举，务必保证不能出错，否则将直接导致整道几何题全部错误。然后写出解题所需要的向量坐标，此外，应注意避免出现向量计算中容易犯的错，即弄混向量的坐标起点与终点。最后进行计算，此时应注意计算的准确性以及用对公式。

四、 结束语

总的来讲，向量在立体几何问题中的广泛应用让我们解决立体几何问题更为轻松，也不再被原有的解题模式所束缚，不再屈从过去先画图，再证明最后计算的“老路子”，真正的降低立体几何问题的解题难度，让学生不再苦恼于如何在立体几何中加入辅助线，而是将几何问题转变成数字问题，开创了解决立体几何问题的新局面。

参考文献：

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[2]杨卫.平面的法向量在空间线面位置关系中的应用[J].甘肃联合大学学报（自然科学版），2006（06）.

[3]孙邈，张惠英.五种版本教材中“空间向量的概念及其运算”的比较[J].中学数学教学参考，2015（31）.

作者简介：马彦彬，安徽省亳州市，安徽省涡阳第一中学。