数学图像在物理教学中的应用

方东林

摘 要：将物理规律数学化，这也就为开展一种特定的物理解题方法教学成为一种创新可能，让枯燥繁琐的解题过程以一种线性美的姿态华丽展示。

关键词：物理习题教学；数学图像

数学图像作为一种解题工具，在物理习题教学过程中经常出现，它不仅可以直观形象地展示物理量间的某种数学关系，还能将图象的斜率、截距、交点坐标以及相关“面积”等数学概念赋予一种特殊的物理含义，将物理规律数学化，这也就为开展一种特定的物理解题方法教学成为一种创新可能，让枯燥繁琐的解题过程以一种线性美的姿态华丽展示。现在笔者就物理图象在具体物理教学中切入方式的不同，分类研究二者的完美结合，以飨读者。

纵观数学图像在物理解题中的切入方式，主要有由物理图象到物理情景和由物理情景到物理图象两种方式。

一、由物理图象到物理情景类问题

此类问题在具体的物理教学中经常出现，这类问题的直观特征是，题干中的描述以图文结合的形式出现，文字部分作为凸显的辅助，多数情况为题目提供一个特设的物理事件的外部场景，这一场景是直观的、表面的，在具体教学中不易过多地讲解场景再现，要善于引导学生构思物理模型，以一种简单的草图呈现，有些题型甚至已经画出情景图。而作为重头戏的图象问题，它则集物理规律及其组成要素于一身。在具体的教学中，如何自然地将学生的关注点引到正确的思路上来？如何透过图象信息让学生更好地把握出题者的意图？如何将由图象特征顺势联想相关物理规律成为一种习惯，最终成为一种本能？这些问题将是物理习题教学的重点，也是对新高考改革目标实施的一种诠释。

现在以一个具体例子来分析一下。

例1 甲乙两个小球由离地面足够高的相同高度处，同时由静止状态开始落下，两球在落到地面前，除重力外，只受到空气阻力F的作用，且F满足F=-kv（v为小球下落的速度，k为常数，k>0），且两球的比例常数k完全相同，如图所示为两球的速度-时间关系图象。已知甲球与乙球的质量分别为m1与m2，则下列叙述正确的是（）

A.m2

B.m2

C.m2>m1，且乙球先抵达地面

D.m2>m1，且甲球先抵达地面

本题就题干描述的物理情景而言，是我们常见的需要考虑空气阻力的下落模型，一般常规的教学顺序应包括以下几个过程：

模型的构建：在空中有两个小球，处于一个空气阻力不可忽略的空间，两小球离地高度一样，初始时刻，由静止释放。

教学思路点拨：我们可以以时间为主线展开思路开展，每一步都要正确引导学生往物理规律上联想。初始时刻，物体运动规律是静止的，对应物理描述为v=0，由题设条件知道F=0；物体的受力规律为，此时小球只受到重力作用，此为不稳定情形，两小球将向下运动。随着时间的推移，小球运动速度将增大，由条件知F增大；小球受到的合力F合=mg-F将减小，加速度将减小，小球将做加速度减小的加速运动。随着小球速度的持续增加，当F增大到F=mg时，物体的加速度为零，此后物体将做匀速直线运动，速度不再变化。根据这一最终的运动状态的条件知，由F=mg得出m=F/g=kv/g。最终将问题由比较质量的问题转化为比较速度的问题，再结合图象特点，直观看出最终速度的大小，判断质量的大小。

在解决第二个问题时，我们常规的思路是用常用的运动学规律解题，如果从这个思路出发，我们很难找到一个合适的物理规律来解决问题，因为对于一个加速度发生变化的物理学过程，在中学阶段没有一个特定的公式，我们一般的解题思路是从能量的角度或从图象的角度分析，很显然本题涉及能量问题较少，只能从图象角度分析。我们的思路是，第一步引导学生转移考虑问题的角度，本问题是要解决位移相同时的时间问题，那么在图象中涉及这两个量的就是“面积”和时间，根据图线特点，我们很容易找出答案。

