关于焦点弦的一个重要结论分析

李中朝 李连国

摘 要 圆锥曲线内容是高考数学中的重点，而焦点弦又是圆锥曲线的重点。高中所学的圆锥曲线（椭圆、双曲线和抛物线）的焦点弦有许多重要共同的性质。本文介绍一个有关焦点弦的重要结论。

关键词 焦点弦;圆锥曲线;结论

中图分类号：G632 文献标识码：A 文章编号：1002-7661（2018）23-0233-01

圆锥曲线的焦点弦是指经过圆锥曲线焦点的弦，笔者在教学中归纳出与其有关的几个结论，有助于进一步加深对圆锥曲线性质的认识。

结论一：已知点F是离心率为的圆锥曲线C的焦点，过点F的弦AB与C的焦点所在的轴的夹角为，且且。（1）當焦点F内分弦AB时，有;（2）当焦点F外分弦AB时（此时曲线为双曲线），有。

证明：设直线是焦点F所对应的准线，点A，B在直线上的射影分别为，点B在直线上的射影为M。由圆锥曲线的统一定义得，，又因为，所以。

（1）当焦点内分弦AB时，如图1，，所以。

图1     图2

（2）当焦点F外分弦AB时（此时曲线为双曲线），

如图2，

，所以。

说明：结论一要注意焦点外分焦点弦（此时曲线为双曲线）和内分焦点弦时公式的不同，且，下面我们研究一下情况。

当A，B两点互换时，此时，第一種情况的结论变为。

第二种情况的结论变为（形式上相当于替代了结论一中的）。

于是，有了如下结论。

结论二：已知点F是离心率为的圆锥曲线C的焦点，过点F的弦AB与C的焦点所在的轴的夹角为，且，且。（1）当焦点F内分弦AB时，有;（2）当焦点F外分弦AB时（此时曲线为双曲线），有。

结论二中的范围扩大了，扩大到了，下面进一步对范围探讨。

如果用向量来定义，设=（）时，结论二中的（1）当焦点F内分弦AB时，结论依然成立，即

结论二中的（2）当焦点F外分弦AB时（此时曲线为双曲线）。

结论变为（形式上相当于用替代式子中得到）。

又考虑到为夹角变为为倾斜角。于是，有了如下结论。

结论三：已知焦点在x轴上的圆锥曲线C，经过其焦点F的直线交曲线于A，B两点，直线AB的傾斜角为，=（），則曲线C的离心率e满足等式：=

推论：圆锥曲线C焦点在y轴上时，则=，证明省略。

例1：设椭圆（a>b>0）的右焦点为F，过点F的直线与椭圆C相交于A，B两点，直线L的倾斜角为60°，，则椭圆C的离心率为________

解析：此题答案为

例2：过抛物线=2p（p>0）的焦点F作倾斜角为的直线，与抛物线分别交于A、B两点（A在y轴左侧），则=__________

解析：由对称性知，设=，由推論可得sin=，所以=。

由此可见，本文的结论在解决与圆锥曲线焦点弦相关的问题时还是非常快捷的，它把离心率，倾斜角（斜率），焦点分弦之比联系起来了，是一个很有用的结论。

参考文献：

[1]王锋峰，戚有建.关于2013年山东卷理科压轴题的思考[J].数学学习与研究，2014（11）：122.