三版本高中数学教材“统计”习题难度比较研究

☉首都师范大学数学科学学院 覃 淋

近年来，中小学数学教材的比较研究已成为一个研究热点.数学教材是由正文、例题、习题三部分有机组成的，习题的设置在一定程度上反映了教材的特征.因此，对数学教材习题的研究是教材研究的一个重要方面.就目前教材研究情况来看，大都集中在代数、几何、三角、向量和微积分等方面，很少有研究者涉及“统计”部分的比较研究.少数一些文献，也主要是集中在“概率”部分的比较研究，或是将“统计”与“概率”放在一起进行比较研究.此外，也有部分学者对初中数学教材的“统计”内容进行了比较研究，但很少有学者对高中数学教材中的“统计”内容进行比较研究.

现代社会是一个信息化的社会，大多数信息都以量化的形式传播，统计学正是收集和分析带随机性误差的数据的科学.随着新课程改革的持续深入进行，统计的教学也越来越受到重视.《义务教育数学课程标准（2011年版）》将发展学生的“数据分析观念”作为数学课程的重要目的之一.在《普通高级中学数学课程标准（实验）》进一步提出了发展学生的“数据处理”的基本能力，再到如今数学课程标准修订，高中数学课程标准修订组的专家提出了“六大数学核心素养”：数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象、数据分析，这里的“数据分析”能力显然是针对“统计”内容的.基于此，本研究选择了高中数学教材中“统计”内容作为研究主题.同时考虑到东亚地区都深受儒家文化的影响，和我国在许多方面都有共同之处.在一定程度上，他们的数学教育改革经验能给我国的数学教育改革提供更多的参考.选择了中国大陆、日本、中国台湾地区现行的高中数学教材，通过构造统计习题难度测量模型，对这三个地区的三套高中数学教材“统计”部分习题的难度进行比较，希望能为我国高中数学教材统计部分习题的设置、编写的完善提供一些建议.

一、研究对象及研究工具

（一）教材样本

由于在许多国家教材的出版是一种商业行为，对于学校选择教材，也缺乏国家层面上的指导.考虑教材的使用范围及教材是否能体现所在地区课程标准的理念，再结合教材的出版时间，最后确定了表1中所列的数学教材.

表1 教材样本及基本信息

研究中，统计的习题包括：教材中正文的练习，每一节结束后的习题，每一章的章末复习题，中国台湾教材中的练习包括课堂讨论、随堂练习、课堂活动三类.1个题目如果有多个小题，按题目中小题个数计算；一个题目有连续几个问，但这些问题没有分成（1）、（2）、（3）……这样的，仍当作一个题目计算.如中国大陆教材必修3P74的练习.考虑到中国台湾、日本数学教材都将正态分布放在统计内容中的，而中国大陆教材中则是放在选修部分的概率内容中的，因此这里统计的习题数目也包括了正态分布内容中的习题.

（二）统计习题难度测量模型

在参考已有研究的基础上，并结合“标准”中对统计内容的要求、统计习题的特征以及所研究教材的编排特点，构建了一个六因素多水平的统计习题难度测量模型，如表2：

表2 统计习题难度测量模型

赋值：比如一道题在“背景”难度影响因素是“公共常识”水平、在“运算”难度影响因素处于“简单运算”水平，“认知要求”难度影响因素属于“迁移性理解”水平，并且是探索性题，与例题无关，包含2个知识点.则在以上六个习题难度影响因素中分别赋值：3，2，3，3，3，2.

计算：根据上述等级制，分因素统计样本教材中各水平的题目数量，并采用如下计算公式计算各习题难度因素的加权平均值：

其中，i表示第i个习题难度影响因素，j表示某一个难度影响因素所处的水平；Ai表示第i个习题难度影响因素的加权平均值；Bij表示第i个习题难度影响因素在第j个水平上的权重，我们依水平分别取1，2，3，…，即Bij=j.如B32表示“习题认知要求”中“概念性理解”水平的权重B32=2.nij表示所选教材习题中属于第i个习题难度影响因素，在第j个水平上的题目的个数，n表示所选教材习题的总数.如n12表示第1个难度影响因素（习题背景）中处于第2水平（个人生活）的题目的个数.

