2017年上海数学高考第12、20、21题的解答

摘要：2017年上海数学高考第一次不分文理试卷，虽然绝大多数题都不难，但也有几道难度极高的题，网上已能看到全部试题，不过网上公开的几道难题的解答均是错误的。现将第12、20、21题解答如下，以供同仁们参考指正。

关键词：2017上海数学高考12、20、21题；解答；函数

12. 如图，用35个单位正方形拼成一个矩形，点P1，P2，P3，P4以及四个标记为“▲”的点在正方形的顶点处，设集合Ω={P1，P2，P3，P4}，点P∈Ω，过P作直线lP，使得不在lP上的“▲”的点分布在lP的两侧。用D1（lP）和D2（lP）分别表示lP一侧和另一侧的“▲”的点到lP的距离之和。若过P的直线lP中有且只有一条满足D1（lP）=D2（lP），则Ω中所有这样的P为。

建立如图所示的平面直角坐标系，并如图标记四个“▲”的点分别为A1，A2，A3，A4。

显然P1（0，4），P2（3，2），P3（4，2），P4（6，5），A1（1，0），A2（0，3），A3（4，4），A4（7，1）。

为以下书写方便，记P（m，n），Ai=（xi，yi），i=1，2，3，4。

设过P的直线lP方程为：a（x-m）+b（y-n）=0（a，b不全为零）。

引入点A（x0，y0）到直线l：ax+by+c=0的有向距离：δA=ax0+by0+ca2+b2。

由有向距离的定义，在直线同侧的两点到该直线的有向距离同号，异侧的两点到该直线的有向距离异号，故题设中过P的直线lP满足D1（lP）=D2（lP），即意味着∑4i=1δAi=0，

即∑4i=1a（xi-m）+b（yi-n）a2+b2=0，亦即a（∑4i=1xi-4m）+b（∑4i=1yi-4n）=0。

将A1（1，0），A2（0，3），A3（4，4），A4（7，1）代入，得a（12-4m）+b（8-4n）=0（1）。

将P1（0，4）代入（1）得12a-8b=0，a∶b=2∶3，符合D1（lP）=D2（lP）的lP只能为

2x+3（y-4）=0，符合题意；

将P2（3，2）代入（1）得0×a-0×b=0，过P2（3，2）的任意一条直线都符合D1（lP）=D2（lP），不符合题意；

将P3（4，2）代入（1）得-4a+0×b=0，a=0，符合D1（lP）=D2（lP）的lP只能为y-2=0，符合题意；

将P4（6，5）代入（1）得-12a-12b=0，a=-b，符合D1（lP）=D2（lP）的lP只能为

（x-6）-（y-5）=0，符合题意。

综上所述，Ω中所有这样的P为P1，P3，P4。

20. 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆F：x24+y2=1，A为F的上顶点，P为F上异于上、下顶点的动点，M为x正半轴上的动点。

（3） 若|MA|=|MP|，直线AQ与F交于另一点C，且AQ=2AC，PQ=4PM，求直线AQ的方程。

易得A（0，1），设P（x0，y0）（x0≠0），M（m，0）（m>0），Q（xQ，yQ），C（xC，yC）。

由|MA|=|MP|，得m2+1=（m-x0）2+y20，

兩边平方，m2+1=m2-2mx0+x20+y20，化简得-2mx0+x20+y20-1=0（1）。

又由P为F上异于上、下顶点的动点，可知x204+y20=1（x0≠0），

即y20-1=-x204代入（1）式得-2mx0+x20-x204=0，

即-2mx0+3x204=0，又x0≠0得m=38x0，由m>0知x0>0。

因为PQ=4PM，即（xQ-x0，yQ-y0）=4（m-x0，-y0）得

xQ-x0=4（m-x0），

yQ-y0=-4y0，整理得

xQ=4m-3x0=-32x0<0，

yQ=-3y0（2）

由AQ=2AC得点C为AQ中点，xC=xQ2=-34x0，yC=yQ+12=-3y0+12。

因为点P，C都是椭圆上的点，故

x204+y20=1，

-34x024+-3y0+122=1，

即x20+4y20=4，

9x20+16（3y0-1）2=64，

36y20-16（3y0-1）2=36-64，整理得27y20-24y0-3=0，解得y0=-19（因为x0>0，故y0≠1），进而得x0=859，即C（-253，23），又A（0，1），故直线AQ的方程为y=510x+1。

21. 设定义在R上的函数f（x）满足：对于任意的x1，x2∈R，当x1

（3） 设f（x）恒大于零，g（x）是定义在R上的恒大于零的周期函数，M是g（x）的最大值。h（x）=f（x）g（x）。证明：“h（x）是周期函数”的充要条件是“f（x）是常值函数”。

证明充分性：略

必要性：设定义在R上的周期函数g（x）的一个正周期为Tg，h（x）的一个正周期为Th。

因为M是g（x）的最大值，故存在实数x0满足g（x0）=M。

记集合A={x|x=x0+kTg，k∈Z}，显然对任意的x∈A，均有g（x）=M。

下面采用反证法证明f（x）是常值函数：

假设f（x）不是常值函数，则存在实数x1≠x2，f（x1）≠f（x2）。

不妨假设x1

在集合A中取一个元素a，满足a>x2，显然g（a）=M，再取足够大的正整数n，使得

a-nTh

又h（a-nTh）=h（a），即f（a-nTh）g（a-nTh）=f（a）g（a），而f（x），g（x）都恒大于0，

所以g（a-nTh）>g（a）=M，这与M是g（x）的最大值矛盾，所以f（x）不是常值函数的假设不成立，f（x）是常值函数，必要性证毕。

作者简介：

俞红，上海市，上海中学。