水火箭的理论探讨

冯冠楠

摘 要：水火箭是学生学习物理知识与实践相结合的很好的活动，通过水火箭的制作，学生能理解抛体运动，学习理解并解释牛顿第一、第二及第三定律在水火箭上的应用。让学生体验实验探究，试验并发现发射中的问题，并找出解决的办法。

关键词：理论分析；实验探究；试验发射；思维活动

目前，在很多中学，学校的物理课在讲到抛体运动时，都会结合一些物理课中的抛体知识、物理理论来进行一些课外的实践及实验活动，以活跃学生的学习兴趣。水火箭就是一个很好的活动例子，但是，在很多的实践活动中，学生在操作过程中总是要涉及一些理论问题，具体的活动要领以及技术问题，比如：能达到多大发射速度或多大高度，应当用多大的体积的可乐瓶，在瓶内要装多少水，要加多大的气压，等等，这些在理论上的讲述及理解并不是很透彻，以至于在实践活动中，有时老师也不能很好地给予理想的解答，因此不得以就用实验的方法进行测，如果能有一定理论知识作为指导，那教师在指导学生的活动中，也可以心中有数，做到有的放矢。

水火箭除了抛体的知识外，还涉及动量定理、动量守恒定律，及理想氣体定律（玻-玛定律）等等知识。

首先说明，水火箭在发射过程中，是一个变质量的物体的运动，在水不断向后喷出的过程中，总的质量是在不断减少的，所以要进行一些变质量物体运动的分析。由于水是连续喷出的，从而水火箭的质量也是连续变化的（连续减少）。理想状态是当水刚喷完，水火箭达到最大速度，此后水火箭靠惯性继续飞行。

下面就水火箭的运动做一些理论及实践上的分析。

一、首先讨论一下一般情况下的变质量物体的一般运动规律

设在某一时刻，物体的质量为m，它相对于地面的速度■，另一质量dm的物体以速度■运动，经过dt时间后，m与dm合并成和体后，以共同的速度■+d■运动，作用在m和dm组成的系统上的外力的矢量和为■。

这样，主体m与微小物体dm组成了质点系。

变质量物体的运动微分方程

设：（1）t时刻，主体质量为m，相对于某惯性系的绝对速度是■，微小物体的质量为dm，相对于同一惯性系的绝对速度为■。

（2）在dt时间内主体与微小物体完成合并。

（3）在dt时间内，m与dm合并，作用在m与dm上的外力矢量和为■。

（4）在t+dt时刻，主体的质量变为m+dm，相对于同一惯性系的速度为■+d■。

根据质点组动量定理，

m与dm作用前（合并前）的总动量：■=m■+■dm

m与dm在dt时间内完成合并，合并前后如图所示。

合并后的总动量：■=（m+dm）（ ■+d■）

■

根据质点组的动量定理：■-■=■dt，

即：（m+dm）+（■+d■）-（m■+■dm）=■dt

将该式展开并略去二阶无穷小量dmdv，得：

md■+（■-■）dm=■dt （1）

或：m■=■-（■-■）■ （2）

（1）（2）是变质量物体的运动方程，两式均称为密舍尔斯基方程，是解决变质量物体运动的重要动力学方程。

以上两式虽从和体质量增加而导出，但是同样适用于主体不断减小的情况：

当■<0时，主体质量减小；当■>0时，主体质量增加。

方程（2）可视为主体运动微分方程。

其中，■——主体加速度。m——主体质量。

（■-■）■——微质量对主体的反作用力。（如火箭就是靠此飞行）

二、下面就利用上面导出的公式对水火箭进行一些理论上的分析

水火箭在喷射瞬间，dm是从火箭主体分离出来的微小物体，因dm的质量很小，dm

对于水火箭来说，其受到的外力为空气阻力及重力，由于水火箭飞行的速度并不是太快，在忽略空气阻力的情况下，可以不计，因此，所受到的外力主要为重力，在飞行中，水不断喷出，火箭主体的质量也在不断减少。

由于水火箭在飞行中，是一个质量不断减小的过程，即是一个变质量运动物体。设m是在水喷出前瞬间火箭主体的质量，m′为水喷出后瞬间火箭主体的质量，主体质量是减小的，所以，瞬间喷出的水的质量为：dm=m′-m<0，所以m′=m+dm

