基于ARIMA模型的重庆市人口老龄化趋势预测

邓世成

（重庆工商大学，重庆 400067）

一、引言

人口老龄化是人类经济社会发展到特定阶段时期所要面临的必然趋势。根据联合国人口分类标准，一个国家或地区65岁及以上的人口占总人口的比重达到7%，则认为该国或地区已步入人口老龄化阶段[5]。重庆市作为中国西部地区唯一的直辖市，于上世纪90年代中期开始步入人口老龄化社会。在2011年公布的《中国老年事业发展白皮书》中重庆市人口老龄化率位居全国第五位，西部地区第一位。截止2015年，重庆市65岁及其以上老年人口达到367.11万人，老龄化率高达17.42%，位居全国榜首，社会养老问题突出。一直以来政府高度重视人口老龄化问题，2013年7月新修订的《老年人权益保障法》正式施行，用法律手段明确和保障了老年人的应有权益。同时，2013年3月国务院出台《关于加快发展养老服务业的若干意见》，其中明确指出要积极应对人口老龄化。在2016年十八届六中全会报告中指出要从提高人口出生率和增加与养老相关的服务业供给两方面积极应对人口老龄化危机。2017年10月，习近平主席在十九大报告中明确指出要积极应对人口老龄化，构建养老、孝老、敬老政策体系和社会环境，推进医养结合，加快老龄事业和产业发展。但重庆市的老年人口群体具有基数大、增速快、高龄化、失能化和空巢化的特点[6]，加之我国人口年龄结构变化速度较快的基本国情，以家庭和政府为主导的养老模式发展陷入困境[7]。面对重庆日益严峻的人口老龄化问题，应积极引导社会力量的参与，促使养老服务产业多元化发展但发展养老服务业必须在充分理清重庆人口老龄化现状和老年市场潜在规模的基础上创新社会养老模式。因此，合理预测重庆市未来人口老龄化的变化趋势，对促进社会养老产业的发展和合理制定社会养老服务体系建设规划具有重要的现实意义。

二、文献综述

国外学者对人口老龄化的研究始于20世纪40年代，研究的焦点主要集中在人口老龄化带来的问题和解决思路。数十年来，针对人口老龄化问题，国外学者进行了系统深入的研究，成果丰硕，主要代表有：Menchik等（1983）从微观方面对人口老龄化与地区储蓄率之间的潜在联系进行深入剖析，研究结果否定了两者之间存在负向关系的假设，并认为居民的年龄与储蓄存在明显的正向关系[1]；同时，一些学者通过建立数学模型，研究发现人口老龄化存在明显的正面效应（Fougere等，1999；Hashimoto等2010）[2-3]；Poterba（2001）对发达国家和发展中国家的人口老龄化问题分别进行了分析研究，结果表明人口老龄化带来的医疗保障困难无地区差异性[4]。

国内学者对于人口老龄化的相关研究起步较晚，直到20世纪80年代才开始聚焦该命题，邬沧萍(1987)撰写的《漫谈人口老化》中对人口老龄化的概念界定、成因及其对经济社会发展的负面影响等方面做了系统的阐释。近年来，随着人口老龄化对经济社会发展的影响日趋严峻，一些学者陆续就该问题展开探讨。徐达（2012）基于索洛经济增长模型（Solow Growth Model） 与道格拉斯生产函数（Cobb-Douglas Production Function），在经济增长模型中引入人口老龄化因素，对人口老龄化影响经济增长的具体路径进行了深入探讨[8]。包玉香（2012）基于扩展的新古典经济增长模型，分析了人口老龄化的区域经济效应，研究表明人口老龄化对区域经济的发展具有双面效应[9]。杨宜勇等（2017）通过对历年统计年鉴中老龄化数据的分析，从国家政策的制定出发，分析了老龄化大环境下推进养老保障供给侧结构性改革的具体实践思路[10]。

