双渗四重介质压力动态分析

姬安召，王玉风，崔建斌

(1.陇东学院能源工程学院，甘肃庆阳 745000；2.陇东学院数学与统计学院，甘肃庆阳 745000)

由于碳酸盐岩受沉积环境与成岩后生作用等不同程度的影响，储层的孔隙复杂，裂缝形态多样，形成多级别、多开度的裂缝与溶蚀缝，该特征导致碳酸盐岩岩性油气藏的渗流规律具有复杂性[1，2]。目前，许多学者对缝洞型碳酸盐岩储层的渗流规律进行了研究。贾永禄等[3]建立了基岩、溶蚀孔洞、微裂缝和大裂缝的四孔单渗模型，并采用Laplace变换和Stehfest数值反演方法进行了求解，但只考虑了微裂缝、基岩和溶蚀孔洞向大裂缝窜流，井筒供液只有大裂缝提供，没有考虑介质间流体的流动。程时清、顾岱鸿、张利军、常学军等[4-7]建立了基岩、溶洞和裂缝三重介质的数学模型，并用Laplace变换等数学方法进行了模型的求解，通过数值反演的方法绘制了三重介质试井曲线，并对曲线的特征进行了分析。赵玉龙等[8]对三重介质油藏非牛顿流体的幂律流规律做了研究。任俊杰等[9]研究斜井三重介质井底压力动态特征，当井斜角大于60°时，早起垂向径向流的压力导数曲线为一条水平线，井斜角小于60°时，与直井的压力动态特征一致。杨坚等[10]对斜井三重介质油藏的单井压力动态特征进行了研究，分别考虑了无限大边界，封闭边界和定压边界的情况。张冬丽等[11-13]研究了缝洞型碳酸盐岩油藏油水两相渗流三重介质的数值试井方法。总结前人研究成果，本文主要针对大裂缝、微裂缝和溶蚀孔洞发育的复杂储层碳酸盐岩油藏，建立以大裂缝和微裂缝向井筒供液的双渗四重介质数学模型，并对采用Laplace变换及含有特征参数的微分方程通解分析的方法进行模型求解，然后采用Stehfest数值反演进行典型曲线的绘制，并对影响典型曲线特征的因素进行分析。

1 四孔双渗物理模型

储层由溶蚀孔洞、大裂缝、微裂缝和基岩组成，储层中的大裂缝和微裂缝为流体的流动提供了渗流通道，溶蚀孔洞和基岩提供了主要的储存空间。该模型描述了大裂缝和微裂缝共同向井筒供液，溶蚀孔洞和微裂缝的流体向大裂缝发生窜流，同时基岩的流体也向溶蚀孔洞发生窜流，具体物理模型(见图1)。

为了简化大裂缝、微裂缝、溶蚀孔洞和基岩渗流的数学模型，基本假设为：油井以定产量生产；储层流体和储层岩石微可压缩，并且为单相流体；储层流体在这四种介质中的流动符合达西渗流规律；考虑井筒储集效应和表皮效应的影响；忽略重力和毛管力的影响；地层的启动压力很小，忽略不计；每一种介质的渗透率、孔隙度和压缩系数相互独立；流体只通过大裂缝和微裂缝流向井筒，溶蚀孔洞和基岩作源。

图1 四孔双渗模型示意图

2 四孔双渗数学模型建立与求解

2.1 模型的无因次渗流微分方程

基于以上物理模型，根据储层流体的运动方程、质量守恒方程和状态方程，建立法定单位下的无因次大裂缝、微裂缝、溶蚀孔洞与基岩连通情况下的渗流数学模型。

无因次大裂缝渗流微分方程：

无因次微裂缝渗流微分方程：

无因次溶蚀孔洞渗流微分方程：

无因次基岩渗流微分方程：

为了简化模型的求解，无因次参数定义如下：无因次半径的定义：

无因次时间的定义：

无因次压力的定义：

式中：下标 j=F，f，v，m；F-大裂缝；f-微裂缝；v-溶蚀孔洞；m-基岩。

无因次井储系数的定义：

不同介质的弹性储容比的定义：

不同介质之间的窜流系数：

式中：下标 k=fF，vF，vf，mv；分别表示微裂缝向大裂缝窜流、溶蚀孔洞向大裂缝窜流、溶蚀孔洞向微裂缝窜流和基岩向溶蚀孔洞窜流，其对应的下标i=f，v，v，m。

