轴力对自由边界Timoshenko梁横向动特性影响研究

王　乐，余慕春

(中国运载火箭技术研究院， 北京　100076)

导弹的横向动特性对其在飞行过程中的稳定性及动载荷等有较大影响，在飞行过程中，导弹除了承受横向载荷，还要承受由发动机推力、气动阻力等导致的很大的轴向载荷。轴向载荷会对导弹的横向动特性产生一定的影响，在某些情况下，例如在计算潜射导弹出筒或出水过程的横向载荷时，这种影响是不可忽视的，因此有必要研究其对横向动特性的影响程度。由于导弹是细长体，其横向动特性一般采用梁模型进行计算，很多学者也用梁模型研究轴向载荷对横向动特性的影响。对于Euler梁在轴向力作用下的横向振动，已经有一些文献进行了研究。宋健[1]给出了轴向力作用下求解等截面Euler梁横向动特性的解析方法，研究了推力和空气阻力对火箭横向振动频率和振型的影响；张广芸等[2]给出了轴力对于Euler梁横向振动固有频率影响系数的高精度表达式；张光辉等[3]基于Euler梁理论，研究了轴向荷载对锚杆横向振动影响；龚善初[4]研究了简支Euler梁在轴向载荷作用下固有频率与轴向载荷的关系。

Timoshenko梁理论[5]在模型中引入了剪切变形和转动惯量，与Euler梁理论相比，其模型更准确，在工程设计中得到了广泛应用[6-9]。刘吉源等[10]利用瑞雷法得到任意边界条件下梁固有频率的泛函方程，建立了轴力作用下两端固支Timoshenko梁的频率方程，讨论了轴向力、转动惯量和剪切变形对解的影响；王英华[11]建立了潜射导弹的Timoshenko梁有限元模型，将轴力产生的预应力加入梁单元中进行模态分析，计算了出水过程中轴向载荷对潜射导弹横向振动特性的影响，对于自由边界条件下Timoshenko梁在轴向力作用的横向振动问题，有必要用解析的方法进行研究。

本文给出了轴力作用下Timoshenko梁自由振动的偏微分方程，采用分离变量法求解，给出了轴力作用下自由边界Timoshenko梁固有频率的控制方程。建立了截面为环形的自由边界Timoshenko梁模型，计算了轴力对Timoshenko梁横向动特性的影响，本文给出的计算方法对导弹横向动特性设计具有一定的参考意义。

1　轴力作用下Timoshenko梁自由振动方程

设梁的材料密度为ρ，长度为l，作用在梁两端的轴向压力为固定值T，作用在梁上单位长度的横向力为q1，如图1所示，梁的单位长度的惯性力和惯性力矩分别为q和m，梁截面的线位移为y，角位移为φ，截面的面积为A，绕横轴的惯性矩为I。

由梁的内力和位移参数的关系可知

(1)

(2)

式(2)中C是截面的抗弯刚度，为

C=kGA

(3)

其中k是Timoshenko梁截面的剪切系数。

设梁的截面为等截面，作用在梁上的横向力q1不随时间变化，可得Timoshenko梁模型的运动方程为

(4)

2　轴力作用下自由边界Timoshenko梁自由振动方程的求解

为了求解式(4)，采用变量分离法，令

y=W(x)sin(ωt+φ)

(5)

式(5)中，W(x)是振型，ω是梁的固有频率，将式(5)代入式(4)，可得

(6)

令W(x)=Deλx，由式(6)，可得

(7)

式(7)是关于λ的四次方程，令

(8)

可得λ的4个根分别为

(9)

其中

(10)

(11)

则W(x)的形式可写为

W(x)=C1cosa2x+C2sina2x+

C3cosha1x+C4sinha1x

(12)

对于两端自由的梁，其边界条件为

(13)

梁的线位移和角位移有如下关系式

(14)

将上式对x进行积分，得

(15)