另一些学者从趋势预测的角度对人口老龄化问题进行了实证研究。谢婧等（2008）首先基于平均期望生命增长规律和迭代模型，对河南省人均寿命进行了预测，而后利用线性回归模型预测分析了老年人口系数，结果表明河南省的老年人口系数和平均期望寿命均有明显的上升趋势[11]。张振华（2015）基于灰色系统GM（1,1）模型，对烟台市的城市人口老龄化趋势进行了实证分析研究，结果得出烟台市人口老龄化存在老年人口规模增大，老龄化趋势逐步加重的特点[12]。

重庆市作为国内老龄化问题最严重的地区之一，学术界对重庆人口老龄化也进行了多方面的研究。乜堪雄（2005）基于对重庆老年人口收支状况数据的分析，就人口老龄化背景下重庆产业的调整提出了针对性的对策[13]。文峰（2012）通过分析重庆市人口结构和抚养比，剖析了人口老龄化对劳动力资源市场的影响机理[14]。方丰等（2015）通过对1982～2012年重庆人口数据的分析，从劳动力人口比重和人口抚养比两个方面探讨了重庆市老龄化现状及人口老龄化对经济社会发展的影响，结果表明人口老龄化给养老事业带来巨大压力[15]。

综上所述，关于人口老龄化问题的研究为本文提供了重要的理论参考和方法借鉴。但已有文献主要集中于人口老龄化对经济社会影响的判析，鲜有文献就重庆市人口老龄化的未来趋势进行实证研究。本文的创新之处在于运用ARIMA时间序列模型对重庆市“十三五”期间人口老龄化的变化趋势进行测度与评价，其结论夯实了区域人口健康发展的实践基础，是对重庆市人口老龄化问题相关研究的进一步理论深化。

三、数据说明与理论模型

（一）数据说明

本文基于预测模型对老年人口数短期趋势进行实证分析，为建立预测模型选取了2000年到2015年共16年的65岁及以上人口（下文简称老年人口）数据，整理得到表1。

表1重庆市历年老年人口数及其占比数据表

（二）理论模型

ARIMA模型为自回归积分滑动平均模型，是由Box与Jenkins两位学者于上世纪七十年代所创立的关于时间序列的一套理论方法，又称作box-jenkins模型。而理论中包含的ARIMA（p,d,q）模型被学界称作为差分自回归移动平均模型，而AR表示的是自回归，p表示的是自回归项；MA表示的是移动平均，q表示的是移动平均项，d表示的是该序列转化成平稳的序列过程中需要对原始序列做差分处理的次数。

ARIMA模型包含三种基本类型，分别为自回归、移动回归和自回归移动平均模型。自回归模型可表示成设时间序列为y，则其数学表达式如下：

该时间序列是p阶自回归序列，可记为AR（p）。其中ε为随机项，是独立的白噪声序列，且ε：N（0，δ2）。同样设时间序列为y，移动平均模型可表示为：

上述时间序列是q阶的移动平均时间序列，可记为MA（q）。仍然将时间序列表示为y，则模型的数学表达式可表示为：

该模型记为c，由此可以得到ARIMA模型的一般形式为：

时间序列ARIMA模型的构建过程[16]可分为：(1)原始序列的平稳化处理：时间序列ARIMA模型必须在平稳的时间序列基础上建立模型，一般采用差分的方法对原始序列进行平稳性处理，得到平稳序列的差分次数即为参数d；(2)模型的确立：对得到的平稳的时间序列作自相关（Auto-correlation Function,ACF）图和偏自相关（Partial Auto-correlation Function,P ACF）图，观察图中数值的变化趋势，确定模型中p,q两个参数；(3)模型参数估计及诊断：采用非条件最小二乘法对确定的时间序列模型各个参数进行估计，同时对估计出的各个参数进行显著性检验，并依据AIC准则确定模型的优劣，AIC值越小代表模型的拟合效果越好，采用残差检验方法对模型的各个参数进行独立性检验，残差序列为白噪声序列则通过检验，说明模型构建的合理性。