渗透率比值的定义：

式中：r-井距储层中任意位置的距离，m；kj-四种介质的渗透率，μm2；μ-储层流体的黏度，mPa·s；pj-四种介质储层流体的压力，MPa；αk-形状系数，m-2；φj-四种介质的孔隙度，无量纲；Ctj-四种介质的综合压缩系数，MPa-1；t-时间，h。

无因次初始条件为：

无因次井底定产条件为：

无因次表皮效应的内边界条件为：

无因次无限大外边界条件为：

无因次封闭外边界条件为：

无因次定压外边界条件为：

式中：rDe-无因次外边界半径。

为了求解(1)～(11)式定解微分方程，对(1)～(11)式的无因次时间tD变量进行Laplace变换，在Laplace空间的变量用z表示，压力用p¯表示。

2.2 微分方程特征参数求解

对溶蚀孔洞和基岩渗流微分方程(3)和(4)式进行Laplace变换，同时考虑(5)式的初始条件，经过Laplace变换可化简为代数方程，在代数方程中，用大裂缝和微裂缝的Laplace空间无因次压力分别表示基岩和溶蚀孔洞的压力。将这两个方程代入大裂缝和微裂缝Laplace空间的渗流微分方程中，通过整理可得：

根据文献[8]，在无限大外边界的条件下方程(12)和(13)式的通解为：

式中：K0(σrD)-修正的零5第二类Bessel函数；σ-特征参数；A2、B2-满足内边界的待求参数。

将(14)和(15)式分别代入到(12)和(13)式，可得到关于A2和B2的线性方程组。由实际问题可知，A2和B2是存在的，则齐次线性方程组的系数矩阵的行列式的值为0。通过整理可得关于特征参数σ的方程为：

通过(16)式可知特征参数σ有两个实数解σ1和σ2，根据线性微分方程解的叠加原理，这两个特征参数共同构成了微分方程的解，则微分方程的通解(14)和(15)式又可表示为：

式中：A1、B1、A2和B2为满足内边界的待求参数。

将(17)和(18)式代入到(12)和(13)式，结合修正Bessel函数 K0(x)的导数，可得关于 A1、B1、A2和 B2四个未知参数的两个方程组。这两个方程组中含有修正Bessel函数 K0(σ1rD)和 K0(σ2rD)，由于 σ1和 σ2是互异的，则K0(σ1rD)与K0(σ2rD)是线性无关的，要是方程组有解，则K0(σ1rD)与K0(σ2rD)的系数之和必须为0，通过整理可得 A1、B1、A2和 B2四个未知参数关系[14]。则Laplace空间微裂缝渗流微分方程的通解为：

2.3 无限大地层模型的解

根据(17)和(19)式可知，要得出微分方程的特解，则需要两个条件即可。对于无限大地层而言，外边界条件在方程通解给出的过程中已经使用，现在将(17)和(19)式代入到内边界定产条件(6)式和表皮效应条件(7)和(8)式，通过整理可得：