由式(1)，式(2)，式(13)，式(14)和式(15)，可得式(4)的边界条件为

(16)

将式(5)代入式(16)可得

(17)

将式(12)代入上式，可得

当x=0时，有

(18)

当x=l时，有

(19)

可得

(20)

式(20)是关于C1和C2的线性方程组，为了使得W(x)有非零解，则C1和C2必有非零解，因此有

(21)

式(21)是关于Timoshenko梁固有频率ω的方程，该方程为超越方程，解此方程即可求得有轴力作用下自由边界Timoshenko梁的固有频率，求出ω后，可求得振型W(x)。

3　算例

以自由边界的钢质梁为例，设E=2×1011Pa，I=8.333×10-6m4，A=0.01 m2，ρ=7 800 kg/m3，l=5 m，k=0.851。为了检验式21计算方法的正确性，在无轴力作用条件下，将固有频率计算结果与Euler梁理论进行对比。由文献[12]和文献[13]可知，自由边界Euler梁的固有频率方程为

(22)

令T=0，由式(21)计算Timoshenko梁的固有频率，用二分法求解超越方程，设置搜索步长dω=0.001 rad/s，误差eps=1e-6。由式(22)直接计算Euler梁的固有频率，结果见表1。

表1　自由边界条件下Timoshenko梁和Euler梁固有频率对比

由计算结果可知，由式(21)和式(22)分别计算Timoshenko梁和Euler梁的各阶固有频率相近，其中Euler梁各阶固有频率均高于Timoshenko梁，这是由于Euler梁忽略了截面的剪切变形和转动惯量导致的。

在式(21)中引入轴向压力，计算不同轴向压力对自由边界Timoshenko梁横向一阶固有频率的影响。计算结果见表2。

表2　轴向压力对自由边界Timoshenko梁横向一阶固有频率的影响

从表2可知，当轴向压力逐渐增大时，自由边界Timoshenko梁横向一阶固有频率逐渐降低至零，本文求得的一阶固有频率降为零时的轴向压力，即临界压力Tcr=6.579 47e5 N，这个结果与文献[10]相近。

导弹在飞行过程中在主动段往往要承受较大的压缩载荷，其舱段截面一般为薄壁圆环，为了估算轴向压力对导弹飞行横向动特性的影响，建立了截面为环形的Timoshenko梁模型，剪切系数k的计算使用文献[14]的方法，表达式为

(23)

式(23)中υ是材料的泊松比。采用式(21)计算方法求得的前三阶固有频率见表3。其前三阶横向振型见图2。

表3　无轴力作用下梁的横向固有频率

计算了不同轴向压力对该梁前三阶横向固有频率的影响，计算结果见表4。

表4　轴向压力对环形截面Timoshenko梁横向固有频率的影响

从以上计算结果可见，轴向压力对最低阶频率的影响最大，阶次越高影响越小。当轴向压力为500 000 N时，导弹横向第一阶频率降低3.15%，第二阶频率降低0.92%，第三阶频率降低0.41%。

4　结论

1) 本文给出了轴力作用下Timoshenko梁自由振动方程，在自由边界下，采用分离变量法求解该方程，给出了轴力作用下自由边界Timoshenko梁固有频率的方程；

2) 在无轴力作用及自由边界条件下，通过求解固有频率的超越方程，得到的Timoshenko梁固有频率计算结果与Euler梁计算结果接近，验证了本文给出的自由边界轴力作用下Timoshenko梁自由振动方程求解方法的正确性；

3) 为了估算轴力对导弹横向动特性的影响，本文建立了截面为环形的Timoshenko梁模型，不同轴向压力下横向固有频率计算结果表明，轴向压力对最低阶频率的影响最大，阶次越高影响越小。当轴向压力为500 000 N时，导弹横向第一阶频率降低3.15%，第二阶频率降低0.92%，第三阶频率降低0.41%。

参考文献：

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