高中数学函数解题思路探讨

周靖晨

(河北乐亭县第一中学 063600)

高中是最受关注的学习阶段，在高中数学的学习过程中有很多同学们会感到困惑，甚至由于面对高中数学中的一些问题无从下手而感到苦恼.高中数学的函数问题是我们在学习过程中常见的一类问题，解决高中函数问题具有一定的规律与方法，归其根本均与教材上的知识点有着紧密的联系.高中数学的学习与题目练习有着密不可分的联系，但是如果想仅仅依靠盲目地做题来实现提高高中数学函数部分的学习水平，这是很难实现的，所谓的题海战术是要通过接触以及解决大量的数学题目来总结相应的学习方法与解题思路，在不断地练习中学会举一反三.函数问题万变不离其宗，同学们只有掌握了其所涉及的解题思路，才能使自己的学习能力得到真正的提高.

一、高中函数与导数问题

在高中函数问题学习的过程中同学们经常遇到与解决函数关系式相关的问题，这类问题所涉及到的题目非常多，如果仅仅想通过做题来解决这类问题，这是很难实现的，只有在做题的过程中进行相应的总结，将所做的题目进行归类与分析，才能找到不同类型题目之间的关联，找到做题的根本.虽然高中函数与导数的问题可以有很多出现的方式，但是归其根本，大多数问题的解题思路均是通过对题目中相关的函数解析式进行求导，进而根据题目的具体要求，如果要求函数的最值问题，需要找到导数等于零的点，如果求解函数的单调递增或者是单调递减区域，则需要求解导数大于零或是导数小于零的解集.

例1 如对于这道高中函数题目:

若函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1这个点有极值，且极值为10，则f(2)的大小是多少？

解析首先我们明确该函数在x=1处有极值，且极值大小为10，即导数在该点的值为零，f(x)在x=1处的值为10，所以有f′(1)=0,f(1)=10.通过函数解析式可以得到该函数导数的解析式f′(x)=3x2+2ax+b.根据分析可以列出两个等式关系，分别为3+2a+b=0,1+a+b+a2=10，进而解出a=4或a=-3a.根据两种情况进行相应的讨论.当a=-3时，可以求出b=3，但在这种情况下f(x)=3x2-6x+3=3(x-1)2≥0恒成立.根据我们所储备的知识如果函数的导数恒大于零或恒小于零则原函数单调递增或单调递减，不可能出现极值.若在x处有极值，则f(x)在x的两端取值必然异号，因此该情况不满足题意，舍去.当a=4时，b=5，此时通过相同的分析可知a、b的取值满足题意，进而得出f(2)=18.

二、高中函数的三角函数问题

三角函数是我们在初中阶段就开始接触的一类数学问题，随着年级的增长，三角函数所要求解的问题难度在不断加深，而且涉及到三角函数的题目非常多，但归其根本主要分为三角函数的基本性质、进行三角恒等变形求解问题、以及根据函数图象与解析式进行求解等主要解题方法.拿到题目同学们不要急于求解，要根据题目的语句以及题目中所要解决的问题来进行相应的分析，确定解题的思路以及过解题过程中需要用到的方法以及公式，这样有利于同学们形成清晰地解题思路，更好地开展后续的解答过程.

例2 在三角形ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，已知a2-c2=2b，且sinAcosC=3cosAsinC,求b的大小.

解析首先看到边长关系式确定解决该问题的核心方法是通过正余弦的相关定理来挖掘解题的思路，所以需要做的准备工作是根据边的关系来确定角的关系，最终实现对边长的求解.因为sinAcosC=3cosAsinC,根据正余弦定理将等式进行转换得到：a·(a2+b2-c2)/2ab=3c·(b2+c2-a2)/2bc，进行化简得到2(a2-c2)=b2.结合题目中的条件a2-c2=2b，得到b=4或b=0，由于b为三角形的边长，所以b大于0，因此b=0不满足条件，综上所述b=4.

三、高中函数与不等式问题

在高中函数问题的学习过程中同学们经常会遇到不等式问题，该阶段的不等式问题具有一定的难度，在做题时需要根据x的取值进行相应的分析，一般情况下会对题目中的不等式进行分情况讨论，在解答题过程中考虑的情况不全面，就会出现各种问题，最终不能正确解决该题目，这时需要同学们发散思维，充分考虑每一种情况的特点，不要错过每一个细节，对题目中的不等式进行相应的转换，找到求解的简单形式，如1<|2x-1|<6，首先我们需要将该不等式分为两部分即|2x-1|>1与|2x-1|<6，由于涉及到绝对值，所以在求解时需要去绝对值符号，分别找出两个不等式的解集，再将两部分结合在一起找两个不等式的交集即可，需要注意的是在去绝对值符号时要找对绝对值式子的零点，进而进行具体的讨论.

对于高中函数问题，在学习的过程中同学们要进行相应的总结，将遇到的题目进行分类并进行相应的总结，找到不同题目类型的特点，进而在做题的过程中明确解题时所需要用的知识.高中函数问题主要可以分为导数问题、三角函数问题以及不等式问题，在解题时每一类题目都有相应的解题方法，只有通过不断地练习与总结才能找到做题的根本，进而不断提高学习水平.

参考文献：

[1]凌东忠.问题导学下高中数学新授课的模式[A].《现代教育教学探索》组委会.2015年9月现代教育教学探索学术交流会论文集[C].《现代教育教学探索》组委会，2015(1).