二、统计结果与分析

（一）统计结果

依照表2给出的统计习题难度测量模型，统计各难度因素中处于各水平的习题的数量，得到如表3的结果.

表3 三套高中数学教材难度因素的比较

难度因素 水平中国大陆 日本 中国台湾题量百分比题量百分比题量百分比关联程度高度相关 4 3.17% 28 44.45% 18 15.52%一般相关 75 59.53% 21 33.33% 56 48.27%无关 47 37.30% 14 22.22% 42 36.21%知识综合1个 6249.21% 2133.34% 54 46.55%2个 4535.71% 2133.33% 38 32.76%3个及以上 19 15.08% 21 33.33% 24 20.69%

（二）结果分析

这里先从每一个习题难度影响因素进行分析，然后再综合的进行分析.

（1）在习题背景因素上的差异.

三套教材中不涉及实际背景的习题分别占17.46%、46.03%、26.73%，与个人生活有关的习题分别占16.67%、28.57%、32.76%，属于“公共常识”的习题分别占49.20%、20.64%、38.79%，属于“科学情境”的习题分别占16.67%、4.76%、1.72%.在背景因素上统计结果如图1所示.

图1 三套教材在习题背景因素上的比较

从图1可以发现，在“无背景”水平上，日本数研版教材所占比例是最大的，几乎一半都是这种题目，远高于人教A版和台湾南一版教材.在“个人生活”水平上，人教A版相对于原人教版变化不大，都不到17%，远低于数研版教材和南一版教材所占比例.在“公共常识”水平上，人教A版差不多达到了一半，数研版则只有不到21%.在“科学情境”水平上，人教A版教材是最多的，达到了17%，远远高于数研版和南一版教材.整体来看，三套教材在习题背景的四个水平上都不是很均匀.

（2）在运算因素上的比较.

人教A版教材中不涉及运算、简单运算、复杂运算的习题所占比例分别为63.49%、26.99%、9.52%；数研版教材中三种水平的习题所占比例分别为17.46%、41.27%、41.27%；南一版教材三类习题所占比例分别为18.10%、29.31%、52.59%.在运算因素上的统计结果如图2所示.

图2 三套教材在运算因素上的比较

从图2可以看到三套教材在“运算”因素上的差异主要表现在“无运算”水平和“复杂运算”水平，在“简单运算”水平上相差不大.人教A版统计部分的习题中无运算占比高达63%，而在属于复杂运算的习题不到10%，这似乎与中国以“双基”为特点的数学教育不符，但从“标准”中我们可以找到答案.在统计部分，“标准”强调的是对统计思想的理解.

而南一版教材恰好相反，无运算的习题不到20%，复杂运算的习题超过了50%.从图中还可以看到一个有趣的“聚类”现象，在“无运算”水平，人教A版教材远高于另外2种教材；而在“复杂运算”水平，却又远低于数研版和南一版教材.这不得不让我们深思，在统计与概率的教学中，是否过多地把计算机作为一种计算工具，而忽略了其他更重要的功能，如计算机模拟试验.虽然现代信息技术给我们的数学教学带来了极大的便利，但以计算器和计算机为代表的现代信息技术只是作为一种教学的辅助手段.

（3）在认知要求上的差异.

三套教材中概念性记忆水平习题分别占0%、17.46%、9.48%，处于概念性理解水平的习题所占比例分别为55.56%、46.03%、55.17%，属于迁移性理解水平的题目分别占34.92%、36.51%、33.62%，属于综合性探究水平的习题分别占9.52%、0%、1.73%.在认知要求因素上的统计结果如图3所示.

图3 在认知要求因素上的比较

在“认知要求”因素上，可以看到三套教材是比较一致的，习题最多的都是处于“概念性理解”水平，这一水平的习题强调对概念、公式、法则等的理解，而不仅仅是简单的记忆.其次，在“迁移性理解”水平上，三套教材差异也不大.这说明了教材习题是要求能运用所学知识去解决一些相关的问题.这种一致性在某种程度上说明了国际数学教育改革的趋势是大致相同的——强调数学的应用性，让学生通过所学数学知识去解决实际问题.

