“幂函数” 教学设计、反思及评析

杨永强 高勤

【教学分析】

一、教材分析

“幂函数”选自人教版高一数学教材必修1第2章第3节.幂函数是基本初等函数之一，它不仅有着广泛的实际应用，而且起着承前启后的作用.学生在初中曾经研究过y=x，y=1/x，y=x2三种幂函数，这节内容是对初中有关内容的进一步概括、归纳与发展，是与幂有关的知识的高度升华，可以培养学生逻辑推理能力，落实学科核心素养.从教材的整体安排看，幂函数的學习是为了让学生进一步获得比较系统的函数知识和获取研究函数的方法，为今后学习三角函数等其他函数打下良好基础.

二、学情分析

学生数学基础较好，熟悉学案导学式的授课方式.通过之前的学习，学生已经会用描点画图的方法来绘制指数函数、对数函数图像，并能借助函数图像来研究函数性质，掌握了利用函数的定义域、值域、奇偶性、单调性来研究函数的方法，具备一定的数学思维和分析问题、解决问题的能力以及合作探究能力.

三、教学目标

知识与技能：

1.通过实例了解幂函数的概念；

2.会画简单幂函数的图像，并能根据图像得出这些函数的性质；

3.利用幂函数性质比较大小.

过程与方法：

1.通过观察、总结幂函数的性质，培养学生的概括抽象能力和识图能力；

2.使学生进一步体会数形结合思想以及从特殊到一般的思维方式.

情感、态度与价值观：

1.通过生活实例引出幂函数的概念，使学生体会到数学在实际生活中的应用，激发学生的学习兴趣；

2.通过师生、生生之间的讨论、互动，培养学生数学核心素养中的逻辑推理能力.

四、教学重、难点

重点：常见的幂函数的定义、图像和性质.

难点：画幂函数的图像，引导学生概括出幂函数的性质.

【教学流程】

一、情境创设，问题引入

数学在生活中是无处不在的，下面让我们看一下生活中的5个数学问题，请同学们读题并解答.

这就是我们这节课要学习的幂函数，请同学们齐读本节课的学习目标（学生齐读本节课学习目标）.

投影显示：学习目标：1.了解幂函数的概念；2.会画简单幂函数的图像，并能根据幂函数的图像得出幂函数的性质.

二、知识构建，对照梳理

由5个特殊幂函数归纳出幂函数的定义，请学生观察这5种幂函数的形式，看看它们有哪些共同特征.

投影显示：y=x，y=x2，y=x3，y=x，y=x-1.

幂函数定义：一般地，我们把形如y=xa的函数称为幂函数，其中x是自变量，a是常数.

投影显示：判断下列哪些函数是幂函数：（1）y=x4，（2）y=，（3）y=-x2，（4）y=x0，（5）y=2x，（6）y=x3+x.

答案：（1）（2）（4）是幂函数.

解疑1：（5）是什么函数？（追问）指数函数和幂函数有什么区别？

答：自变量位置不同，幂函数的自变量在底数上，指数函数的自变量在指数上.

解疑2：如何判断一个函数是否为幂函数？

答：自变量在底数上，指数为常数，系数为1，项数为1.

（教师引导）

根据a的不同，幂函数是千变万化的，其中有什么规律可循呢？我们再来看这5个解析式，我们就以它们为代表，研究幂函数的性质.我们要研究幂函数的性质，往往要借助幂函数的图像.大家看这里，有没有我们学过的函数？

投影显示：y=x，y=x2，y=x3，y=x-1，y=x .

请同学们快速借助学案中的网格坐标系，在同一坐标系中画出你熟悉的函数的图像（学生在黑板上教师所画坐标系中画出图像，教师纠正）.

这里有两个陌生的函数y=x3，y=x ，我们如何画出函数的图像？采用怎样的步骤呢？

列表、描点、连线（学生在黑板上教师所画坐标系中画出图像）.

为了有所区分，教师在黑板上用不同颜色的粉笔分别画y=x3和y=x 的图像.

教师用几何画板在同一坐标系当中画出了这5个幂函数的图像，请学生观察图像的分布特征，哪些象限里有幂函数的图像.

投影显示：列表、描点、连线做出的图像；用几何画板在同一坐标系当中做出的5个幂函数的图像（如图）.

探究1：幂函数的图像分布的象限特征.

答案：幂函数在第一象限都有图，在第四象限都没有图.

探究2：幂函数在第一象限图像的变化趋势是什么？如何绘制其他幂函数在第一象限的图像？

教师引导：为了帮助大家明确各幂函数图像的变化趋势，在这里引入两条线，分别是x=1，y=1，这样就将第一象限分成了四个部分，分别用①②③④区域来表示.

得到性质：（1）如果a>0，则幂函数图像过第一、三区域，是增函数；如果a<0，则幂函数图像经过第二、四区域，是减函数.（2）在各区域内逆时针旋转，指数a逐渐增大.

探究3：归纳幂函数的性质.

学生在黑板上归纳每一个幂函数的性质，教师引导学生检查并改正表格填写中的问题.

探究4：函数的奇偶性和单调性是根据a的不同而不同，它们有什么共性？（学生小组讨论后分享组内同学研究出的共性特征.）

答案：指数是奇数时函数为奇函数，指数是偶数时函数是偶函数；在第一象限内，指数大于零时函数是增函数，指数小于零时函数是减函数.

总结：奇偶性，看指数，指奇奇，指偶偶；一象限，正递增，负递减.

探究5：如果幂函数在其他象限有图像，那么我们可以利用幂函数的什么性质来补全它的图像呢？

答案：奇偶性.