本题的一般解题过程是这样的：

解析：当小球最终达到匀速下落时，有mg+F=0，即mg=kv，由两球的速度-时间关系图像可知，乙球匀速下落时的速度较大，故乙球的质量较大，即m2>m1。速度-时间关系图线下的面积表示位移，两球下落位移相等，同样由两球的速度-时间关系图可知，乙球先抵达地面。正确选项为C。

以上是常规的解法教学，它的思路一环套一环，当有一环脱节时，题目就会变得不好分析。那么我们要想即快又准地解决问题，我们就可以在教学时，鼓励学生先从图象的角度出发考虑，从学习中的每个环节养成数学思维。具体如下：

图象模型分析：速度-时间图象中的图线模型。

教学思路点拨：第一个问题，我们以图象为突破点，通过直观观察图线规律可以得出，小球最終都是做匀速直线运动，处于平衡状态，由平衡条件知，F=kv=mg得m=F/g=kv/g，根据图线最终走向知v2>v1，进而直接判断质量大小关系。第二个问题，我们也直接从图象出发，运动相同距离时直接可以找到时间关系。

此教学思路简单明了快速，为学生解题开辟了一条简明思路，不同的解题思路也为学生思路不拘泥于一个固定的模式，一方面从不同角度切入教学，使教学模式灵活多变更有活力，另一方面，增强了学生学习的自信和对知识的全面了解。

二、由物理情景到物理图象类问题

此类问题主要表现在对物理图象的直接或间接考查，特别是间接类考查的问题，是中学物理教学中一个难点和重点，这一教学开展的难点就在如何引导学生将思路转移到图象规律上来。当然这对学生能力也是有一定要求的，一方面是数学知识的要求，特别是中学物理课程中常用的三角形、函数等知识；另一方面是物理规律的全面理解能力，只知其然不知其所以然是很难完成这一学习任务的。

现在以一个具体例子来分析一下。

例2 如图所示，位于固定的光滑斜面上的物体，在一水平推力F作用下沿斜面加速下滑，现保持F的大小不变，方向变成沿斜面向上，则物体的加速度大小（）

在解这个问题时好多同学的解题思路是这样的：

以小物块P作为研究对象，在推力F的作用下，小物块P沿光滑固定斜面加速下滑，设小物块的质量为m，斜面的倾角为θ，对小物块进行受力分析，并建立小物块的动力学方程，由牛顿第二定律知

mgsinθ-Fcosθ=ma

a=gsinθ-Fcosθ/m

当保持F的大小不变，则加速度a一定变小.

故B正确，A、C、D错误.故选B.

咋一看，这个题目没什么毛病，由物理规律得出物理结论，得出答案。但是如果细心的同学就会发现该题的隐含误区了，出题者问的是加速度大小情况，我们知道一个矢量的变化包括大小和方向两个方面，如果加速度的方向发生变化了呢，还是这样的结果，继而就需要我们进一步讨论。

首先根据小物块P沿光滑固定斜面加速下滑，知初始时刻的加速度是向下的，此时mgsinθ>Fcosθ，F2mgtanθ/2，所以当2mgtanθ/2

在教学中，针对这样物理情景比较明确，隐含条件较多的试题，我们可以尝试让物理情景用物理图象再现，见下图

如图，OA=OC，OB=OE，F点为重力末端在斜面上的投影，G为A点在斜面上的投影，D点为B点在斜面上的投影，当F的大小用OB的长度来表示时，若FD=FE时，则加速度大小不变，若CF>GF时，则加速度大小变大。

此种图解法是用变化的图线动态表述物理变化过程，需要有一定的数学和物理知识积累的保障，但是这种方法就可以避免考虑不全等问题。

在物理习题教学过程中，有些问题，我们也可以采用其他方法同样能够解决，但根据题意把抽象的物理过程巧妙地利用图像表示出来，分析具体解决物理问题思路，则可达到化难为易、化繁为简的目的；还有些问题，用其他方法难以求解，而用圖象分析，则能迎刃而解，出奇制胜。

（作者单位：浙江省台州市金清中学）