式中：

通过(20)式的求解，可得满足内边界条件的参数A1和A2。根据获得Laplace空间的解析解，采用Stehfest数值反演方法可得实空间的井底压力。

2.4 封闭边界与定压边界模型的解

对于封闭边界和定压边界求解过程与上述思路相同，只是受边界条件的影响，方程的通解形式不同。限于篇幅有限，这里只给出本文求解的结果。

井底压力的表达式为：

式中：特征参数σ1和σ2由(16)式确定，方程系数A1、A2、A3和 A4由下列方程组确定：

对于封闭边界而言，其系数为：

对于定压边界而言，只有系数a11、a12、a13和a14不同，其他同封闭边界：

3 压力动态分析

3.1 流动5段的划分

双渗四重介质油藏试井曲线划分为5个5段(见图2)：AB段是早期的井储5段，曲线的特征为45°线，井储结束后，井底压力导数曲线出现峰值，之后向下倾斜，这个特征是表皮效应的响应特征；BE段出现了3个“凹子”是流体在介质间窜流的结果，BC段是微裂缝和溶蚀孔洞向大裂缝的窜流5段，CD段是溶蚀孔洞向微裂缝的窜流5段，DE段是基岩向溶蚀孔洞的窜流5段；EF段是边界的响应特征，对于井底压力导数曲线而言，在无限大边界中表现为水平的0.5线，在封闭边界中表现为上倾的45°线，在定压边界中导数曲线下降很快。图2中的无因次井储系数CD为1.0，表皮系数S为5.0，渗透率比κ为0.95，基岩弹性储容比ωm为0.7，溶蚀孔洞弹性储容比ωv为0.2，微裂缝弹性储容比ωf为0.08，大裂缝弹性储容比ωF为2×10-3，微裂缝向大裂缝窜流系数λfF为1×10-4，溶蚀孔洞向大裂缝窜流系数λvF为1×10-6，溶蚀孔洞向微裂缝窜流系数λvf为8×10-7，基岩向溶蚀孔洞窜流系数 λmv为 1×10-8，封闭边界和定压边界的无因次半径rDe为2×10-4。

图2 不同边界井底压力与压力导数曲线

3.2 弹性储容比(ω)

图3 弹性储容比对压力导数曲线形态的影响

图4 窜流系数对压力导数曲线形态的影响

弹性储容比是用来描述大裂缝、微裂缝、溶蚀孔洞和基岩的弹性储容能力相对大小的物理量。弹性储容比主要影响试井曲线“凹子”的深度和宽度。当大裂缝弹性储容比ωF逐渐增大时(见图3)，第1个“凹子”就逐渐变浅且变窄，同时对第2个“凹子”也变浅且变窄，但影响较小，对第3个“凹子”基本没有影响。图3中的参数取值与图2中参数取值一致。

图5 渗透率比对压力导数曲线形态的影响

3.3 窜流系数(λ)

在双渗四重介质油藏中，大裂缝、微裂缝、溶蚀孔洞与基岩之间存在着流体交换，窜流系数就是用来描述四种介质间流体交换的物理量，它反映介质间窜流的能力。窜流系数的大小决定压力导数曲线的过渡段“凹子”出现的时间，同时窜流系数也能影响到“凹子”的深度及宽度。当微裂缝向大裂缝窜流系数逐渐减小时，“凹子”出现的时间越晚，并且“凹子”越宽越深(见图4)。图4中的溶蚀孔洞向大裂缝窜流系数λvF为1×10-6，当微裂缝向大裂缝窜流系数与λvF相等时，这表明微裂缝与溶蚀孔洞向大裂缝窜流的能力是一样的，压力导数曲线表现出三种介质的性质，即在图4中出现了两个“凹子”。

3.4 渗透率比(κ)

渗透率比主要影响压力导数曲线的第1个“凹子”的深度(见图5)，渗透率比与大裂缝弹性储容比都是决定第1个“凹子”的深度，但渗透率比越大，第1个“凹子”越深。若渗透率比等于0.5，表明大裂缝和微裂缝的渗流能力是一致的，二者可以看作是一种介质，这时就可以简化为三重介质，则压力导数曲线由原来的三个“凹子”变为两个“凹子”。

4 结论

(1)对含有特征参数的渗流微分方程通解与微分方程的构成条件进行分析，求解出双渗四重介质模型的解析解。

(2)双渗四重介质试井中压力导数曲线出现了三个“凹子”，这对双渗四重介质油藏试井分析的研究与应用具有一定的借鉴意义。

(3)压力导数曲线上“凹子”的数量与大小主要由介质间窜流系数，介质的弹性储容比以及渗透率比共同来决定，这些参数的取值对压力导数曲线形态的影响较为敏感，只有当各个参数选取都十分恰当时，才能表现出每个5段的渗流特征。

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