就统计与概率而言，它们本身就具有较强的应用性，和实际生活联系紧密.生活中，电视、报纸、网络上经常提到平均数，天气预报也会经常提到明天某地区降雨概率是多少，彩票中奖的概率等.因此，“统计与概率”的学习应与现实生活相联系，学生才可能用概率或统计的观点和思维去分析和解决实际问题.

（4）在习题类型上的不同.

在习题类型因素上的统计结果如图4所示.

图4 在习题类型因素上的比较

在“习题类型”因素上，同样可以发现三套教材是比较一致的，都集中在训练性题目上.数研版教材全都是训练性题目，说明了在儒家文化影响下的东亚国家里，相对而言都强调对“双基”的掌握，在某种程度上解释了为什么亚洲学生总能在一些国际性测试（TIMSS、PISA）中拿高分.但这并不能说明我们学生问题解决的能力强于欧美国家，如相关研究表明：中国学生在计算题、常规问题和条件受限问题解决上远高于美国学生，但在解决开放问题时却弱于美国学生.

（5）在“与例题关联程度”因素上的比较.

三套教材中与例题高度相关的习题分别占3.17%、44.45%、15.52%，与例题一般相关的习题所占比例分别为59.53%、33.33%、48.27%，与例题无关的习题分别占37.30%、22.22%、36.21%.在“与例题的关联程度”难度因素上的统计结果如图5所示.

图5 在“与例题关联程度”因素上的比较

从图中可以看出，除数研版教材外，另外两套教材的题目大都是和教材例题一般相关.三套高中数学教材中只有日本教材的加权平均值低于2.这其实和日本教材习题的编排方式有很大关系，日本数研版教材一般会在讲解一个知识点后，给出一个例题，例题后会给出1～2个“练习”.这种练习一般都和例题有很高的相似度，甚至很多“练习”只是把例题的数据更改了一下.这种练习题学生直接用例题给出的方法就可以轻松的解决，几乎没有难度.

以数研版教材中的题目为例，在数学B中的P103有这样一个练习：“一个袋中有白球3个，红球2个.现从袋中同时取出两个球，记其中白球个数为X，求X的期望值.”

而在此练习题之前，有类似的一个例题：“一个袋中有白球4个，黑球3个.现从袋中同时取出两个球，记其中白球个数为X，求X的期望值.”

很显然，练习题的解题思路和例题是完全一样的，只有在求取出的白球个数不同时的概率，在数字上和例题不一样.实际上，在台湾南一版教材中，某些地方练习题的编写也采取了这种方式.应注意的是，这样的安排对具体知识点而言，有较强的针对性，有助于学生对知识的掌握.在“无关”水平上，人教A版和南一版教材所占比重相近.

（6）在知识综合因素上的比较.

人教A版教材的126个习题中单个知识点的习题占49.21%，2个知识点的习题占35.71%，3个及以上知识点的习题占15.08%；数研版教材中单个知识点的习题占33.34%，2个知识点的习题占33.33%，3个及以上知识点的习题占33.33%；南一版教材中三种水平的习题所占比例分别为46.55%、32.76%、20.69%.在知识综合因素上的统计结果如图6所示.

图6 在知识综合因素上的比较

由图可知，人教A版和台湾南一版教材的习题都是随着知识点数量的增加而减少，即都是一个知识点的习题数量最多，2个知识点的习题数量次之，3个及以上知识点的习题数量最少.从总体上来看，人教A版的知识综合程度是最低的，日本数研版教材的知识综合程度最高.实际上，这和日本高中数学教学的总目标的要求是一致的，在其“课程标准”中教学总目标第一条就明确指出：通过数学活动，加深对数学基本概念、原理和法则体系的理解.

（三）综合难度的比较

前面，根据6个统计习题的难度影响因素对三套教材统计部分的习题分别进行了比较，为进一步考查三套教材统计部分习题的综合难度水平，利用前面提到的加权平均值计算公式，计算了各难度因素的加权平均值.结果如表4.