三、重难突破，探究解惑

例1 函数f （x）=（m2-m-1） xm -2m-3是幂函数，且在（0，+∞ ）上是减函数，求m的值.（投影显示例1，学生在屏幕上书写计算）.

归纳提升：这是有关幂函数定义的应用，明确幂函数的定义.

例2 比较大小

（投影显示例2，学生说答案，引导学生利用所學幂函数性质解题.）

归纳提升：利用幂函数单调性比较大小.

四、归纳总结，提升能力

幂函数的概念、图像、性质.

五、知识反馈，作业巩固

学案作业：完成，限时反馈.

【教学反思】

幂函数作为一类重要的函数模型，是学生在系统学习了指数函数、对数函数之后研究的又一类基本初等函数.学生已经有了对指数函数和对数函数的图像和性质的学习经历，本节课要使学生再次经历函数的研究过程，获得学习体验，落实学科核心素养.

以学生为主体，让学生经历知识构建的过程.本节课先由生活中的实际问题入手，得到5个函数解析式，通过引导学生总结这5个特殊幂函数的共同特征得出幂函数的定义.整节课都围绕5个特殊函数展开，教学设计环环相扣，教学结构完整而连贯.学生通过采用归纳类比的逻辑推理来举一反三，形成合乎逻辑的思维方式和有条理性的交流方式，学科核心素养在过程中得以落实.

设置系列探究问题，提升学生探究能力.本节课无论是概念的生成、图像的绘制还是性质的归纳，都使学生感受到从特殊到一般的逻辑推理过程和层层递进的研究方式.在幂函数图像绘制的教学环节，由特殊函数图像到第一象限函数图像趋势，再到绘制任意幂函数在第一象限的图像，更是对学生逻辑推理能力的一大考验.我通过5个探究问题将难点分解，分层递进、逐一解决，让学生经历了提出问题、解决问题的全过程.

利用课堂生成问题，提升学生的学习能力.本节课涉及到很多幂函数图像，学生的绘制过程并不顺利，但我在授课过程中引导学生利用已有知识合作交流、相互补充，并随时帮助学生修改所绘制的图像，动态演示幂函数图像的变化趋势，有效地引导学生总结归纳解决问题的共性、通法.

用“导学案”有效延伸学生的学习空间.利用“导学案”的课前篇和课后篇将学生的学习过程覆盖到课前及课后，并在本节课的课堂教学中充分引导学生，尝试放手让学生自主合作探究，在学生暴露问题时不急于灌输答案，而是启发学生互相补充，直至解决问题.

剖析存在的问题，提升教学能力.在课堂教学中，放手给学生的幅度越大对教师的课堂驾驭能力就越是一种考验，我在这方面的能力仍显薄弱，表现是：放得开，收得却不够及时果断，掌控驾驭课堂的能力仍需提高.

【评析】

本节课是一节比较成功且精彩的“百花奖”现场课，杨老师采取“以问题为核心、以启发为主导”的教学方法，借助自己编写的学案，营造了教师点拨引导、学生积极参与、师生共同探讨的课堂氛围，对如何在课堂教学中落实高中数学核心素养做了大胆尝试，教学效果良好，具体表现在以下几方面.

1.教学设计合理.

本节课在充分分析教材和学情的基础上，设定了合理的教学目标及教学内容，突出了重点，突破了难点.既帮助学生形成了幂函数的完整知识结构，又引导学生通过类比的方法再次体验了函数的一般研究方法，将数形结合、分类讨论等数学思想方法贯穿于整节课的教学，有助于学生学科核心素养的形成.在本节课中，学生真正成为了学习的主体，在整个教学过程中，教师几乎没有代替学生得出过任何结论，教师总是引导学生发现问题，引导他们找到解决问题的途径，获得学习体验.

2.“问题”的设计精准有效.

教师对问题的设计颇下了一番功夫，问题的梯度搭建合理，问题串的核心直指数学本质.教师设计出的一系列问题贴近学生生活、融合学生已有认知、引发思维冲突、体现数学思维本质，同时又富有挑战性.学生在教师设计的问题串的引导下最终形成了比较完整的知识网络.

引入“问题”有针对性.“生活中的5个数学问题”针对学情，贴近学生已有知识经验，激发了学生探究的兴趣，并在解决这些问题的过程中，引导学生归纳出了幂函数的概念.

解疑及追问的“问题”有方向性.教师把问题设在学生有疑之处，引起了学生的认知冲突，而问题一旦得以解决，学生就会有“柳暗花明”的感觉，有极大的成就感，从而激起进一步探究的欲望.

探究“问题”有调控性.教师所设计的一系列探究问题既有较强的可操作性，促进学生动手、动脑，又有一定的开放空间，使学生通过合作、探究、交流，将思维引向深入.

3.“导学案” 使用得当.

这节课的导学案既有学习目标的引领，又有学习方法的指导，还有为探究本节知识所设计的问题串，更有问题的反馈和回收，将课堂比较好地延伸到了课前和课后，有效地促进了核心素养的落实.学案的课前篇比较好地引导学生进行课前的自主探究，课上篇的完成突出了本节课的重点，突破了本节课的难点.

存在的问题及建议：

课堂上越放手，对教师的课堂掌控能力要求越高.本节课杨老师在个别环节上实现了放得开，但收得却不够及时果断，效果欠佳，驾驭课堂的能力仍需提高。比如最后一道例题是培养学生运算能力的最好时机，杨老师能够在学生暴露运算问题时不急于灌输答案，而是启发学生互相补充，直至解决问题，但前面探究时间过长，习题的讲解稍显匆忙。建议在例题的讲解过程中采用实物投影的方式展示学生的解题过程，让学生合作解决问题，从而实现对知识的升华。