四、重庆市人口老龄化现状

（一）重庆市人口的年龄结构已经进入到老年型阶段

依据一般惯例，按重庆市总人口中0-14岁、15-64岁和65岁以上人口划分为年轻型，成年型、老年型三种基本类型。根据重庆市统计年鉴（2016）数据，得到重庆市人口的年龄构成类型如表2所示。从表2可以看出，重庆市人口老年化趋势进一步增加。相比第五次人口普查的人口数据，在第六次人口普查的数据中，在年轻型的人口结构类型中，比重下降6%；在成年型和老年型的人口结构类型中，比重均上升3%；表明老龄化进程正在加快。重庆市人口中65岁以上人口占比在第五次人口普查（2000年）时已经达到9%，超过全国平均水平近2个百分点，而这一比重到了第六次人口普查（2010年）上升了3个百分点，人口中65岁以上人口比重为12%，超过老龄化社会标准近5个百分点，说明重庆市人口老年化状况日趋严峻。

表2 人口年龄构成类型表

（二）重庆市人口老龄化带来的养老压力总体呈上升趋势

根据国际通用惯例，用老年人口抚养比来反映人口老龄化带来的社会问题，从统计年鉴中整理1982～2015年重庆市人口抚养比数据绘制趋势图。从图1可以看出，重庆市老年人口抚养比变化总体趋势平稳，但局部变化明显。从图1中数据统计起点1982年，老年人口抚养比水平较低，到1990年总体变化不大；但1990～2000年这十年间，老年人口抚养比有明显的上升，趋势明显；而在2000～2004年老年人口抚养比增长速度放缓，平稳增长，总体增长幅度仍然较大；相比之下，2004～2015年老年人口抚养比总体呈平稳态势，略有增长，变化幅度较小；从总体来看1982～2015年，重庆老年人口抚养比增长了接近一倍，人口老龄化所带来的养老问题进一步突出。

图1 重庆市老年人口抚养比变化图

（三）重庆市老年人口抚养比明显高于全国的平均水平

本文将重庆市1982～2015年的老年人口抚养比数据与全国相同时间段的老年人口抚养比数据进行对比。从图2可以看出，重庆市老年人口抚养比总体上高于全国平均水平，增长趋势明显。1982年和1990年这两年时间，重庆市老年人口抚养比低于全国平均水平，但到了2000年，重庆市老年人口抚养比增长幅度明显，高出全国平均水平近4个点，此后高速增长到2004年才趋于稳定，且仍然远高于全国平均水平，但差距在缩小。相比之下，全国老年人口抚养比虽增长速度较重庆缓慢，但总体仍保持持续增长，从2006年开始加速增长，逐渐接近重庆老年人口抚养比水平。

图2 全国和重庆市老年人口抚养比变化趋势对比图

五、重庆市人口老龄化预测

（一）老年人口数的模型构建

结合时间序列模型的理论基础，为判断原始序列是否为平稳的时间序列，基于Eviews软件对数据进行检验。令重庆市老年人口数序列为{Yt}。绘制的序列图见图3。

图3 老年人口数与年份序列图

从图3中可看出，老年人口数的序列随时间呈递增趋势，其随时间的递增而增加，没有明显的季节成分，可以看出此时间序列{Yt}是非平稳的时间序列。

1、序列平稳化处理

表4序列ADF检验情况表

从表4中可以得到序列的ADF检验的概率P值为0.5278，在显著性水平0.01上接受原设，故认为序列存在单位根，表明序列是非平稳的时间序列。对原始序列进行差分处理，对原始序列的一阶差分序列进行检验时，检验结果表明不能完全拒绝原假设，即序列为非平稳序列。对二阶差分序列进行检验时，检验结果表明显著地拒绝原假设，故认为序列不存在单位根，即序列为平稳序列。由此可判断经过二阶差分之后原始序列的趋势已经消除。

2、模型确立

经过二阶差分处理后序列的趋势性基本消除，故选用ARIMA（p,d,q）模型对二阶差分后的序列建立计量模型，其中d=2，从图4中可以看出，自相关图中相关系数从第一期开始衰减，当滞后期 lag=12时自相关系数趋于 0，据此可以判断：q∈｛0，1｝；偏自相关图显示偏相关系数从第二期开始衰减，当滞后期lag=12时偏相关系数无意义，据此可判断q∈｛0，2｝。

