斐波那契数列通项公式的几种新求法*

何郁波

(怀化学院数学与计算科学学院，湖南 怀化 418008)

1202年，意大利数学家Leonado Fibonacci提出了一个有趣的兔子问题.某人在一处四周有围墙的地方养了1对新出生的小兔，假定每对小兔出生后2个月就长成大兔，而1对大兔每月生1对小兔，并且不考虑兔子死去的情况，那么，第n个月，兔子的总对数Fn称为斐波那契数，Fn构成的数列{Fn}称为斐波那契数列，其递推关系式为

(1)

斐波那契数列通项公式的推导方法有很多[1-2].笔者拟利用幂级数法、行列式法、差分方程法和递推关系式法，来推导斐波那契数列的通项公式.

方法1(幂级数法) 以斐波那契数列{Fn}作为幂级数[3]的系数来构造函数f(x)，即令

(2)

利用(1)式，可得

(3)

(4)

根据函数展开成幂级数的唯一性，比较(2)，(4)式，即得斐波那契数列的通项公式为

方法2(行列式法) 给定n阶三对角行列式Dn[4]，满足

(5)

其中a,b为实数.将行列式Dn按第1行展开，得Dn=(a+b)Dn-1-abDn-2,从而

Dn-aDn-1=b(Dn-1-aDn-2)=…=bn-2(D2-aD1).

(6)

因为D1=a+b,D2=a2+ab+b2，所以由(6)式可知Dn-aDn-1=bn，于是

Dn=aDn-1+bn=a(aDn-2+bn-1)+bn=a2Dn-2+abn-1+bn=…=an-1D1+an-2b2+…+

(7)

在(5)式中令a+b=1,ab=-1，则有

将Dn按第1行展开，得Dn=Dn-1+(-1)1+2(-1)Dn-2=Dn-1+Dn-2,n≥3.记D0=1,D1=1，显然有Fn=Dn.

方法4(公式法) 对于(1)式，假设存在常数α,β，使得

Fn-αFn-1=β(Fn-1-αFn-2),

(8)

则α,β应满足α+β=1,αβ=-1，从而解得

(9)

由(8),(9)式可得

Fn-αFn-1=β(Fn-1-αFn-2)=…=βn-2(F2-αF1).

(10)

将(9)式代入(10)式，得

(11)

(12)

[1] 张新娟.斐波那契数列通项公式的求法[J].高等数学研究，2009，12(4):56-59.

[2] 宋庭武.用特征方程推导斐波那契数列的通项公式[J].安庆师范学院学报(自然科学版)，2010,16(4):91-92.

[3] 华东师范大学数学系.数学分析[M].3版.北京：高等教育出版社，2001:47-63.

[4] 北京大学数学系前代数小组，编.高等代数[M].王萼芳,石生明，修订.4版.北京：高等教育出版社,2013:50-83.