“长方体的体积”教学纪实与评析

孟莉 李秀丽

教学内容：人教版义务教育课程标准实验教科书数学五年级下册第三单元。

教学目标：

1.通过猜测、推想、讨论等活动，掌握长方体体积的推导过程，理解长方体的体积是由相同体积单位累加而成。

2.使学生在学习活动中发展观察、分析、推理、概括等思维能力，积累解决立体图形体积的经验，提高解决问题的能力，发展空间观念。

3.借助长方体体积的推导过程，让学生理解立体图形的体积就是“相同体积单位的累加”。

教学流程：

1.感知体积单位与体积的关系。

师：老师今天带来了几个立体图形，第一个图形的体积是1立方分米，这会是一个什么样的图形呢？

学生：长方体。

棱长为1分米的立方体。

师：见证奇迹的时候（图1）谁能得到這个礼物？1立方分米的正方体，棱长是1分米。

师：第二个立体图形，它的体积是3立方分米，这会是一个什么样的立体图形呢？

生：它可能是一个长方体。

师：一个什么样的长方体？

生：一个由3个棱长为1分米的小正方体连在一起组成的长方体。

师：见证奇迹的时候（图2）——你们猜对了吗？不过我说这个立体图形体积是3立方分米，你们同意吗？你们为什么认为它的体积是3立方分米？

生：它是由3个体积为1立方分米的正方体组成的。

师：每个正方体的体积是1立方分米，3个就是3立方分米。那么现在呢？（图3）

生：体积是7立方分米。

师：为什么？

生：它是由7个体积为1立方分米的正方体组成。所以它的体积是7立方分米。

师：也就是说它有几个1立方分米？

生：7个。

师：所以它的体积就是7立方分米。如果有9个呢？10个呢？更多呢？你总结出什么了？

生：由多少个1立方分米正方体组成，它的体积就是多少立方分米。

（评析：通过让学生猜想体积为1立方分米、3立方分米的立体图形可能是什么图形，培养学生思维的发散性和创新性。教师设计了不同的长方体，规则的、不规则的，不断变化，避免学生形成思维定式，让学生从“规则化”的浅显认知走向数学本质。）

2.感知长、宽、高与行、列、层数的对应关系。

师：下面的立体图形有点不同，如果想要知道它的体积，你觉得老师应该给你什么样的提示？

生：需要老师告诉我们它是由多少个体积为1立方分米的正方体组成的。

师：这个提示怎么样？好在哪里？

生：知道体积为1立方分米的正方体的个数，就很容易求它的体积。

师：很抱歉，这个立体图形中到底有多少个体积为1立方分米的正方体，我没有数出来！（图4）它的体积是多少？你能看出它有多少个1立方分米的正方体吗？要求出这个长方体的体积有什么办法？先独立思考，再和同桌、小组交流。

生1：用1立方分米的小正方体去摆，估计长可以摆6个，高可以摆2个，大概12个。

生2：用1立方分米的小正方体去摆，估计长可以摆5个，宽可以摆2个，高可以摆4个。

师：同学们，老师发现你们的方法都是一样的，用1立方分米的小正方体去摆。问题是你们对于长、宽、高数值的估计不同。此时，如果你需要老师的帮助，你最希望老师给你什么样的帮助？为什么？

生：我需要老师告诉我长方体的长、宽、高。因为知道长宽高，就可以知道长、宽、高的位置上各摆多少个小立方体了（图5）。

师：给出长宽高（图5），为什么要知道长、宽、高？

生：长的那条边可以摆5个，宽摆4个，高摆3个，把这3个数相乘，就是里面一共有60个1立方分米的小正方体，所以长方体的体积就是60立方分米。

师：你们听懂了吗？谁愿意再来说说？

（学生说，教师通过课件摆。）

师：这个长方体的体积是多少？怎么算的？

生：5×4×3=60。

师：通过这道题你觉得长方体的体积怎样计算呢？

生：长方体的体积=长×宽×高。

师：那现在的问题是5×4×3=60，在这个算式中每个数字表示什么呢？

师：5乘以4 表示每层有几个，再乘以3，得到的60表示什么呢？

生：60 表示一共可以摆60个体积为1立方分米的正方体，它是总个数。

师：60个1立方分米的正方体和在一起就是60 立方分米，这个长方体的体积就是60立方分米。

（评析：体积公式从何而来？究其根本，要追溯到体积这一概念的本身。所谓体积就是用相应的体积单位去度量，从而得到度量结果。教学中教师由一个“光秃秃”的长方体开始，不断设计障碍，引发学生的思维向更深层次发展，由简单的数正方体，到根据长、宽、高的长度来想象每行摆几个、摆几行、摆几层，再用长、宽、高相乘来计算总共摆多少个体积单位。）