图4 二阶差分序列自相关和偏自相关图

3、模型估计与诊断

对确立四个模型进行参数估计及显著性检验结果见表5。从表5中可看出ARIMA（2,2,1）和ARIMA（2,2,0）两个模型的参数通过了显著性检验（显著性水平为1%）。根据AIC准则，ARIMA（2,2,1）模型AIC=-6.5503＜ARIMA（2,2,0）模型 AIC=-5.0627，故ARIMA（2,2,1）模型是最合理的预测模型[16]。同时对ARIMA（2,2,1）模型进行白噪声检验，图5显示该残差序列的自相关系数和偏自相关系数一直都比较小，且一直在零刻度附近波动，可以认为该二阶差分序列为平稳序列。同时由纯随机检验的Q统计量的P值可以看出，其均大于显著性水平0.01，故可认为该序列是白噪声序列。说明模型的构建是合理的。

表5模型参数估计与检验表

图5 残差序列自相关和偏自相关图

结合表5中的参数得到老年人口数的ARIMA预测模型的表达式为：

（二）老年人口占比的模型构建

基于老年人口数模型的构建方法，通过观察序列的时序图结合单位根检验结果，可知老年人口占比序列不平稳。对老年人口占比序列进行差分处理，ADF检验的概率P值为0.0084，小于显著性水平0.01，故认为序列不存在单位根，由此可判断经过二阶差分之后原始序列的趋势已经消除。通过分析二阶差分后的自相关图和偏自相关图，基于AIC准则可知应使用ARIMA(2,2,1)模型对二阶差分后的序列建立计量模型。模型的参数估计见表7。同时模型的残差序列通过了白噪声检验，说明残差序列是平稳的，可以判断模型的构建是合理的。

表6老年人口占比模型参数估计表

结合表6中的参数得到老年人口数的ARIMA模预测模型的表达式为：

（三）模型预测

本文基于老年人口数和占比的两个ARIMA预测模型对重庆市“十三五”期间的老年人口数和占比进行了预测，具体的模型预测结果见表7。表中可看出，重庆市在“十三五”期间老年人口数和老年人口占比将持续增长。2015年重庆市老年人口数为367.11万人，老年人口占比为12.17。而预测结果显示到2020年重庆市老年人口数为453.13万，比2015年增加近86万人；同样到2020年重庆市老年人口占比高达16.24%，比2015年高出4个百分点。

表7 重庆市老年人口数和占比预测值表

六、结论及政策启示

（一）结论

本文在人口经济学的理论背景下，基于重庆市2000～2015年的老年人口相关数据，深入剖析了重庆市人口老龄化现状，进而通过建立ARIMA时间序列模型，合理预测了重庆市“十三五”期间老年人口数量及其占比。研究结果表明：重庆市人口老龄化问题已成为经济社会发展的瓶颈，重庆市在“十三五”期间将面临严峻的人口老龄化问题，以政府和家庭为主导的养老模式将难以满足老年人口的养老需求，迫切需要社会力量的介入，发展社会养老事业同时，人口老龄化的正面效应也十分突出，老年人口数从2015年的367.11万增长到2020年453.13万期间增长了24%，庞大的老年人口规模其中蕴含巨大的养老需求，表明“十三五”期间重庆将迎来发展社会养老事业和扩大老年周边市场的大好机会，为重庆市的经济发展培育新的增长动力。综上可知，本文预测结果具有重要现实意义，一方面对重庆市在“十三五”期间面临的人口老龄化问题进行了具体的分析，引起重庆市政府对人口老龄化问题的关注和重视；另一方面预测结果对研究估算老年市场规模推动社会养老事业发展具有重要参考价值。

（二）对策建议

第一，积极调整产业结构，推进重庆市养老产业发展。

随着重庆市人口老龄化程度加剧，老年人口规模不断加大，但人口老龄化正面效应突出。

重庆市应把握时机，大力发展养老产业，坚持推进养老产业发展和培育老年消费市场并重。

一方面，针对老年人口规模扩大带来的养老需求增加，政府应鼓励引导社会资本进入养老产业，促进老年服务的社会化和商业化；另一方面，针对老年消费市场，老年人在日用商品、精神娱乐产品等方面均与中青年的产品需求有别，鼓励企业根据老年人群需求类型，从保健功能、便利功能和精神满足三方面去扩展产品类型，扩大老年消费市场。通过这两个方面，争取释放“银发经济”市场潜力，为重庆经济发展培育新的增长点。