表4 三套教材统计习题各难度影响因素的加权平均值

为了更加直观，我们作出如图7所示的雷达图：

图7 三套教材统计习题综合难度的比较

这个六边形图直观地反映出：在习题背景、关联程度、习题类型和认知要求四个难度因素上，人教A版教材习题的难度都高于数研版教材和南一版教材；而在知识综合因素上，数研版教材高于人教A版和南一版教材.分别从三套教材的加权平均值来看，教材在“习题背景”、“运算”和“关联程度”三个因素上差别较大.此外，还可以发现，人教A版在6个难度因素上很不平衡，相差达到了1.19，数研版教材和南一版教材分别为0.46，0.60.相较而言，在6个难度因素上比较平衡.

人教A版在“习题背景”和“认知要求”两个因素上要远高于其他教材.尤其是在“背景”因素上，人教A版中大部分习题都是“公共常识”和“科学情境”两种水平，离学生个人生活实际较远.在“运算”因素上，人教A版教材是最低的.在“习题类型”因素上，最高的是人教A版，数研版和南一版教材相差不大.在“知识综合”因素上，数研版教材最高，平均每题包含2个知识点，其次是南一版教材，人教A版的知识综合程度最低.

三、结论

通过对人教A版、日本数研版和台湾南一版三套高中数学教材中“统计”部分习题难度的比较研究，得出了以下结论：

（1）从习题背景上看，人教A版教材属于公共常识背景的习题最多，相比原人教版教材，无背景的习题少了很多，但数学来源于现实，存在于现实，“公共常识”和“科学情境”背景都是学生平时较少接触的，离学生的实际生活情境较远，这类习题过多可能会让学生觉得这些问题是为了强调所谓的数学应用而“编造”的题目，不利于培养学生的应有意识.因此，人教A版教材可以借鉴数研版和南一版教材，在习题中适当增加贴近学生个人生活背景的习题.

（2）在“运算”因素上，人教A版教材是最低的，这似乎和印象中的我国教材有些不相符合.这可能和“标准”中非常强调对统计概率思想的体会有关，但是强调对数学思想方法的体会并不意味着要降低对学生计算能力的要求，而应该在二者之间找到一个平衡点.

（3）在“认知要求”和“习题类型”因素上，三套教材比较一致，教材的习题最多的都是“概念性理解”水平，习题也大都是训练性题目.这可能和东亚地区都深受儒家文化的影响有一定的关系.

（4）在“与例题的关联程度”因素上，人教A版教材与例题高度相关的习题仅有3.17%，只有4道，远低于数研版和南一版教材.从习题的知识综合来看，人教A版教材大部分题目都仅含有1～2个知识点，含3个及以上的知识点的习题仅有15%.

四、启示

1.习题的安排，应考虑各难度因素之间的平衡

研究表明，三套教材都没有保持6个习题难度因素之间的平衡，知识综合因素的加权均值相比其他5个因素要小很多，在“认知要求”上要求都比较高.在人教A版中，背景和运算两个难度因素之间的加权均值相差达到了1.19.因此，任何一套教材中习题的选择和编写都应该与数学内容紧密结合，充分考虑其特殊性，同时注重各个难度因素之间的平衡.在习题的编写和设置中，如何保持各个难度因素之间的平衡是一个值得深入研究的课题，而各个习题难度因素应该达到怎样的一个平衡状态，也是一个需要深入研究的课题.

2.习题的安排可以更具针对性

这一点日本数研版教材做得比较好，教材一般在讲解一个知识点后，会马上给出一个例题，对介绍的知识点进行运用，去解决问题.然后在例题后面一般是1～2个“练习”，对所学知识进行进一步的强化练习.反观我国高中数学教材，一般是在一小节内容结束后，才设置练习题目，这样做的话，针对性就不是那么强.日本数学教材的这种做法值得借鉴.

3.要注重数学知识之间的联系

研究表明，在习题的知识综合因素上，人教A版教材的加权均值是最低的，大部分题目都仅含1～2个知识点，含有3个及以上知识点的题目所占比例仅为15.08%.数研版教材含有3个及以上知识点的题目所占比例达到了33.33%，比A版教材的2倍还多.因此，可以借鉴日本教材，在教材中安排一些知识综合程度较高的题目.这样可以帮助学生对数学产生一个整体的认识，帮助学生形成“数学是一个不可分割的有机整体”的正确观念.

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