设■是t时刻质量为m的水火箭相对于地面的速度，■是t+dt时刻时，水火箭质量为m′时相对于地面的速度。

■′与■方向相同，所以，水火箭喷出dm的水后，速度的增加量：d■=■′-■>0

水火箭向后喷出dm的水时，dm相对于地面的速度为■。

所以，水火箭喷出dm前后，火箭m′及dm的总动量的变化量为：

喷出水前动量：P1=m■

喷出水后动量：P1=m′■′-■dm=（m+dm）（■+d■）-■dm

由动量定理得出：■2-■1=■dt

整个飞行过程只受重力。所以，上式整理后略去两节无穷小得：m■+（■-■）■=m■

由上式可见与方程（2）相同。

现取竖直向上为坐标轴正方向，则微分方程式变为：

m■=-mg-（v-u）■

根据速度的合成原理：v-u即是dm相对于水火箭主体m′的相对速度，即喷射速度。

设v1=v-u则：m■=-mg-vr■ （■<0） （3）

从（3）式中可以看出：■r■（当■<0时）为反冲力，即推动火箭飞行的作用力。

水火箭的加速度：a=m■=-g-vr■ （4）

因■<0（箭体因向后喷水总质量减少）所以上式可以写成：

a=m■=vr■-g （5）

由此式可以看出，其加速度a是一个随时间及质量变化的物理量。所以水火箭喷出的水相对于水火箭的推力也是一个变化的力。对（5）式变換得：

dv=-gdt-vr■ （6）

经过时间t，当水火箭中的水喷射完时，其质量只剩下水火箭壳体的质量m0，所以对（6）式积分：

■dv=-g■dt-vr■■

v=-gt-vr1n■或v=-gt+vr1n■ （7）

式中v为水喷射终了时的水火箭的速度（即最大速度），m为箭体含水的总质量。m0为水火箭射完水后，火箭壳体（无水）的质量。

从（7）式可以看出：如果水火箭壳体内的水在很短时间内喷射完，发射时，喷射的水相对于火箭的速度vr也很大，装入水的水火箭的总质量与水火箭壳体的质量比■很大，水火箭的速度就可以很大。水火箭能达到的最大速度与水火箭的喷射速度Vr及质量比■有关，同时，受重力加速度的作用，随着时间的增加（即喷射的时间长），在喷射完水的过程中，当达到：gt=vr1n■时，速度为0

如果在太空，不计重力及空气阻力，喷射终了时的最大速度为：v=vr1n■ （8）

（8）式称为齐奥尔科夫斯基公式。齐奥尔科夫斯基是开拓火箭技术领域的先驱者之一。式中■为质量比。因水火箭的m>m0所以1n■>0。

当然，水火箭在飞行过程中，还受到空气阻力的作用，

小资料：如果考虑空气阻力，则空气的阻力为：f空气=■CρSV2式中：C为空气阻力系数；ρ为空气密度；S为物体迎风面积；V为物体与空气的相对运动速度。

可以看出，空气阻力与形状及速度有关，所以水火箭的飞行过程是一个很复杂的过程。

一些物体的风阻：垂直平面体风阻系数大约1.0；球体风阻系数大约0.5；一般轿车风阻系数0.28～0.4；好些的跑车在0.25；赛车可以达到0.15；飞禽在0.1～0.2；飞机达到0.08；目前雨滴的风阻系数最小，在0.05左右。

所以把水火箭做成流线形，且前面做得尖一些，以减小空气的阻力。

三、关于水火箭壳体内压缩气体与火箭喷射时压强（或力的）变化的讨论

水火箭内的压缩气体可以看成是理想气体。

水火箭所需要的动力来源是壳体内的高压气体膨胀时推动加在壳体内的水，使水向后高速喷出而产生的反作用力，这个力推动水火箭向前飞出。

我们来试着分析一下水火箭在气体压力不断减小的情况下的运动情况。

我们可以看出喷嘴处水的压强与箭体内气体的压强相等（帕斯卡定律）。

设：壳体内气体的温度在整个喷射过程中不变，根据玻意耳-马略特定律：

P1V1=P2V2=nRT 或：PV=C（恒量） （9）

理想情况是：当水从壳体内从喷射到喷完过程中，壳体内的压强从压缩状态P变化到等于外界大气压强P0，箭体内的气体的压强不断减小，壳体内的气体的体积V从被压缩状态变化到水刚刚喷完后达到整个壳体体积V0，体积增大。整个过程中气体的压强与体积的变化都满足玻-马定律，另外，水火箭向后喷射出水的过程中，火箭不断加速，但是因为壳体的压强减小，即对向后喷射的水的压力也变小，直到水从箭体内喷射完为止。这是一个变加速过程。

■

水火箭喷嘴的面积s及箭体的面积S是不变量。

（9）式中：P=■ f为喷嘴处喷出的水的作用力，s为喷嘴的面积

气体的体积：V=xS x为气体长度，S为箭体内气体截面，代入（9）式：■xS=C或fx=■=C′（S与s是不变量） （10）

从10式可以看出，箭体受到的喷出的水的反作用力与箭体内的x成反比关系。

可见，当气体膨胀过程中，x不断增大，所以箭体受到的反作用力也在不断减小，最后达到与大气压产生的作用力相等，箭体的速度也在增加，但是其加速度不断减小。

四、水火箭向后喷射的水在喷嘴处速度大小的讨论

我们可以通过实验得出，当一个上端开口的容器中水的深度为h时，在容器的下端开一个开口向上的孔，如图a，因水深为h，水在h深处的压强为P=ρgh，且开口向上，如果不考虑空气阻力，根据机械能转化守恒定律，则喷射出的水柱高度也应为h，这样一来，就可以算出水喷射出水火箭时的速度。