第二，制定出台相关政策措施加大开发老年人力资源市场力度。

根据预测模型分析，在未来五年里老年人口数将持续增加，劳动力人口的养老压力加大。

从减轻劳动力人口的经济压力角度出发，政府和全社会应提倡低龄的老年人再就业，创造社会价值。一是建立城乡统一、信息共享的劳动力资源市场，健全人力资源培训机制，由政府财政出资建立社区培训机构实施专业技术教育，联合市区高等院校实施知识型再教育和终身教育，鼓励有意愿有能力的老年劳动力再就业；二是改革现有离退休制度，试点实施延长离退休年限，尤其在一些特定岗位，鼓励用人单位和公民可以按照实际情况决定退休时间。

第三，改革户籍制度，延缓人口红利丧失速度。

预测结果显示随着人口老龄化日趋严峻，重庆市正在逐步丧失人口红利。为缓解城市劳动力不足的现象，一直以来主要依靠农村转移劳动力填补城市劳动力需求。但同时户籍制度的制约仍然阻碍农村劳动力更加充分地转移，农村劳动力进入城市参与社会生产劳动，推动城市化进程，但因为户籍制度却没能获得城市户口。农民工的权益保障仍然是一个难题，当城市经济发展放缓，就业岗位减少，农民工就业不稳定只能返乡，导致农民工劳动参与率降低，将拉低整体的劳动参与率，加之城市人口老龄化的影响，人口红利丧失速度明显加快。

一方面政府应在户籍制度改革完成之前，让农民工相对平等享受到基本公共服务，健全农民工社会保障体系，降低户籍制度的制约程度；另一方面，推进城镇化建设，促进农村户籍人口向城市转移，将农民工纳入城市户籍，自然就获得了城镇户口的基本公共服务。

[1]Menchik PL,David M.Incomedistribution,lifetimesavings,and bequests[J].The American Economic Review,1983,73(4):672-690.

[2]Fougè r e M,Mé rette M.Population ageingand economic growth in seven OECDcountries[J].Economic Modelling,1999,16(3):411-427.

[3]Hashimoto K,Tabata K.Population aging,health care,and growth[J].Journal of Population Economics,2010,23(2):571-593.

[4]Poterba JM.Demographic structureand asset returns[J].Review of Economicsand Statistics,2001,83(4):565-584.

[5]邬沧萍,杜鹏等.中国人口老龄化:变化与挑战[M].北京:中国人口出版社,2006．

[6]王宁,张爽,曾庆均.基于新陈代谢GM（1,1）模型的重庆市人口老龄化预测研究[J].西北人口,2017,(1):68-70.

[7]王宁,张爽.基于GM(1,1)模型的重庆市五大功能区人口老龄化预测[J].中国商论,2016,(7):170-171.

[8]徐达.人口老龄化对经济影响的模型与实证[J].财经科学,2012,(4):100-107.

[9]包玉香.人口老龄化的区域经济效应分析[J].人口与经济,2012,(1):1-7.

[10]杨宜勇,关博.老龄化背景下推进养老保障供给侧结构性改革的思路[J].经济学家,2017,(3):97-104.

[11]谢婧,盛利,施学忠.河南省人口老龄化发展趋势预测[J].郑州大学学报,2008,(3):289-291.

[12]张振华.基于灰色GM(1,1)模型的城市人口老龄化预测[J].统计与决策,2015,(9):76-79.

[13]乜堪雄.人口老龄化对重庆经济的影响与产业对策[J].探索,2005,(6):83-87.

[14]文峰.人口老龄化对重庆劳动力资源的影响及对策[J].重庆行政,2012,(10):64-65.

[15]方丰,张海彦,徐冬.重庆人口老龄化现状及对经济发展的影响研究[J].中国人口?资源与环境,2015,(5):426-429.

[16]陈伟,陈正利等.ARIMA模型在河南省梅毒发病率预测中的应用[J].中国卫生统计,2013,(4):604-606.