3.拓展练习，变式延伸。

师：我们来看这样两道题。独立解决。

学生：第一个图形，把它想象成里面有很多1立方分米的正方体，棱长为3，每行摆3个，可以摆3行，一层就是3×3=9个，高可以摆出3层，9×3=27（个），27个1立方分米的正方体和在一起就是27立方分米，这个正方体体积就是27立方分米。第二个图形方法和前一个相同，因为长为9分米，所以每行摆9个。宽为3分米，可以摆3行，一层就是9×3=27个，因为高是1，只有一层，所以一共有27个1立方分米的正方体，它的体积就是27立方分米。

师：你们在做的时候有什么发现吗？

生：它们形状不同，但是体积相同。

师：为什么会这样呢？

生：它们虽然形状不同，但是它们都是由27个1立方分米的正方体组成的，所以它们体积相同！

师：老师今天还带来一个长方体，体积和它们都一样，但是形状和它们都不一样，你能猜猜我带来的另一个长方体是什么样的吗？

生：长27，宽1，高1。

师：我的长方体一定是这个样子的吗？有没有其他可能呢？还有可能更长吗？你估计它的长可能是多少？

生：可以把它切成一半，再接起来，长可能是54，宽0.5，高1。

师：可不可能更长？

（学生交流讨论。）

（评析：教学中，老师让学生猜想带来的长方体有没有可能更长，突破了以“整数个”体积单位计量的常规思想，让学生在辨析中说理，促进对体积公式的深入理解，同时渗透了极限的思想。）

师：今天这节课你有什么收获？

…………

总评：

數学学习不仅要让学生获得数学知识，而且要立足学生已有的生活经验和知识基础，让学生通过思考、辨析、讲理、感悟获得数学基本理论，建构数学知识体系。本课简约独特、视角新颖。

1.从度量入手，理解体积的本质。

学习“长方体的体积”是学习“体积与体积单位”的延续，教师准确把握学生知识起点，从猜测1立方分米、3立方分米的立体图形开始，从规则走向不规则，从意料之中到意料之外，既能让学生突破思维定式，又能总结出相同单位体积累加得到的就是所组成立体图形的体积，再增加1个，总体积就会增加一个单位体积。

2.层层抽象说理，感悟对应关系。

教学中，教师在每个环节都关注让学生去说明道理，特别是在当有学生说出用1立方分米的正方体往长方体里摆时，老师既肯定了学生的空间想象能力，又不断追问，让学生说说每行摆几个、摆几行，又有几层，学生在这个过程中慢慢领悟长方体的体积就是看每行有几个体积单位，有几行，再有几层，算出总个数，也就是体积。

3.追问中厘清本质，交流中总结公式。

在逐渐形成长方体的体积计算公式后，老师给出一个“光秃秃”的长方体，让学生计算体积。基于前面的铺垫，即使没有任何数学信息，学生首先也能想到用“1立方分米的小正方体去铺摆”，当学生猜测纷纭时，教师又适时地提出：要想解决这个问题，你需要老师给你怎样的提示，学生自然想到长、宽、高的数据。学生这一次的解释，对长方体体积的认识逐渐走向深刻。在总结出长方体计算公式后，教师又让学生思考每一个数所表示的意义，彻底领悟长方体的体积为什么是“长×宽×高”。

4.突破思维定式，让思考更加深入。

在教学最后环节，老师出示了两个形状不同，但是体积相同的立体图形，分别是一个长方体、一个正方体。在求得体积之后，教师再次出招：还有一个长方体，体积相同，形状与它们不同。学生想到了长27、宽1、高1的长方体，这样给出体积，猜测图形的环节让学生领悟得更深了、更远了，然而老师又不失时机地再次追问，这个长方体还能更长吗？突破“整数个”单位体积的计量，把学生的思维带向更深、更远处。

编辑/魏继军