注重解题反思，提升数学素养

吴煌

在数学课程目标中，特别强调发展学生发现、提出问题和解决问题的能力，基于数学核心素养的教学中，这也是关注的重点。

一、反思知识点，构建知识网络，提升思维的系统性

数学是一个有机的整体，各知识间相互联系。一道数学题，所涉及的知识往往不止一个，引导学生反思题目所涉及的知识点，寻求知识网络的“交汇点”，强调知识间的交叉、渗透，理清由知识点形成的“知识链”，能使学生加深对数学知识间内在联系的理解，逐步从纵向和横向形成知识网络，并在大脑记忆系统中构建“数学认知结构”。

例1 “平行线”一节教学片段：在学生通过实践探究归纳出平行公理后，引导学生进行反思。

反思 1：公理中的条件是什么？改为“过一点”是否可以？生：点与直线位置，有点在线上和点在线外两种，点在线上时无法画平行线。反思 2：书本中与之类似的性质有哪些？生：①过两点有且只有一条直线；②在同一平面内有且只有一条直线与已知直线垂直。反思3：②中强调“在同一平面内”，而平行公理为何不强调？生：平行线定义是同一平面内两条不相交的直线，所以加上“在同一平面内”就显重复。但两直线垂直时却不一定在同一个平面内。通过这一连串的反思，学生对平行线知识有了更清晰的认识，也认清了它与相关知识的联系与区别。

二、反思解题的过程，积累解题经验，提升思维深刻性

不少学生解完题后，没有反思的习惯，不能静下心来反思解题的方法、过程、变式，没有对解题过程进行提炼和概括，只是停留在为解题而解题，因此导致解题质量不高，效率低下。具体的数学问题解决只有通过反思才能概括出普遍适用的条件化、策略化知识。所以教师应积极引导学生整理思维过程，确定解题关键，回顾解题思路，概括解题方法，使解题的过程清晰，思维条理化、精确化和概括化，从而提升思维的深刻性，提升数学素养。

例2 在学习垂径定理应用时，我出示三道练习题：

①一条排水管的截面如图1所示，排水管的半径OB=10，水面宽AB=16，求截面圆心O到水面的距离OC.

②如图2，在直径为100mm的圆铁片上切下一块高为20mm的弓形铁片，求弓形的弦AB的长.

③如图3，已知AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，且AB=8cm，OC=5cm，则DC的长为.

做完习题后，我马上启发学生对这几道习题的结构特征和解题方法进行类比性反思。在教师的引导下，学生们反思发现了虽然每道题目所求的量不相同，但是解题方法如出一辙：都要添辅助线，构造以弦长的一半、弦心距为直角邊，以半径为斜边的黄金直角三角形，利用勾股定理建立方程，得出答案。通过对这几道题解题后的反思，学生对解决这类问题的思路更加清晰了，并对反思的对象和方法有了深刻的体会——构造黄金直角三角形。

三、反思解题方法，总结规律方法，提升思维发散性？

在解题时，我们不能仅仅满足于一种解法，要养成在解题后再反思解题方法的习惯：从不同的角度去研究问题、摆脱原来的思维模式、发现原来思维过程中的不足，探索出新的解题途径，避免形成思维定势，寻求最佳的解题方法，及时总结各类解题技巧，从而更进一步来完善思维过程，激发思维的创造性和灵活性，达到提升数学素养的目的。

例3 学习完解一元二次方程的四种方法后，我出示五道题，要求学生采用适当方法求解。

① 9x2-16=0

② 6x2-x=0

③ x2-x-6=0

④ x2-4x-1=0

做完习题后，我引导学生小组内讨论，对解题方法进行反思，总结规律和方法。反思后得出规律和方法，关于的解，总结成顺口溜：方程没有一次项，直接开方最理想；如果缺少常数项，因式分解没商量。b、c同时不为零，先考虑因式分解法，如果不行时，=1且b为偶数时，首选配方法。经过解题方法的深刻反思，使学生明确解题技巧，养成“从优、从快”的解题思维方式，提高解题效率，提升数学素养。

四、反思题目变式，举一反三，提升思维的广阔性？

题目解完了，并不等于解题任务的结束。反思题目变式，使知识系统化，有利于培养思维的灵活性和广阔性，从而巩固解题方法，提高解题的应变能力。

例4 证明：顺次连接平行四边形各边中点所得的四边形是平行四边形。

变式1 证明：顺次连接矩形各边中点所得的四边形是菱形。

变式2 证明：顺次连接菱形各边中点所得的四边形是矩形。

变式3 证明：顺次连接正方形各边中点所得的四边形是正方形。

……

通过这样一系列变式训练，使学生充分掌握了四边形这一章节所有基础知识和基本概念，强化了常见特殊四边形的性质定理、判定定理、三角形中位线定理等。让学生在一个知识点的学习中，有效过渡进入另一个知识点的思考和学习。这样的学习过程，不仅能够增强学生对于数学学习更深层次的认知，同时还能帮助他们建立灵活运用数学知识的习惯，提升数学意识，提升数学素养。

五、反思解题结果，确保答案准确，提升思维严密性

解题后的验证答案是否准确无误，有助于良好解题习惯的养成，有助于学生的审题能力和良好思维品质等数学素养的养成。鉴于数学学科的特点，要求学生在解答时一定要认真细致，有时稍有疏忽或一念之差就会导致错解。因此，通过对解题结果的反思，一方面确保答案准确无误，另一方面考察审题严密规范，逐步养成良好的解题思维习惯，培养思维严密性。

例5 在学习有关“等腰三角形”的时，有这样一道填空题：

①等腰三角形ABC，其AB的长为7m，BC的长为4m，则等腰三角形的周长为.

错误答案：18。

反思：该题错在回答不全面，并且忘记带单位。对等腰三角形的概念缺乏深层的理解，没有对其进行分类讨论，其中7既可以为腰长也可以为底边长，因此，该题应分为两种情况：当腰长为7 m时，周长为7+7+4=18m；当底边长为7m时，周长为4+4+7=15 m。

学生反思后，我立刻将题目进行变式，如下：

②等腰三角形ABC，其AB的长为7m，BC的长为3m，则等腰三角形的周长为.

错误答案：17m或13m。

反思：该题错在忽略了三角形中任意两边之和大于第三边。答案应该是：17m。

“学而不思则罔，思而不学则殆。”在教学中，教师要以学生为主体，以课堂为提升学生素养的主要场所，课堂上给学生反思的时空，教给学生反思的方法，引导学生学会自主反思，养成良好的反思习惯，让学生在反思中领悟，在领悟中提升思维能力，从而提升数学素养。

责任编辑 韦英哲