由机械能的转化和守恒定律：mgh=■mv2

得出：v2=2gh

将上式两边乘以ρ，得：v2ρ=2ghρ=2p

变换上述公式，得：v=■ （11）

因f=ps所以：p=■；式中s为喷嘴处的截面（也即是水火箭喷嘴处的截面，是常数）

由（11）式可以看出，喷嘴处的出水速度是一个只与箭体内的压强有关的物理量。

代入上式得出喷嘴处相对于箭体的喷出的水的速度也可写为：v=■ （12） 式中f为压强为P时，喷嘴处的水的压力，ρ为水的密度，ρs是常数。

可以看出，因ρ为水的密度，是常数，所以，出口处水相对于箭体的喷射速度是一个与质量无关，只是一个与密度有关，与压强P的平方根成正比的物理量，上式虽然是从水深的方法导出的，因v只与压强有关，所以也适用于封闭的容器（水火箭就是这种情况）。

如果把容器顶端封闭，装入适量的水，并在容器内充入高压气体，使容器内气体产生的压强与h深处水的压强相同（当气压很大时，箭体内的水深可不计），如图b所示，则喷嘴处的水的速度也将等于相同水深处喷出的水的速度。当容器内气体的压强很大时，可以认为是产生相同压强所对应的水深的水在喷射口处产生的压强，因为喷嘴处喷出的水的速度只是一个与压强有关的量，所以，喷嘴处喷出的水的速度也将与不封闭时等同深度处容器出口产生的压强相同，喷出的水的速度也与等同水深处获得的速度相等。

五、加水量与射程的关系

水火箭加入水量的多少直接决定水火箭的射程。动量P=mv，在压缩气体膨胀过程中，火箭中的水在气体放尽时也刚好放完是最佳情况。这时，火箭获得的动量最大（速度也最大）。

通过实验得出，当水量为1/3左右时，水火箭飞得最高.而且气压越大，喷嘴处对喷出的水的作用力就越大，喷水的力量越大，水火箭的冲量越大，水火箭做反冲运动。

如果水火箭中的水未喷完，由于气压减小就停止了加速，水火箭的重量就会使水火箭受重力影响而提前坠落了。质量越大，所需提供的动量就越大，提高速度的方法是提高单位时间内的喷水量.所以，只有当水火箭内的气压与水量适当时，才能飞得更远更高。实验中发现，若水量大于固定气压所能喷射的上限，则水火箭中的水不会喷完，要如何避免水喷不完的情形呢？

根据PV=nRT，可求出一定气压所能喷出的水量上限.若是水量不够一定气压所能喷出的水量被较早喷完。根据理论，发射时我们先量出能灌进水火箭的最大值，再算出此氣压能喷出的最大水量，根据此两项数据装水灌气，即可达到水火箭之最大射程（Pmax=Fmax×Mmax）.

发射：水火箭发射时利用牛顿第三定律，力的作用是相互的。火箭中的气体释放压力，作用在水上，水在瞬间喷出，火箭获得一个极大的反冲力，瞬间“飞出”。利用压强P=F/S，喷水口的面积S一定，要想使火箭获得更大的反冲力（速度），就要使火箭中的压力足够大，即要充入更多的空气，这就利用了PV=nRT，n越大，P 越大。

飞行：火箭飞行过程中，在水没有喷完前，其速度是增加的，但因作用力不断减小，加速度也不断减小，是一个变加速运动。在水喷射完后，是利用自身的惯性飞行（牛顿第一定律）；火箭飞出时的速度是斜向上的，在重力的作用下，火箭的飞行轨迹是斜抛运动，这就是“弹道飞行”（运动学原理）。

同时，由于摩擦，火箭还受到空气阻力的作用，使得火箭的速度不断减小。上升到一定高度后，火箭的竖直方向速度减小至0，火箭开始降落，依然呈“抛物线”型。总之，水火箭利用的物理学原理有：动量P=mv及动量守恒定律，理想气体实验定律PV=nRT，牛顿运动定律（第一、第二、第三），运动学公式等，是经典力学非常典型的应用。

参考文献：

[1]周衍柏.理论力学教程序[M].高等教育出版社，2009.

[2]肖士荀.理论力学简明教程[M].人民教育出版社，1979.

[3]尤·符·霍夫曼.物理学—定律公式题解[M].吉林人民出版社，1980.

？誗编辑 郭小琴